Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
48
Добавлен:
10.12.2013
Размер:
23.93 Mб
Скачать

1. Исследование напряженного состояния

Дано: в опасной точке упруго деформированной конструкции выделен бесконечно малый эле-мент, по граням которого действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 1.1).

а) материал – сталь [σ] = 160 МПа, ν = 0.28, E = 2·105 МПа.

б) материал – чугун;

σx = 60 МПа, τxy = 40 МПа.

Вычислить:

  1. величины главных напряжений и их направление анали-тически и при помощи диаграммы Мора;

  2. максимальные касательные напряжения и положение площадок, по которым они действуют;

  3. определить деформацию по трем главным направлениям и объемную деформацию элемента;

  4. проверить прочность конструкции по II, III и IV теориям и оценить результаты; вычислить эквивалентные напряжения;

  5. показать площадки разрушения (по желанию);

Решение:

1. Вычисление величин главных напряжений и их направление аналитически и с помощью кругов Мора.

а) вычисление аналитическим способом

Для нахождения главных напряжений применяем формулы для плоского напряженного состояния:

Так как вдоль оси y нормальные напряжения не действуют, то σy = 0. Тогда подставляя в выражение значения, получаем:

Тогда в силу того, что σ1 > σ2 > σ3 получаем: σ1 = σmax = 20 МПа, σ2 = 0 МПа, σ3 = σmin = -80 МПа.

Теперь определяем расположение главных площадок:

Углы α0 и α0 отсчитываются от наибольшего нормального напряжения, в данном случае от σyy > σx, т.к. σy = 0 и σx < 0): угол α0 указывает на наибольшее главное напряжение σ1 и отклады-вается по часовой стрелке (т.к. α0 < 0), угол α0 указывает на главное напряжение на смежной пло-щадке σ3 и откладывается против часовой стрелки (т.к. α0 > 0). Показываем расположение глав-ных площадок в элементе (рис. 1.2).

б) вычисление с помощью кругов Мора

В осях σ и τ отмечаем две точки Dxxxy) и Dyyyx), в нашем случае Dx(-60;-40) и Dy(0;40) (рис. 1.3).

Проводим прямую DxDy, и из точки пере-сечения прямой с осью σ (т. C) радиусом DxC проводим окружность. Точки пересечения ок-ружности с осью σ (т. A и B) дают значения главных напряжений (т. A – σ1, т. B – σ3).

Из точки наибольшего нормального на-пряжения (т. Dy) проводим прямую, парал-лельную оси σ – получаем полюс (т. M), со-единяя полюс M с т. A и т. B, получаем на-правление главных напряжений (луч MA указывает направление σ1, MB – σ3, относительно оси y), углы между лучами и осью σ дают углы α0 и α0.

2. Определение максимальных касательных напряжений и положения площадок, по которым они действуют

Максимальные касательные напряжения действуют по площадкам, наклоненным под углом 45° к главным площадкам (рис. 1.4), и по величине равны:

С помощью кругов Мора максимальное касательное напряжение определяется точкой пересечения окружности и перпендикуляра, проведенного из ее центра (рис. 1.3).

3. Определение деформаций по трем главным направ-лениям и обьемной деформации

Деформации по главным направлениям по закону Гука равны:

Подставляя значения главных напряжений, получаем:

Объемная деформация примерно равна сумме линейных деформаций по главным направ-лениям (с точностью величин второго порядка этих деформаций):

4. Проверка прочности конструкции по II, III, V и оценка результатов

а) по II теории (для хрупких материалов)

II теория прочности – теория наибольших линейных деформаций, разрушение элемента, находящегося в сложном напряженном состоянии, наступит тогда, когда наибольшая линейная деформация достигнет величины, при которой в случае простого растяжения-сжатия наступает разрушение:

в нашем случае:

Эквивалентное напряжение меньше допускаемого.

б) по III теории (для пластичных материалов)

III теория прочности – теория наибольших касательных напряжений, текучесть материала на-ступит тогда, когда наибольшие касательные напряжения превысят допустимые.

в нашем случае:

Эквивалентное напряжение меньше допускаемого.

в) по V теории (для хрупких и пластичных материалов)

V теория прочности – теория Мора основана на том, что прочность материала в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего и наимень-шего напряжений:

Коэффициент k – отношение допускаемых напряжений при растяжении и при сжатии:

– для стали: [σ+] ≈ [σ-] и k = 1;

– для чугуна: [σ+] = 28..80 МПа и [σ-] = 120..150 МПа, берем [σ+] = 28 МПа и [σ-] = 120 МПа, тогда k = 0,233;

Определяем эквивалентные напряжения:

– для стали:

– для чугуна:

Эквивалентные напряжения в обоих случаях меньше допускаемого.

5. Площадки разрушения

ПоIII теории прочности для пластичных материалов разрушение нагруженного элемента про-исходит под действием максимального касательного напряжения и в его плоскости действия. Рас-положение площадки разрушения по III теории представлено на рис. 1.5.

Соседние файлы в папке Сопромат_Свисткова