Теорема существования определенного интеграла

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, в ], то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способов разбиения на отрезке [ a, в ] на элементарные отрезки, ни от выборов точек на этих отрезках.

Если функция f(x) на отрезке [ a, в ] положительна, то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной линиями

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. ; 2. ; 3.;

4. ;

4. 

ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА

, где F(x) - первообразная функции f(x) , т.е. F(x) = f(x).

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Замена переменной в интеграле .

Делается подстановка х = (t) и вычисляется дифференциал dx = (t)dt. Находятся новые пределы интегрирования путем решения уравнений а = (t),

в = (t) относительно t. Тогда исходный интеграл примет вид:

.

2. Интегрирование по частям

где U = U(x), V = V(x) - непрерывно дифференцируемые функции на [ а, в ].

Вычислить определенный интеграл:

1.; 2.;

ЗАДАЧА № 11

3.;4. .

1. =

2. =

3. =

=

4. =

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x) [ f(x)  0 ], прямыми х = а, х = в, у = 0, вычисляется по формуле .

y = f(x)

а

в

2. Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = f₁(x) и y = f₂(x) сверху и снизу соответственно, вычисляется по формуле: .

y =f₁(x)

y = f₂(x)

а

в

ПРИМЕР:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х², х + у + 2 = 0.

Построим график и найдем точки пересечения линий, решив систему уравнений .

Y

2

-1

X

1

-4

Вычисление объема тела вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривой y = f(x) и прямыми у = 0, х = в. Пусть эта трапеция вращается вокруг оси Ох. Тогда объем тела вращения вычисляется по формуле .

Если фигура, ограниченная кривыми y = f₁(x); y = f₂(x) (0 ≤ f₁(x) ≤ f₂(x)) и прямыми х = а, х = в, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения .

Рассмотрим криволинейную трапецию х = (у), х = 0, у = 1, у = d. Объем тела вращения, полученного путем вращения этой трапеции вокруг оси Оу, .

Задача № 12

Найти объем тела вращения

У

Х

в

х₁

в

2. .

х

Двойной интеграл

1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Д плоскости хОу. Разобьем область Д произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади S₁ , S₂ , ... ,S_n и диаметры d₁,d₂, ..., d_n (диаметром называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P_i(x_i, y_i) и составим следующую сумму:

.

Такая сумма называется интегральной суммой.

Определение:

Предел интегральной суммы при условии, что число элементарных областей n  и наибольший диаметр max d_k  0, называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области Д, если этот предел существует и не зависит :

1. ни от способа разбиения области Д на элементарные области;

2. ни от способа выбора в них точек Р_i

.

Если f(x, y)  0 в области Д, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностьюz = f(x, y), сбоку - образующими параллельные оси Оz, а снизу - областью Д (лежащей на плоскости хОу).

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла.