математические методы в экономике

11

? 1. Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на

максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оп# тимальный план выпуска продукции.

2.Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптималь# ный план (двойственные оценки).

3.Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойствен# ности:

а) проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

б) определите, как изменятся выручка и план выпуска продук# ции при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

в) оцените целесообразность включения в план выпуска продук# ции изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление кото# рого расходуется по 2 единицы каждого вида ресурсов.

2.6. На основе информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования сырья для максимизации вы# ручки от реализации готовой продукции.

12

? 1. Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на

максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оп# тимальный план выпуска продукции.

2.Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптималь# ный план (двойственные оценки).

3.Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойствен# ности:

а) проанализируйте использование сырья в оптимальном плане исходной задачи;

б) определите, как изменятся выручка и план выпуска продук# ции, если запасы сырья первого вида увеличить на 45 единиц, а запа# сы сырья второго вида уменьшить на 9 единиц;

в) оцените целесообразность включения в план выпуска продук# ции изделия «Г» ценой 11 единиц, на изготовление которого расхо# дуется 9, 4 и 6 единиц соответствующего вида сырья.

2.7. Предприятие выпускает четыре вида продукции и использу# ет три вида оборудования: токарное, фрезерное и шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цена реализации единицы каждого вида продукции при# ведены в таблице:

? 1. Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на

максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оп# тимальный план выпуска продукции.

13

2.Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптималь# ный план (двойственные оценки).

3.Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойствен# ности:

а) проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

б) определите, как изменятся выручка и план выпуска продук# ции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;

в) оцените целесообразность включения в план выпуска продук# ции изделия «Д» ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования составляют 8, 2 и 2 единицы соответственно.

2.8. На основе информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования сырья для максимизации вы# ручки от реализации готовой продукции.

? 1. Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на

максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оп# тимальный план выпуска продукции.

2.Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптималь# ный план (двойственные оценки).

3.Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойствен# ности:

а) проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

14

б) определите, как изменятся выручка и план выпуска продук# ции, если запасы сырья первого вида увеличить на 5 единиц, а запа# сы сырья второго вида уменьшить на 5 единиц;

в) оцените целесообразность включения в план выпуска продук# ции изделия четвертого вида ценой 7 единиц, если нормы затрат сырья составляют 2, 4 и 3 единицы соответственно.

2.9. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице:

? 1. Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на

максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оп# тимальный план выпуска продукции.

2.Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптималь# ный план (двойственные оценки).

3.Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойствен# ности:

а) проанализируйте использование сырья в оптимальном плане исходной задачи;

б) определите, как изменятся выручка и план выпуска продук# ции при увеличении запасов сырья первого вида на 100 единиц и уменьшении запасов сырья второго вида на 150 единиц;

в) оцените целесообразность включения в план выпуска продук# ции изделия «Д» ценой 10 единиц, если нормы затрат сырья состав# ляют 2, 4 и 3 единицы соответственно.

15

2.10. Для изготовления трех видов продукции используют четы# ре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цена реализа# ции единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

? 1. Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на

максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оп# тимальный план выпуска продукции.

2.Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптималь# ный план с помощью теорем двойственности.

3.Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойствен# ности:

а) проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

б) определите, как изменятся выручка и план выпуска продук# ции при увеличении запасов ресурса первого вида на 24 единицы;

в) оцените целесообразность включения в план выпуска продук# ции изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов составляют 8, 4, 20 и 6 единиц соответственно.

Задачи 2.11–2.20

В задачах 2.11–2.20 необходимо использовать методы теории массового обслуживания для исследования предлагаемых хозяй# ственных ситуаций.

По заданному входящему потоку требований, известной дисцип# лине обслуживания и известному закону распределения времени

16

обслуживания требования нужно оценить качество и эффектив# ность функционирования системы массового обслуживания (СМО).

Взадачах рассматриваются системы массового обслуживания

спотерями (отказами) и ожиданием (разомкнутые и замкнутые СМО).

При этом предполагается, что поток требований на обслужива# ние является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону.

Необходимые расчетные соотношения (формулы), а также при# меры решения подобных задач приведены в источниках, рекомендуе# мых в качестве основной литературы [1, 2].

Кроме того, полезно воспользоваться дополнительной литерату# рой [1, 6, 7].

2.11. На строительном участке в инструментальной мастерской работают три мастера. Если рабочий заходит в мастерскую, когда все мастера заняты обслуживанием ранее обратившихся работни# ков, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. По стати# стике, среднее число рабочих, обращающихся в мастерскую в тече# ние минуты, составляет 1,5. Среднее время, которое затрачивает ма# стер на заточку или замену инструмента, равно 2 мин.

? Оцените основные характеристики работы данной мастер#

ской как СМО с отказами. Сколько мастеров должны работать в ин# струментальной мастерской, чтобы вероятность обслуживания рабо# чих была выше 80%?

