- •Интегральное исчисление
- •1. Интегральное исчисление
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Метод подстановки
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Задача № 8
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения
- •Задача № 12
- •Двойной интеграл
- •Двойной интеграл в прямоугольных координатах
- •Вычисление двойного интеграла
- •Задача № 13
- •Задача № 14
- •Контрольная работа №4 дифференциальные уравнения
- •Задача № 1
- •Основные определения
- •Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами однородные уравнения
- •Задача № 2
- •Неоднородные уравнения случай специальной правой части
- •Задача № 3
- •Пояснение
- •Контрольная работа
- •Высшей математике (часть 2) Студента(ки) группы _________________________________________________
Задача № 1
1.; 2.;
3. ; 4..
1. .
Переменные разделились.
Тогда ;.
Закончить самостоятельно.
После замены у = t * x, у = tx + t имеем:
учитывая, что ,
Интеграл слева вычислить самостоятельно.
Это - линейное уравнение, где ,
у = U * V, y = UV + UV,
- уравнение с разделяющимися переменными. Т. к. то;
- уравнение с разделяющимися переменными.
Окончательно,
- общий интеграл исходного уравнения (последний интеграл вычислить самостоятельно).
Далее по той же схеме, что и в предыдущем примере (закончить самостоятельно).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА
Основные определения
Общий вид:
F(x, y, y , y) = 0 (7)
или
y = f (x, y, y). (7)
Начальные условия имеют вид
. (8)
Функция (9) называется общим решением (7) или (7) в соответствующей области Д (С1,С2 - произвольные константы), если при соответствующем выборе С1 и С2 эта функция дает частное решение (7), удовлетворяющее (8).
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами однородные уравнения
Общий вид:
у + а1у + а2у = 0 . (13)
Составляем характеристическое уравнение:
к2 + а1к + а2 = 0. (13)
Пусть к1, к2 - его корни. Возможны 3 случая:
а) корни вещественные, различные;
б) корни вещественные, равные: к1 = к2 = к (2-кратный корень);
в) корни комплексные, сопряженные к1,2 = а ± iв, где i = ).
Вид общего решения (13) в каждом из этих случаев запишем в табл. 1 .
Таблица 1
-
Корни к1, к2
Общее решение (13) ()
(а)
.
(б)
.
(в)
.
Задача № 2
1. у - 4а112 у + 3а111у = 0; 2. у + 2а22 у + а222у = 0;
3. у + а21у = 0; 4. у + а332у = 0.
1. Характеристическое уравнение: .
Легко находим, что к1 = 3а11, к2 = а11 (корни вещественные, различные). Это 1-й случай табл. 1. Тогда - общее решение.
2. Характеристическое уравнение: .
Далее применить табл. 1 и самостоятельно записать уо.о..
3. Характеристическое уравнение: .
Закончить пример самостоятельно.
4. Характеристическое уравнение: .
Закончить пример самостоятельно.
В следующих примерах найти частные решения д. у. (уч.о.), удовлетворяющие заданным начальным условиям.
5. у - 3а12 у + 2а12у = 0, у(1) = в1, у(1) = в2;
6. у - а222у = 0, у(0) = в2, у(0) = в3.
5. Характеристическое уравнение:
Решить систему, найти С1, С2 и уч.о..
Характеристическое уравнение:
Решить систему, найти С1, С2 и уч.о..