- •Интегральное исчисление
- •1. Интегральное исчисление
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Метод подстановки
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Задача № 8
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения
- •Задача № 12
- •Двойной интеграл
- •Двойной интеграл в прямоугольных координатах
- •Вычисление двойного интеграла
- •Задача № 13
- •Задача № 14
- •Контрольная работа №4 дифференциальные уравнения
- •Задача № 1
- •Основные определения
- •Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами однородные уравнения
- •Задача № 2
- •Неоднородные уравнения случай специальной правой части
- •Задача № 3
- •Пояснение
- •Контрольная работа
- •Высшей математике (часть 2) Студента(ки) группы _________________________________________________
Неоднородные уравнения случай специальной правой части
Общий вид:
у + а1у + а2у = f(x), (14)
где . (15)
Здесь Pm(x) и Qn(x) - алгебраические многочлены степеней соответственно m и n.
В этом случае общее решение (14) получается как сумма общего решения (13) и какого-либо частного решения (14): уо. н. = уо. о. + уч. н..
Покажем, как находить уч. н., когда f(х) имеет вид (15). Исходя из конкретного вида (15), составляется число . Далее ставится вопрос: является ликорнем характеристического уравнения (13). Здесь возможны 3 случая, для каждого из которых строится уч. н..
Объединим эти случаи в табл.2.
Таблица 2.
Число |
Вид уч. н. |
характеристического уравнения |
уч. н. = |
равнения кратности 1 |
уч. н. = |
уравнения кратности 2 |
уч. н. = |
Здесь - алгебраические многочлены степени , где = max(m, n). Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов так, как это показано на следующем примере.
ПРИМЕР. у - 4у = х - 1.
Это - неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и со стандартной правой частью.
Характеристическое уравнение: к2 - 4 = 0. к1 = 2, к2 = -2.
уо. о. = С1e2х + С2e-2х (случай (а) табл.1).
Составляем . Т. к. здесь = 0 и = 0, то =0; число 0 не является корнем характеристического уравнения, т. е. Это 1-й случай табл. 2. Следовательно, уч. н. = Ах + В (здесь А и В - неизвестные коэффициенты. Найдем их.) . Подставим уч. н. в исходное уравнение. Т. к. уч. н. = А , уч. н. = 0, то
-4 * (Ах + В) = х - 1.
Приравниваем слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях Х (в этом и заключается метод неопределенных коэффициентов).
.
Итак, уч. н. = . Тогдауо. н. = уо. о. + уч. н. = - есть общее решение исходного уравнения.
Задача № 3
1. ; 2. ;
3..
Характеристическое уравнение:
ч.н.(1).
Подставим (1) в исходное уравнение
.
Отсюда находим А, и уо.н. = уо.о. + уч.н. .
Характеристическое уравнение:
Т.к. - не является корнем характеристического уравнения, то
уч.н. = Ах + В (2).
Подставим (2) в исходное уравнение -2а12А + а212 (Ах + В ) = а13х + а23,
методом неопределенных коэффициентов находим А и В, и уо.н. = уо.о. + уч.н. .
Характеристическое уравнение: к2 + а13к = 0, к1 = 0, к2 = -а13;
уо.о. = С1 + С2 *.
Т.к. - не является корнем характеристического уравнения, то
уч.н. = (3).
Подставим (3) в исходное уравнение:
Находим коэффициенты А и В методом неопределенных коэффициентов, и
уо.н. = уо.о. + уч.н. .
Пояснение
Номер варианта в контрольных работах № 3, №4 совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.
№ варианта |
а11 |
а12 |
а13 |
а21 |
а22 |
а23 |
а31 |
а32 |
а33 |
в1 |
в2 |
в3 |
1 |
1 |
-2 |
3 |
-4 |
5 |
-6 |
7 |
-8 |
9 |
5 |
-6 |
7 |
2 |
2 |
10 |
-9 |
8 |
-7 |
6 |
11 |
-12 |
13 |
8 |
9 |
4 |
3 |
3 |
4 |
5 |
-6 |
7 |
-8 |
9 |
-10 |
6 |
4 |
-3 |
2 |
4 |
2 |
2 |
10 |
8 |
-6 |
-3 |
1 |
5 |
-7 |
9 |
2 |
4 |
5 |
5 |
1 |
3 |
4 |
-2 |
6 |
8 |
-7 |
9 |
2 |
4 |
3 |
6 |
6 |
5 |
1 |
-7 |
3 |
4 |
-2 |
2 |
3 |
1 |
5 |
6 |
7 |
7 |
3 |
-4 |
5 |
8 |
-9 |
10 |
6 |
4 |
3 |
1 |
-8 |
8 |
8 |
-6 |
2 |
3 |
4 |
1 |
-4 |
3 |
-5 |
-6 |
7 |
-1 |
9 |
9 |
7 |
8 |
1 |
-1 |
2 |
3 |
-4 |
2 |
-2 |
8 |
5 |
0 |
10 |
8 |
7 |
2 |
9 |
-5 |
6 |
1 |
-1 |
7 |
2 |
9 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ»