ТВиМС.Малярец.Егоршин 22.12.12

ниях другого параметра n (n = 10, 20, 30, 50). Эти графики позволяют заметить характерные особенности распределения.

Кроме этого, полезно убедиться, что характеристики распределения Бернулли правильно отображаются известными формулами:

M(m) = np, D(m) = npq.

Полезно также убедиться в справедливости правила «3-х сигм»:

M(m) – 3 m < m < M(m) + 3 m ,

Рис. Л1.1. Изучение зависимости распределения Бернулли от параметра p

201

Рассмотрим внимательно первый блок (столбцы A, B таблицы Excel). В строках 5 и 6 задаем значения параметров n = 10, p = 0,1.

Последние 4 формулы можно набрать позже, когда будет заполнен диапазон B14:B24, который содержит значения Pn(m). Отметим полезный прием: в столбце А записываем текст и смещаем его вправо, а в столбце В вычисляем числовое значение и смещаем его влево. Получается понятный комментарий к выполненным операциям.

Рабочий лист Excel, кроме всего прочего, является отчетным документом, поэтому не стоит экономить на комментариях и заголовках.

Из информации в строках 8 – 11 первого блока видно, что, действительно, M = np = 10·0,1 = 1; D = npq = 10·0,1·0,9 = 0,9; и что все вероятные значения m не превосходят M + 3Sm = 3,85 4.

Значения Pn(m) удобно рассчитывать по реккурентной формуле, которая приведена в строке 3 рабочего листа Excel:

Pn(m) = Pn(m – 1) · (n – m + 1) / m ∙ p / q.

Начальное значение Pn(0) = qn вычислено в ячейке В14.

При наборе реккурентной формулы в ячейке В15 следует зафиксировать (знаками $) номера строк постоянных значений n, p, q. Далее формула копируется ниже до ячейки В24.

Заполнив первый блок, копируем его несколько раз вправо и в новых блоках заменяем значения параметра p на p = 0,3; p = 0,5; p = 0,7; p = 0,9. Все автоматически пересчитывается.

Вблоках серым фоном выделены значения m, которые признаны значимыми по правилу «3-х сигм».

Теперь строим графики. Выделяем значения m вместе с заголовком в ячейке А13, далее при нажатой клавише Ctrl выделяем мышкой значения Pn(m)

для p = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9.

Выделять диапазоны надо вместе с заголовками в строке 13, тогда эти заголовки автоматически будут отображены в легенде (пояснениях к каждой линии на графике). Вызываем Мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы – точечная, легенда – внизу, линии сетки – основные, заголовок: «Распределение Бернулли при разных p (n=10)».

Врезультате получим график (рис. Л1.2), который почти не требует дополнительного форматирования.

202

Новые таблицы следует продолжить вниз с запасом до строки 64 (теперь блоки будут иметь разную длину).

Соответствующим образом надо изменить верхнюю границу суммирования при вычислении M и D (только для первого блока новой таблицы, далее откорректированные формулы копируются вправо).

Для того чтобы на графиках автоматически изменялась легенда, следует заголовки в строке 13 заменить на формулы ="n="&ТЕКСТ(L5;"0").

Теперь все готово для построения нового графика (рис. Л1.5).

Рис. Л1.5. