4. Расчет вала на сложное сопротивление

Дано: редукторный ступенчатый вал (рис. 4.1).

материал – сталь,[σ] = 160 МПа;

Т = 0,14 кН·м;

D₁ = 110 мм, D₂ = 200 мм;

a = 70 мм, b = 40 мм, c = 100 мм;

Требуется:

1. определить окружные и радиальные усилия, приняв соотношение между ними

2. построить эпюры изгибающих моментов в двух плоскостях;

3. построить эпюру суммарного изгибающего момента;

4. построить эпюру крутящего момента;

5. используя IV теорию прочности определить диаметр вала на отдельных участках, округлив их до стандартных размеров;

6. начертить эскиз вала;

Решение:

1. Определение окружных и радиальных усилий

Окружные усилия создают относительно оси вращения моменты, равные по величине мо-менту, передаваемого валом, поэтому:

по соотношению между окружными и радиальными усилиями, находим последние:

2. Построение эпюр изгибающих моментов в двух плоскостях

а) в горизонтальной плоскости

Вгоризонтальной плоскости действуют ради-альное усилие шкива 1 и окружное усилие шкива 2 (рис. 4.2, б). Находим горизонтальные реакции опор:

Вал имеет 3 участка, границами участков являются опоры и шкивы. Горизонтальный изги-бающий момент линейно меняется по участкам вала (т.к. нет распределенной нагрузки).

На 1^ом участке изгибающий момент равен:

в сечении A изгибающий момент равен 0 (т.к. нет внешних моментов), в сечении C:

На 3^ем участке изгибающий момент равен:

в сечении B момент равен 0 (т.к. нет внешних моментов), в сечении D:

По вычисленным значениям моментов строим эпюру горизонтального изгибающего момента (рис. 4.2, в).

б) в вертикальной плоскости

Ввертикальной плоскости действуют окруж-ное усилие шкива 1 и радиальное усилие шкива 2 (рис. 4.3, б). Находим вертикальные реакции опор:

Вертикальный изгибающий момент линейно меняется по участкам вала (т.к. нет распределен-ной нагрузки).

На 1^ом участке изгибающий момент равен:

в сечении A изгибающий момент равен 0 (т.к. нет внешних моментов), в сечении C:

На 3^ем участке изгибающий момент равен:

в сечении B момент равен 0 (т.к. нет внешних мо-ментов), в сечении D:

По вычисленным значениям моментов строим эпюру вертикального изгибающего момента (рис. 4.3, в).

3. Построение эпюры суммарного изгибающего момента

Суммарный изгибающий момент определяется как:

Определяем суммарный изгибающий момент в сечениях по границам участков:

в сечениях A и B суммарный изгибающий момент равен 0;

в сечении C:

в сечении D:

По вычисленным значениям моментов строим эпюру суммарного изгибающего момента (рис. 4.3, г).

4. Построение эпюры крутящего момента

Окружное усилие шкива 1 создает относительно продольной оси вала момент, который стре-мится вращать вал по часовой стрелке (если смотреть с положительного направления оси x); ок-ружное усилие шкива 2 создает момент, который стремится вращать вал против часовой стрелки (рис. 4.3, д).

Крутящий момент возникает только в сечениях участка вала между шкивами, на участках между шкивом и опорой крутящий момент равен 0.

Проводим произвольное сечение на участке 2 между шкивами и рассматриваем равновесие одной из частей (например, правой). Крутящий момент возникающий в сечении равен сумме внешних моментов, действующих по одну сторону от сечения; в данном случае крутящий момент равен по величине моменту T₂ = 140 Н·м и направлен в противоположную ему сторону; и если смотреть на торец отсеченной части вала, то крутящий момент стремится вращать отсеченную часть против часовой стрелки, поэтому он имеет отрицательный знак.

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.3, е).

5. Определение диаметров вала по участкам, исходя из условия прочности по IV теории

По IV теории условие прочности выглядит:

где W_z – момент сопротивления сечения вала; в данном случае вал круглого сечения:

где d – диаметр сечения вала.

Определяем диаметры вала по участкам, исходя из условия прочности:

– 1^ый участок:

Наибольший суммарный изгибающий момент на 1^ом участке действует в сечении C, крутящий момент на 1^ом участке не возникает, поэтому эквивалентный момент равен:

исходя из условия прочности определяем необходимый момент сопротивления и диаметр сечения вала на 1^ом участке:

– 2^ой участок:

Наибольший суммарный изгибающий момент на 2^ом участке действует в сечении C, крутящий момент на 2^ом участке равен моменту, передаваемого валом, с отрицательным знаком, поэтому эк-вивалентный момент равен:

исходя из условия прочности определяем необходимый момент сопротивления и диаметр сечения вала на 2^ом участке:

– 3^ий участок:

Наибольший суммарный изгибающий момент на 3^ем участке действует в сечении D, крутящий момент на 3^ем участке не возникает, поэтому эквивалентный момент равен:

исходя из условия прочности определяем необходимый момент сопротивления и диаметр сечения вала на 3^ем участке:

Выбираем диаметры вала по участкам, исходя из ряда Ra 40 нормальных линейных размеров (ГОСТ 6636–69):

– для 1^ого участка принимаем диаметр

– для 2^ого участка принимаем

– для 3^его участка принимаем

6. Эскиз вала

Эскиз вала с указанием необходимых размеров представлен на рис. 4.4.