2.12. Поток клиентов, прибывающих в банк, имеет интенсив# ность 9 клиентов в час. Продолжительность обслуживания одного клиента составляет в среднем 8 мин.

? Сколько операционистов должны работать в зале, чтобы

среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, не превышало трех?

2.13. Подразделение фирмы осуществляет монтаж котельного оборудования. В среднем в течение года поступает 12 заявок (ком# мерческих предложений) от различных организаций. Монтажные

17

работы на объекте может производить одна из четырех бригад. Вре# мя, затраченное при этом, является случайной величиной и зависит от сложности монтажа, характера выполняемых работ, слаженности бригад и других причин. По статистике, в среднем за год одна брига# да успевает провести монтаж оборудования на четырех объектах.

? Рассчитайте основные характеристики работы данного под#

разделения как СМО с ожиданием.

2.14. На АЗС имеется две бензоколонки. По статистическим оценкам, автомобили подъезжают на АЗС со средней частотой два автомобиля за 5 мин. Заправка автомобиля длится в среднем 3 мин.

? Определите:

а) вероятность того, что на АЗС не окажется ни одного автомобиля; б) вероятность того, что придется ждать начала обслуживания; в) среднюю длину очереди в ожидании заправки; г) среднее время ожидания автомобиля в очереди.

2.15. Оптовый склад пиломатериалов обслуживает 30 предприя# тий#потребителей. Каждое из предприятий направляет на склад за пиломатериалами автомашину в среднем 0,5 раза в смену (продол# жительность смены – 8 ч). На складе имеются два крана, которые используются только для погрузки пиломатериалов на прибываю# щие автомашины. Средняя продолжительность погрузки одной ав# томашины составляет 30 мин. Если оба крана заняты погрузкой других автомашин, то прибывшая на склад автомашина становится в очередь.

? ? Определите:

а) вероятность того, что оба крана свободны (простаивают); б) среднее число свободных (незанятых) кранов; в) коэффициент простоя крана;

г) среднее число автомашин, находящихся на складе (под по# грузкой и в ожидании погрузки);

д) среднее число автомашин, находящихся в очереди (длину оче# реди);

е) коэффициент и среднее время простоя автомашин в очереди.

18

2.16. В порту имеются два причала для разгрузки судов. Интен# сивность потока судов – четыре судна за пять суток. Среднее время разгрузки одного судна составляет двое суток.

? Определите:

а) среднее число занятых причалов; б) среднее время ожидания судна в очереди под разгрузку.

2.17. Наладчик обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин.

? Определите:

а) вероятность того, что наладчик будет занят обслуживанием станка;

б) коэффициент простоя наладчика; в) коэффициент простоя станка.

2.18. Двое рабочих обслуживают три станка. Среднее время безотказной работы станка составляет 2 часа, среднее время ремонта –

20мин.

?Определите:

а) среднее число рабочих, занятых ремонтом; б) среднее число работающих станков.

2.19. Поток сотрудников, приходящих в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.), имеет интенсивность 8 сотрудников в час. Время обслуживания бух# галтером одного сотрудника составляет в среднем 7 мин.

? Сколько бухгалтеров должно работать, чтобы среднее число

сотрудников, ожидающих обслуживания, не превышало двух.

2.20. На строительном участке в инструментальной мастерской работают три мастера. Если рабочий заходит в мастерскую, когда все мастера заняты обслуживанием ранее обратившихся работни# ков, то он не уходит из мастерской, а ожидает обслуживания. По ста#

19

тистике, среднее число рабочих, обращающихся в мастерскую в тече# ние часа, равно четырем. Среднее время, которое затрачивает мас# тер на заточку или ремонт инструмента, составляет 10 мин.

? Рассчитайте основные характеристики работы данной мас#

терской как СМО с ожиданием.

20

Литература

Основная

1.Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управ# лении: учебное пособие. – М.: Вузовский учебник, 2011.

2.Орлова И.В., Половников В.А. Экономико#математические методы и модели: Компьютерное моделирование: учебное пособие. – М.: Вузовский учебник, 2011.

3.Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико#ма# тематические методы и прикладные модели: учебное пособие для ву# зов. – 3#е изд. – М.: Юрайт#издат : Высшее образование, 2011.

Дополнительная

1.Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. При# кладные задачи исследования операций: учебное пособие. – М.: ИНФРА#М, 2006.

2.Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов: учебник. – М.: ЮНИТИ#ДАНА, 2005.

3.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и моде# ли для магистрантов экономики: учебное пособие. – 2#е изд., доп. – СПб.: Питер, 2010.

4.Кузнецов Б.Т. Макроэкономика: учебное пособие. – М.: ЮНИТИ#ДАНА, 2009.