Soprotivlenie_materialov / 270800_62 (ПГС)-10-1234-2428 / 10. М.ук.№5

2

УДК 620.178.32 (076.5)

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы по сопротивлению материалов «Геометрические характеристики плоских фигур». – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2009. – 20 с.

Содержат основные теоретические положения, примеры и порядок выполнения студентами расчетно-графической работы по сопротивлению материалов «Геометрические характеристики плоских фигур».

Рассчитаны на студентов очного обучения.

Составители: канд. техн. наук, доц. В.П. Бондаренко

канд. физ.-мат. наук, доц. Г.П. Стрельников

Редактор Темплан 2009г., поз.

Подписано в печать 25.03.09.Формат 60х84/16. Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд.л. . Тираж 200 экз. Заказ

Редакционно-издательский центр Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул.Социалистическая, 162

С Ростовский государственный строительный университет,2009

5

Задача 1. Для плоской фигуры, состоящей из элементов I, II и III с одной осью симметрии (рис.3), требуется:

1.Определить положение центра тяжести. Построить главные центральные оси.

2.Найти значения главных центральных моментов инерции.

3.Вычислить значения главных радиусов инерции сечения и момента сопротивления относительно оси симметрии.

4.Вычертить сечение в масштабе на миллиметровке формата А4 с указанием всех размеров и осей.

Решение

Используя приведенные выше справочные данные, на миллиметровке вычерчиваем сечение, состоящее из элементов I, II и III в масштабе с указанием всех осей и необходимых размеров в сантиметрах (рис.3). На рис.3 в рамках показаны размеры, взятые из справочных данных, остальные получены в ходе расчета.

1.Определение положения центра тяжести. Построение центральных осей

Составная фигура (см. рис.3) имеет одну ось симметрии, которая является главной центральной осью ось z0. Вторая главная центральная пройдет через центр тяжести перпендикулярно оси z0.

Очевидно, что центр тяжести составной фигуры будет находиться на оси симметрии, поэтому определяем только по одной координате для точек С1 , С2 и С3. В качестве вспомогательной системы выбираем y1 , z0.

Через точку С проводим вторую главную центральную ось y0(см. рис.3). Теперь y0 , z0 основная система координат.

6

Рис.3

2.Определение величин осевых моментов инерции относительно главных центральных осей

На основании свойства о том, что момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции элементов этого сечения, вычисленного относительно той же оси, имеем

Jy0 JyI0 JyII0 JyIII0 .

Для вычисления моментов инерции элементов сечения относительно главной центральной оси y0 , воспользуемся формулами изменения моментов инерции при параллельном переносе осей.

JyI0 JyI1 А1a12 ,

где J yI1 момент инерции I-го элемента относительно собственной центральной

оси y1 (справочная величина), А1 площадь I-го элемента (справочная величина), величина a1 определяет расстояние между осями y0 и y1 .

JyI0 327 40,5 ( 7,03)2 2328,546см4 2329см4 . a1 zC1 zC 0 7,03 7,03см (см. рис.3).

7

Момент инерции второй фигуры относительно оси y0

JyII0 JyII2 А2a22 256 16 8,92 1523,36см4 1523см4 . a2 zC2 zC 15,93 7,03 8,9 см.

JyIII0 JyII0 1523 см4, т.к.

фигура II и фигура III находятся на одинаковом расстоянии от оси y0. Окончательно, момент инерции составной фигуры относительно оси y0

Jy0 2329 2 1523 5375см4 5380см4 .

Момент инерции составной фигуры относительно оси z0

Jz0 JzI0 JzII0 JzIII0 .

Момент инерции первой фигуры относительно оси z0

JzI0 JzI1 5810см4,

т.к. оси z0 и z1 совпадают.

Для вычисления моментов инерции II и III элементов сечения относительно главной центральной оси z0 , воспользуемся формулами изменения моментов инерции при параллельном переносе осей.

JzII0 JzII2 А2 b22 ,

где J zII2 момент инерции II -го элемента относительно собственной центральной

оси z2 (справочная величина), А2 площадь II -го элемента (справочная величина), величина b2 определяет расстояние между осями z0 и z 2.

