9. Модель Гуммеля-Пуна
9.1. Метод Гуммеля-Пуна
Транзисторный эффект состоит в переносе носителей, инжектированных через один из р-п переходов (Э-Б или К-Б), через базу до противоположного р-п перехода (К-Б или Э-Б).
В модели Эберса-Молла
этот эффект представлен отличными от
нуля коэффициентами передачи
тока (
),
которые являются феноменологическими
параметрами модели.
В модели Гуммеля-Пуна
транзисторный эффект представлен
генератором сквозного тока
неосновных носителей через базу,
зависящим от напряжений на обоих р-п
переходах. Для п-р-п транзистора
сквозной ток
выражается функцией
,
где
— полный
заряд основных
носителей
(дырок) в активной области базы (область
I
на рисунке).
Функция
учитывает ряд эффектов, которые не могут
быть учтены в модели Эберса–Молла.
Метод Гуммеля-Пуна состоит в решении уравнения непрерывности потока электронов через активную базу при следующих допущениях:
1) рекомбинация в базе незначительна, и в стационарном состоянии электронный ток в базе не зависит от координаты х;
2) коэффициент диффузии электронов в базе Dn не зависит от координаты х;
3) дырочный ток в активной базе мал:
.
Эти допущения в реальных транзисторах выполнены с высокой точностью.
При допущении 1 сквозной ток
(9.1.1)
не зависит от х (знак «-» — положительное направление тока In противоположно оси х).
Напряженность электрического поля
найдем из условия
(допущение 3):
;
.
(9.1.2)
Подстановка (9.1.2) в (9.1.1) дает:
.
Умножив это уравнение на eSE, получим:
.
Это уравнение проинтегрируем по всей базе (от х = х1 до х = х2); согласно принятым допущениям In и Dn не зависят от х:
.
В левой
части в скобках — полный
заряд дырок в базе
.
В правой
части:
;
(9.1.3а)
(9.1.3б)
(граничные условия для произвольного уровня инжекции). Таким образом:
.
Это соотношение можно представить в виде:
, (9.1.4)
где
(9.1.5а) 
(9.1.5б)
, или 
— (9.1.6)
равновесный
заряд дырок в базе (при
),
x10 и x20
– границы базы в равновесном состоянии.
,
или
— электронный тепловой ток
эмиттерного перехода,
—
число Гуммеля в базе
(как в идеальной модели).
Заряд
должен быть определен в виде функции
.
;
заряд
в барьерной
емкости
эмиттерного
перехода
заряд
в барьерной
емкости
коллекторного
перехода
заряд
в диффузионной
емкости
базы
равновесный
заряд
дырок
в базе
. (9.1.7)
Подставляя
(9.1.5а,б) в (9.1.7) и решая полученное уравнение
относительно
,
находим:
.
Или
(9.1.8)
Уравнения, (9.1.4), (9.1.5а), (9.1.5б), (9.1.8) определяют
сквозной электронный ток
через
активную базу как функцию
напряжений
и
.
Функция
содержит 4 параметра:
,
,
и
.
Кроме того, в уравнение входят функции
и
,
которые должны быть заданы (через ВФХ
барьерных емкостей
и
)
для включения в эквивалентную схему.
Изящество метода Гуммеля-Пуна состоит
в том, что зависимость
удалось найти без отыскания конкретного
вида функции
.
Преимущества метода Гуммеля-Пуна:
-
Автоматический учет эффекта Эрли.
-
Автоматический учет изменения уровня инжекции в базе.
-
Возможность учета изменения сопротивления базы.
Эффект Эрли учитывается функциями
и
.
Механизм учета произвольного уровня
инжекции заложен в параметрах
и
.
Чтобы продемонстрировать действие
этого механизма, положим
и пренебрежем эффектом Эрли (положим
и
равными
нулю). При этом в (9.1.5б)
,
и из (9.1.4) получим:
.
При
низком уровне инжекции
,
и зависимость
совпадает
с классической ВАХ идеализированного
диода. При высоком уровне инжекции
,
и зависимость
имеет вид,
характерный для ВАХ при высоком уровне
инжекции. Таким образом,
и
.
характеризуют токи инжекции, при которых
уровень инжекции близок к 1. Эти токи
могут быть определены экспериментально.
З
ависимости
для высокого и для низкого уровней
инжекции пересекаются в точке
.
Уменьшение наклона функции
при высоких уровнях инжекции обусловлено
модуляцией сопротивления базы. При
уравнение (9.1.8)
перестает
учитывать уровень инжекции.
Дополнительным
преимуществом метода Гуммеля-Пуна
является возможность учета изменения
сопротивления активной базы при повышении
уровня инжекции. Сопротивление
должно снижаться пропорционально
повышению полного количества основных
носителей, то есть
,
что легко обеспечить в компьютерной
модели транзистора.
К сожалению, метод Гуммеля-Пуна не позволяет учесть эффект оттеснения тока эмиттера к краю эмиттера.
9.2. Эквивалентная схема Гуммеля-Пуна
In=I1n (Vbe, Vbc) – I2n(Vbe, Vbc) –
сквозной электронный ток, вычисленный без учета рекомбинации в базе.
,
– токи
рекомбинации в активной базе I, протекающие через эмиттерный и коллекторный переходы, соответственно.
– дырочный
ток эмиттера.
– ток
рекомбинации-генерации в переходе Э-Б.
– ток
рекомбинации-генерации в переходе К-Б.
.
дырочный
ток
коллектора
электронный ток
пассивного
коллектора
Диффузионные емкости CDN(I1n) и CDI(I2n+I2) моделируют накопление зарядов QDN и QDI в активной базе, а также в пассивной базе и в п-коллекторе. CE (Vbe) и CC (Vbc) описывают зависимости от напряжений барьерной емкости эмиттерного и коллекторного переходов, CS (Vsc) – барьерной емкости коллектор-подложка.
Сопротивление базы RB (Qp) может быть представлено в виде суммы активной RB1 и пассивной RB2 составляющих. При этом легко может быть учтена зависимость сопротивления активной базы от уровня инжекции:
,
где
коэффициент
учитывает различную подвижность
электронов и дырок.
Рис.
Структура токов в транзисторе
9.3. Возможности модели Гуммеля-Пуна
Модель учитывает:
1). Произвольный уровень инжекции в активной базе — граничные условия (3а) и (3б).
2).
Эффект Эрли — зависимости
.
3). Изменение сопротивления активной базы при повышении уровня инжекции — RB (Qp).
Недостатки модели:
1). Сложность и отсутствие наглядности. Применяется только при численном (компьютерном) моделировании.
2). Модель не учитывает эффект оттеснения эмиттерного тока.