ТВиМС.Малярец.Егоршин 22.12.12

Дифференциальная функция нормального закона fn рассчитывается по центрам интервалов (х) функцией fn = НОРМРАСП(х;Хср;Sx;0), интегральная функция Fn рассчитывается по правым границам интервалов (Хпр) той же функцией Fn = НОРМРАСП(Хпp;Хср;Sx;1) – разница только в значении последнего параметра функции. Ссылки на Хср и Sx должны быть абсолютными, чтобы они не изменялись при копировании формул.

Знание интегральной функции теоретического распределения позволяет рассчитать ожидаемые частоты mn = F∙n, где F – разность текущего и предыдущего значений интегральной функции Fn (ссылка на n должна быть абсолютной). Для того чтобы сумма ожидаемых частот точно равнялась общему количеству наблюдений mn = n, крайние дополнительные интервалы № 0 и 13 условно расширяем; ожидаемую частоту в начальном интервале № 0 вычисляем по формуле (F0 – 0)·n 1,7, а в последнем (дополнительном) интервале № 13 –

по формуле (1 – F12)·n 0,0.

В недавнем прошлом, когда все расчеты выполнялись вручную, была необходимость вычислять ожидаемые частоты по значениям дифференциальной функции (поскольку таблицы интегральных функций некоторых законов распределения были только в специальных справочниках). В учебных целях в последней колонке вышеприведенной таблицы найдены ожидаемые частоты по приближенной формуле mnf fn∙h∙n. На удивление, получилось неплохое соответствие с расчетами по интегральной функции.

Критерий согласия Пирсона

Проверяем нормальность распределения по критерию Пирсона 2 , сравнивая два ряда частот: наблюдаемых (m) и ожидаемых по теоретическому закону (mn). Последовательность расчетов показана на рис. Л4.2.

Малонасыщенные интер-

221

Графики функций распределения

Построим на одной диаграмме графики всех дифференциальных функций, а на другой – всех интегральных функций (рис. Л4.4).

Если все сделано без ошибок, графики интегральных функций должны переплетаться (при ошибках получаются явные сдвиги между графиками разных распределений – эмпирического, нормального, равномерного).

На диаграмме дифференциальных функций вместо гистограммы построен полигон – ломаная, которая соединяет середины ступенек гистограммы (именно для полного построения полигона при группировке данных были добавлены крайние пустые интервалы № 0 и 13).

Рис. Л4.4. Стандартные графики функций распределения

Полигон эквивалентным образом представляет гистограмму, его площадь равна единице. График полигона имеет тот же тип, что и остальные графики, поэтому при построении диаграммы с графиками дифференциальных функций никаких затруднений не возникает.

223

Однако традиционно пытаются совместить на одной диаграмме графики разных типов, что в принципе сделать можно и не одним способом. На рис. Л4.5 приведены два нестандартных графика дифференциальных функций распределения, построенных разными способами, которые будут описаны в следующей лабораторной работе.

Рис. Л4.5. Нестандартные комбинированные графики

Интервальная оценка математического ожидания

При заданном уровне доверия Р = 1 – границы доверительного интервала, который с вероятностью Р накрывает неизвестное генеральное среднее (матема-

224

до 7,1 % . Если задать больший уровень доверия Р = 0,99, доверительная погрешность увеличится до 11,3 % .

Определение потребного объема выборки

Когда заданы и уровень доверия (Р), и предельная относительная погрешность (q), требуется определить объем выборки (n), при котором результаты будут получены с заданной точностью и надежностью. Потребный объем выборки зависит от коэффициента вариации совокупности. Предполагаем, что он близок к выборочному коэффициенту вариации Vx = 0,37 или немного больше. Объем выборки n находим как решение неравенства n > (t1–P·Vx / q)2 , где табличное значение статистики Стьюдента также зависит от n. Поэтому данное неравенство решаем последовательными приближениями (итерациями).

рия до Р=0,9 (90 %), потребный объем выборки снизится до n = 175.

