ТВиМС.Малярец.Егоршин 22.12.12

Аналогично вычисляются условные характеристики для строк таблицы:

Если множество значений двумерной величины представить точками с координатами (xi , yj) и весами (весовыми коэффициентами) pij , то условные математические ожидания М(y | xi) будут представлять собой центры тяжести (средние взвешенные) в каждом вертикальном ряду таблицы для х = xi , а М(х | уj) – центры тяжести в каждом горизонтальном ряду таблицы для у = уj , точка с координатами (М(х), М(у)) – общий центр тяжести всей системы точек.

Для независимых случайных величин все условные характеристики будут одинаковы для всех рядов таблицы: М(y | xi) = М(у) и все М(х | уj) = М(х).

Введем некоторую классификацию типов связей (зависимостей). Зависимость называется функциональной, если каждому значению аргу-

мента (аргументов) соответствует единственное значение функции (каждому значению объясняющих переменных соответствует единственное значение результативного признака, случайного разброса нет).

Зависимость называется стохастической (статистической), если при изменении объясняющих переменных меняется закон распределения результативной переменной (меняется его условное распределение) – меняется вид распределения или только его характеристики (условные математические ожидания, дисперсии и т. п.). Таким образом, в отличие от функциональной связи при статистической зависимости нет однозначного соответствия между множеством значений аргументов и множеством значений функции.

Статистическая зависимость называется корреляционной, если при изменении аргумента меняется условное математическое ожидание функции (каждому значению объясняющих переменных соответствует свое среднее значение результативной переменной). При корреляционной зависимости мы следим за изменением только одной характеристики – центра условного распределения (условного математического ожидания).

Корреляционная зависимость является частным случаем общей статистической зависимости. Естественно, существуют также иные виды статистических зависимостей некорреляционного типа, например, когда меняется условная дисперсия.

Коэффициент корреляции является мерой тесноты корреляционной связи; когда он равен нулю, корреляционной зависимости нет (все условные математические ожидания одинаковы). Однако при ху = 0 могут быть иные виды

81

статистической зависимости, поэтому из равенства нулю коэффициента корреляции еще нельзя утверждать, что случайные величины X, Y независимые; говорят, что такие величины «некоррелированы». Покажем, что максимальное значение коэффициента корреляции по абсолютной величине равно единице.

Для этого рассмотрим дисперсию линейной комбинации

При | xy| = 1 зависимость линейная функциональная (нет разброса).

Закон распределения непрерывной двумерной величины

Универсальным способом задания случайной величины является ее функция распределения: F(x, y) = P(X ≤ x; Y ≤ y) – вероятность того, что каждая компонента системы не превзойдет указанных значений x, y.

82

Для определения функции плотности вероятности f(x, y) в точке используем предельный переход:

Таким образом, функция плотности вероятности для двумерной случайной величины равна смешанной производной второго порядка от функции распределения.

Геометрически двумерную функцию f(x, y) можно представить некоторой поверхностью – поверхностью распределения. На рис. 8.4а для примера приведена такая поверхность для двумерного нормального закона (будет рассмотрен далее). Удобно изображать двумерные распределения линиями уровня – линиями равной плотности вероятности (рис. 8.4б).

a) б)

Рис. 8.4. Двумерный график плотности вероятности нормального

закона (а) с параметрами (mx = 0; my = 0; x = 1,5; y = 1; xy = 0,7)

и семейство линий уровня f = Const (б)

Если отдельные компоненты, входящие в систему, взаимно независимые, то по теореме умножения вероятностей имеем:

F(x, y) = P(X ≤ x; Y ≤ y) = P(X ≤ x) P(Y ≤ y) = F(x) F(y).

83

Дифференцируем это равенство по х и по у:

f x, y Fxy'' x, y Fx' xFy' yf1 xf2 y .

Таким образом, для независимых компонент плотность распределения системы случайных величин оказалась равной произведению плотностей распределения отдельных компонент.

Напоминаем, что случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

Зная плотность вероятности системы f(x, y), всегда можно найти распределение отдельных компонент:

Обратное утверждение в общем случае неверно – только для независимых компонент можно по их распределениям восстановить закон распределения всей системы. Согласно общей теореме умножения вероятностей записываем:

Характеристики непрерывной двумерной величины

Все вычислительные формулы аналогичны формулам для вычисления характеристик дискретных величин, только дискретные суммы заменяются на интегралы:

84

теристики:

Условные характеристики являются функциями другого аргумента.

Двумерный нормальный закон

Плотность вероятности для этого закона описывается формулой:

85

Условные распределения также подчиняются нормальному закону:

Интересно, что центры этих распределений (условные математические ожидания) линейно зависят от другой переменной:

Эти линейные зависимости являются диаметрами эллипсов рассеяния, сопряженными семейству вертикальных и горозонтальных хорд соответственно.

Иными словами, М(y | x) представляет собой множество середин вертикальных хорд, а М(х | у) – множество середин горизонтальных хорд эллипсов. Оба диаметра при xy 0 не совпадают с главными осями эллипса (см. рис. 8.4б).

Выше уже указывалось, что для независимых случайных величин xy = 0. Обратное утверждение в общем случае неверно – равенства xy = 0 недостаточно, чтобы утверждать о независимости случайных величин X и Y, поэтому говорят, что при xy = 0 случайные величины «не коррелированы».

Однако, если дополнительно известно, что закон совместного распределения нормальный, то из условия xy = 0 следует заключение о независимости компонент.

Действительно, для

Получили f(x, y) = f1(x) f2(y) – условие независимости X, Y.

Интересно, что в случае двумерного нормального закона меняются только центры условных распределений (условные математические ожидания),

86

Вопросы для самопроверки

1.Приведите определение многомерной случайной величины.

2.Как можно задать распределение двумерной случайной величины?

3.Что такое условные распределения?

4.Как, зная двумерное распределение системы, найти законы распределения ее компонентов?

5.Что такое функция распределения системы непрерывных случайных величин? Перечислите ее свойства.

6.Что такое плотность вероятностей для двумерных величин? Как эта функция связана с функцией распределения?

7.Перечислите основные характеристики двумерной случайной величины.

8.Что такое ковариация, каковы ее свойства?

9.Что такое коэффициент корреляции, каковы его свойства?

10.Чему равен коэффициент корреляции для независимых случайных

величин?

11.Какие выводы можно сделать, если коэффициент корреляции равен нулю? Если он равен единице? Если он отрицательный?

12.Какие бывают типы связей?

13.Что такое корреляционная зависимость?

14.Какую зависимость характеризует коэффициент корреляции?

15.Сформулируйте двумерный нормальный закон распределения.

16.Что такое эллипсы рассеяния?

17.Каковы распределения компонент, если система величин имеет многомерное нормальное распределение?

18.Какими особенностями обладают условные распределения, если система величин имеет двумерное нормальное распределение?

87

9. Проблемы математической статистики

Цели теории вероятностей и математической статистики в некоторой мере противоположны. В теории вероятностей, зная теоретическое распределение случайных величин, пытаются предсказать результаты опыта (с заданной надежностью и погрешностью). В математической статистике, наоборот, по результатам эмпирического обследования пытаются сделать заключения о теоретическом распределении случайных величин.

Слово «статистика» происходит от слова state (государство), так как управление государством требует учета большого объема сведений из самых различных отраслей хозяйства, здравоохранения, внешнеполитической обстановки и т. п. Задача математической статистики – свести эти «простыни цифр» (выражение акад. Крылова А. Н.) до немногих понятных характеристик.

Кратко цель математической статистики можно сформулировать как разработку методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений.

Назовем совокупностью или генеральной совокупностью, все мыслимые наблюдения изучаемой случайной величины. Количество этих наблюдений – объем совокупности – очень большое и часто бесконечное. Например, при бросках монеты объем генеральной совокупности бесконечен, монету можно подбрасывать все время без остановок. Если обследуется качество продукции, то в генеральную совокупность включаются все когда-либо произведенные изделия данного типа. Естественно, невозможно испытать все элементы генеральной совокупности, тем более, что некоторые испытания связаны с уничтожением образца (как, например, проверить вкусовые качества фруктов?). Для анализа отбирается сравнительно малая часть совокупности, которая называется выборкой. Обычно обозначают через N объем совокупности (если она конечная), а через n – объем выборки; естественно, объем выборки существенно меньше объема совокупности n << N.

В связи с этим возникает проблема правильного отбора образцов в вы-

борку. Ведь можно в выборку отобрать (сознательно или не подозревая этого) одни бракованные элементы и на основании статистического обследования такой выборки получить совершенно неверные выводы. Выборка должна быть

репрезентативной (представительной), то есть правильно представлять со-

вокупность.

Любые характеристики, вычисленные по данным выборки, называются оценками. Например, относительная частота m / n является оценкой вероятности р, среднее x (центр выборки) является оценкой математического ожидания М(х)

88

(центра всей совокупности). Естественно, оценки должны быть доброкачественными и удовлетворять некоторым обязательным условиям. Правила составления доброкачественных оценок составляют проблему статистического оценивания числовых характеристик и параметров распределения случайных величин.

В «описательную статистику», кроме оценок числовых характеристик,

входят также эмпирические оценки функций распределения и способы графи-

ческого представления особенностей распределения данных.

На основании статистического обследования делаются некоторые выводы относительно значимости определяемых характеристик, особенностей распределения, существования или отсутствия связей, проверки однородности совокупности и т. д. Круг этих вопросов составляет проблему проверки стати-

стических гипотез.

Способы составления выборочных подсовокупностей

Правила составления выборок должны обеспечивать равные шансы любым элементам совокупности быть отобранными в выборку. Предложено несколько методик составления представительных выборок от самых простых до очень сложных.

Простой случайный отбор. Так называется способ, когда элементы совокупности отбираются в выборку случайным образом, например, с помощью таблицы случайных чисел. При этом предполагается, что выборка однородная, а не представляет собой смесь нескольких подсовокупностей.

Расслоенный случайный отбор. Предварительно выясняют, из каких заметно различающихся подсовокупностей (групп, классов, слоев) состоит общая совокупность, и определяют (хотя бы ориентировочно) объемы этих групп (N1 + N2 + N3 + … + Nk = N). Из каждой такой подсовокупности в выборку случайным образом отбираются элементы, количества которых пропорциональны

объемам подсовокупностей nj = Nj или n1 : n2 : n3 : … : nk = N1 : N2 : N3 : … : Nk ,

где n1 + n2 + n3 + … + nk = n.

На практике ориентируются на соображения по ограничению стоимости, времени и трудозатрат предварительного статистического обследования, поэтому часто выбирают упрощенные схемы отбора образцов, которые не гарантируют полной репрезентативности выборки. Однако в математической статистике данные будут анализироваться в предположении, что составленная выборка репрезентативная (представительная).

89

Статистическое оценивание

Доброкачественные оценки должны удовлетворять некоторым требованиям, о которых будет сказано ниже.

Сначала перечислим наиболее распространенные оценки характеристик распределения совокупности.

ставляют так называемый вариационный ряд (рис. 9.1) в виде таблицы соответствия между дискретными значениями слу-

чайной величины и частотами их появления в выборке ( mj = n).

ятностей pj . Полигон относительных частот является приближением (оценкой) полигона вероятностей.

Среднее (выборочное среднее) x является оценкой математического ожидания (генерального среднего) М(х). Среднее можно подсчитать или по ис-

Поскольку многие характеристики выражаются через математические ожидания, для получения оценок этих характеристик надо в соответствующих формулах заменить операторы математического ожидания на операторы среднего. Таким образом, получаем оценки дисперсии, ковариации, коэффициента корреляции и многие другие (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Некоторые характеристики и их выборочные оценки

90