JzII0 JzII2 А2b22 83 16 13,162 2853,9696 см4=2854 см4 b2 ( 302 1,84) 13,16 см.

JzIII0 JzII0 2854 см4, т.к.

фигура II и фигура III находятся на одинаковом расстоянии от оси z0.

Момент инерции составной фигуры относительно оси z0

Jz0 5810 2 2854 11518см4 11500см4 .

Моменты инерции относительно главных центральных осей округляем до трех значащих цифр.

3. Вычисление значения главных радиусов инерции сечения и момента сопротивления относительно оси симметрии

Радиусы инерции относительно главных центральных осей определяются по следующим формулам:

Задача 2. Для плоской фигуры, состоящей из элементов I, II, III, IV, V с одной осью симметрии (рис.4), требуется:

1.Определить положение центра тяжести. Построить главные центральные оси.

2.Найти значения главных центральных моментов инерции.

3.Вычислить значения главных радиусов инерции сечения и момента сопротивления относительно оси симметрии.

4.Вычертить сечение в масштабе на миллиметровке формата А4 с указанием всех размеров и осей.

Решение

Используя приведенные выше справочные данные, на миллиметровке вычерчиваем сечение, состоящее из элементов I, II, III, IV и V в масштабе с указанием всех осей и необходимых размеров в сантиметрах (рис.4). На рис.4 в рамках показаны размеры, взятые из справочных данных, остальные получены в ходе расчета.

1.Определение положения центра тяжести. Построение центральных осей

Составная фигура (см. рис.4) имеет одну ось симметрии, которая является главной центральной осью ось z0. Вторая главная центральная пройдет через центр тяжести перпендикулярно оси z0.

Очевидно, что центр тяжести составной фигуры будет находиться на оси симметрии, поэтому определяем только по одной координате для точек С1 , С2 , С3, С4 и С5. В качестве вспомогательной системы выбираем y1 C1 z0.

Точка С1: zC1 =0.

Точка С2 : zC2 10 12,5 2,52 4,05 15,93см.

Точка С3 : zC3 zC2 15,93 см.

Общая площадь фигуры A 103,7см2 .

Через точку С проводим вторую главную центральную ось y0(см. рис.4). Теперь y0 , z0 основная система координат.

2.Определение величин осевых моментов инерции относительно главных центральных осей

На основании свойства о том, что момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции элементов этого сечения, вычисленного относительно той же оси, имеем

Jy0 JyI0 JyII0 JyIII0 JyIV0 JyV0 .

Для вычисления моментов инерции элементов сечения относительно главной центральной оси y0 , воспользуемся формулами изменения моментов инерции при параллельном переносе осей.

JyI0 JyI1 А1a12 ,

где J yI1 момент инерции I-го элемента относительно собственной центральной

оси y1 (справочная величина), А1 площадь I-го элемента (справочная величина), величина a1 определяет расстояние между осями y0 и y1 .

JyI0 327 40,5 ( 3,33)2 776 см4.

a1 zC1 zC 0 3,33 3,33см (см. рис.3).

Момент инерции второй фигуры относительно оси y0

JyII0 JyII2 А2a22 256 16 12,62 2796см4. a2 zC2 zC 15,93 3,33 12,6см.

JyIII0 JyII0 2796 см4, т.к.

фигура II и фигура III находятся на одинаковом расстоянии от оси y0. Момент инерции четвертой фигуры относительно оси y0

JyIV0 JyIV4 А4a42 147 15,6 ( 8,6)2 1300,776 1301см4. a4 zC4 zC 5,27 3,33 8,6 см.

JyV0 JyIV0 1301см4, т.к.

фигура V и фигура IV находятся на одинаковом расстоянии от оси y0. Окончательно, момент инерции составной фигуры относительно оси y0

Jy0 776 2 2796 2 1301 8970 см4.

Момент инерции составной фигуры относительно оси z0

Jz0 JzI0 JzII0 JzIII0 JzIV0 JzV0 .

Момент инерции первой фигуры относительно оси z0