Интервальная оценка на генеральную дисперсию

Интервальная оценка Пирсона на генеральную дисперсию 2 выведена в предположении нормальности распределения Х:

Здесь SSX = n∙Dx = n∙(Sx)2 ;

P – уровень доверия;

=(1 – P) / 2;

=ХИ2ОБР( ; n – 1);

= ХИ2ОБР(1 – ; n – 1).

225

Нормальная вероятностная кривая

Для графической проверки соответствия предполагаемого теоретического закона и подбора подходящего функционального преобразования случайной величины с целью приблизить ее распределение к теоретическому предлагается построить следующий график (этот график называется нормальной вероятностной кривой, если проверяется согласие распределения с нормальным законом).

Рассматриваются ординаты кумуляты (эмпирической интегральной функции), и по этим значениям находят квантили предполагаемого теоретического распределения (то есть по теоретической интегральной функции находят значения аргумента, для которых теоретическая интегральная функция равна соответствующим значениям кумуляты).

Для нормального закона в Excel имеется две функции: НОРМСТОБР(Вероятность) и НОРМОБР(Вероятность; Среднее; Станд_Откл).

С помощью одной из этих функций (например, НОРМСТОБР) для всех значений кумуляты, кроме крайних значений 0 и 1, вычисляются значения t = НОРМСТОБР(F) и строится график (Хпр – t). В случае соответствия распределений все точки нормальной вероятностной кривой должны группироваться вокруг прямой t = (Хпр – Хср) / Sx.

На рис. Л4.9а по данным рассматриваемого примера построен график нормальной вероятностной кривой, откуда видно, что точки (Хпр, t) систематически уклоняются от указанной прямой, что говорит о несоответствии наблюдаемого распределения нормальному закону.

На сравнительных графиках полигона (гистограммы) и кривой нормального закона (см. рис. Л4.4 и Л4.5) также визуально видны явные различия между этими распределениями.

226

Однако критерий согласия Пирсона не выявил расхождений между наблюдаемыми и теоретическими частотами значимыми, поэтому был сделан вывод о допустимости использования в дальнейшем нормального закона как аппроксимации действительного распределения.

а) б)

Рис. Л4.9. Нормальная вероятностная кривая для х и lnx

Вид кривой, вокруг которой группируются точки (Хпр, t), подсказывает возможное функциональное преобразование случайной величины.

В данном примере эта кривая похожа на график логарифма, поэтому все значения Хпр были прологарифмированы и построен новый график (см. рис. Л4.9б) в полулогарифмическом масштабе (lnХпр, t). После этого преобразования точки нормальной вероятностной кривой стали тесно группироваться вокруг некоторой прямой, что свидетельствует в пользу предположения о логнормальном законе распределения.

227

Лабораторная работа 5 Нестандартная графика

Определение квартилей и выявление выбросов

X1) / (F2 – –F1)·(F – F1). Так, для вычисления медианы из таблицы значений кумуляты (см. рис. Л3.4) выписываем: при Х1 = 1,1 значение F1 = 0,447 < 0,5, a для

Полезно создать блок линейного интерполирования (рис. Л5.2) и продублировать его 3 раза для вычисления нижней, средней и верхней квартилей.

228

Х0,25 + 1,5· ) = (0,90 – 0,87; 1,48 + 0,87) = (0,03; 2,35), считаются выбросами. Так как Xmin = 0,39 > 0,03, выбросов влево нет. Но Xmax = 2,55 > 2,35 можно считать выбросом вправо. Функцией НАИБОЛЬШИЙ (Массив; K) находим остальные выбросы вправо:

НАИБОЛЬШИЙ(Х; 2) = 2,5 > 2,35; НАИБОЛЬШИЙ(Х; 3) = 2,45 > 2,35;

Итак, три наибольших значения похожи на выбросы вправо. Если их удалить, все автоматически пересчитывается и распределение приближается к нормальному. Интересно, что правило «3-х сигм» не обнаружило ни одного выброса. По всей видимости, выбросы сдвинули положение

Построение блочной диаграммы Тьюкки

Английский статистик Джон Тьюкки предложил вместо гистограмм строить диаграммы «ящик и усы» (рис. Л5.4).

Границами «ящика» являются нижняя и верхняя квартили, они ограничивают диапазон «лучшей половины» наблюдений.

229