- •Интегральное исчисление
- •1. Интегральное исчисление
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Метод подстановки
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Задача № 8
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения
- •Задача № 12
- •Двойной интеграл
- •Двойной интеграл в прямоугольных координатах
- •Вычисление двойного интеграла
- •Задача № 13
- •Задача № 14
- •Контрольная работа №4 дифференциальные уравнения
- •Задача № 1
- •Основные определения
- •Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами однородные уравнения
- •Задача № 2
- •Неоднородные уравнения случай специальной правой части
- •Задача № 3
- •Пояснение
- •Контрольная работа
- •Высшей математике (часть 2) Студента(ки) группы _________________________________________________
Найти неопределенный интеграл .
=
Метод подстановки
Метод заключается в том, что вместо переменной x вводят новую переменную, например t. Так, если положить х = (t), то
Получаемый интеграл должен быть значительно проще данного. В противном случае следует искать другую форму введения новой переменной. Часто переменную t вводят так: t = (x), а dt = (x)dx. Это удобно, если данное подынтегральное выражение содержит дифференциал (x)dx.
ПРИМЕР:
Видно, что Cosx dx является дифференциалом для функции Sinx = t, Cosx dx = dt.
Получим (далее нужно вернуться к функцииSinx)
ЗАДАЧА № 2
Найти неопределенный интеграл .
=
ЗАДАЧА № 3
Найти неопределенный интеграл .
.
ЗАДАЧА № 4
Найти неопределенный интеграл .
=
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
В квадратном трехчлене ах2 + вх + С следует выделить полный квадрат:
.
ПРИМЕР:
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Идея метода состоит в том, что подынтегральное выражение f(x)dx нужно представить в виде произведения U*dV , где U(x) и V(x) - дифференцируемые функции и воспользоваться формулой .
При этом вновь полученный интеграл должен быть проще данного.
ЗАДАЧА № 5
Найти неопределенный интеграл .
=
ЗАДАЧА № 6
Найти неопределенный интеграл .
=
ЗАДАЧА № 7
Найти неопределенный интеграл .
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Выше было показано, что из неправильной рациональной дроби можно выделить целую часть и представить эту дробь как сумму целой ее части и правильной дроби. Поэтому будем рассматривать только интегрирование правильных дробей.
Всякую правильную рациональную дробь нужно представить в виде суммы простейших, которые имеют вид:
, 2. , 3.,
где А, В, а, в, р, q - действительные числа.
Теперь нужно научиться всякую правильную рациональную дробь представить как сумму простейших. Для этого вначале разложим знаменатель этой дроби на произведение множителей типа (х - а) и (х2 + рх + q), причем квадратный трехчлен х2 + рх + q имеет дискриминант Д 0. Если Д 0, то такой квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители:
x2 + px + q = (x - x1)(x - x2), где х1 и х2 - корни данного трехчлена.
Будем руководствоваться следующими приемами:
Каждому линейному множителю вида (х - а) соответствует дробь , гдеА -
неизвестный пока коэффициент;
2. Каждому множителю (х - в )к соответствует сумма из К простых дробей
;
3. Каждому множителю х2 + рх + q ( Д 0 ) соответствует дробь вида .
Задача № 8
Найти неопределенный интеграл .
;
При х = а23 получим: а11а23 + а12 = В(а23 - а13).
При х = а13 получим: а11а13 + а12 = А(а13 - а23).
Отсюда
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим интегралы вида:
, где R - рациональная функция.
Такие интегралы вычисляются при помощи универсальной подстановки
. Тогда .
После подстановки интеграл примет вид гдеR1(t) - рациональная функция.
ПРИМЕР:
.
Если интегралы имеют вид: , то выполняют подстановку tgx = z. Используя тригонометрические преобразования, получим
.
ПРИМЕР:
(выделим целую часть неправильной дроби)
.
Интегралы вида: .
Рассмотрим 2 случая.
Случай 1
Хотя бы один из показателей - целое положительное нечетное число. Если положительное нечетное число n, то применяется подстановка Sinx = t, если
m - нечетное положительное число, то используется подстановка Cosx = t.
Случай 2
Оба показателя степени m и n - положительные четные числа. В этом случае необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул понижения степени.
ПРИМЕР:
Интегралы вида : .
Если степень подынтегральной функции n - целое положительное число, то такие интегралы вычисляются при помощи замены tgx = t или ctgx = t.
Интегралы вида: .
В результате использования тригонометрических формул
подынтегральные функции удается представить в виде суммы функций.
ПРИМЕР:
ЗАДАЧА № 9
Найти неопределенный интеграл .
=
=
ЗАДАЧА № 10
Найти неопределенный интеграл .
=
=
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть функция f(x) определена на отрезке [ a, в ]. Разделим отрезок
[ a, в ] на n произвольных частей точками а = х0 х1 х2 ... хn-1 хn = в.
Выберем на каждом элементарном отрезке [ Xk-1, Xk ] произвольную точку Сk, обозначим длину элементарного отрезка через хk = xk - xk-1.
Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a, в ] называется сумма вида
.
Определение:
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [ a, в ] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю .