![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Интегральное исчисление
- •1. Интегральное исчисление
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Метод подстановки
- •Найти неопределенный интеграл .
- •Задача № 8
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения
- •Задача № 12
- •Двойной интеграл
- •Двойной интеграл в прямоугольных координатах
- •Вычисление двойного интеграла
- •Задача № 13
- •Задача № 14
- •Контрольная работа №4 дифференциальные уравнения
- •Задача № 1
- •Основные определения
- •Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами однородные уравнения
- •Задача № 2
- •Неоднородные уравнения случай специальной правой части
- •Задача № 3
- •Пояснение
- •Контрольная работа
- •Высшей математике (часть 2) Студента(ки) группы _________________________________________________
Теорема существования определенного интеграла
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, в ], то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способов разбиения на отрезке [ a, в ] на элементарные отрезки, ни от выборов точек на этих отрезках.
Если
функция f(x)
на отрезке [
a,
в ] положительна,
то определенный интеграл
геометрически представляет собой
площадь криволинейной трапеции - фигуры,
ограниченной линиями
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
; 2.
; 3.
;
4.
;
ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА
,
где F(x)
- первообразная функции f(x)
, т.е. F(x)
= f(x).
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Замена переменной в интеграле
.
Делается подстановка х = (t) и вычисляется дифференциал dx = (t)dt. Находятся новые пределы интегрирования путем решения уравнений а = (t),
в = (t) относительно t. Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Интегрирование по частям
где U = U(x), V = V(x) - непрерывно дифференцируемые функции на [ а, в ].
Вычислить
определенный
интеграл:
1.
;
2.
;
3.;4.
.
=
2.
=
3.
=
=
4.
=
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) [ f(x) 0 ], прямыми х = а, х = в, у = 0, вычисляется по формуле
.
y
= f(x)
а
в
Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = f1(x) и y = f2(x) сверху и снизу соответственно, вычисляется по формуле:
.
y
=f1(x)
y
= f2(x)
а
в
ПРИМЕР:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х2, х + у + 2 = 0.
Построим
график и найдем точки пересечения линий,
решив систему уравнений
.
Y
2
-1
X
1
-4
Вычисление объема тела вращения
Рассмотрим
криволинейную трапецию, ограниченную
кривой y
= f(x)
и прямыми у
= 0, х = в. Пусть
эта трапеция вращается вокруг оси Ох.
Тогда объем тела вращения вычисляется
по формуле
.
Если
фигура, ограниченная кривыми y
= f1(x);
y
= f2(x)
(0 ≤
f1(x)
≤
f2(x))
и прямыми х
= а, х = в,
вращается вокруг оси Ох,
то объем тела вращения
.
Рассмотрим
криволинейную трапецию
х = (у),
х = 0, у = 1, у = d.
Объем тела вращения, полученного путем
вращения этой трапеции вокруг оси Оу,
.
Задача № 12
Найти объем тела вращения
У
Х
в
х1
в
.
х
Двойной интеграл
Двойной интеграл в прямоугольных координатах
Пусть
функция
f(x,y)
определена и непрерывна в ограниченной
замкнутой области Д
плоскости хОу.
Разобьем область Д
произвольным образом на n
элементарных областей, имеющих площади
S1
,
S2
, ... ,
Sn
и диаметры d1,d2,
..., dn
(диаметром называется наибольшее из
расстояний между двумя точками границы
этой области). Выберем в каждой элементарной
области произвольную точку Pi(xi,
yi)
и составим следующую сумму:
.
Такая сумма называется интегральной суммой.
Определение:
Предел
интегральной суммы при условии, что
число элементарных областей
n
и наибольший диаметр
max
dk
0, называется двойным
интегралом
от функции f(x,
y)
по области Д,
если этот предел существует и не зависит
:
ни от способа разбиения области Д на элементарные области;
ни от способа выбора в них точек Рi
.
Если
f(x,
y)
0 в области
Д,
то двойной интеграл
равен объему цилиндрического тела,
ограниченного сверху поверхностьюz
= f(x,
y),
сбоку - образующими параллельные оси
Оz,
а снизу - областью Д
(лежащей на
плоскости хОу).
Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла.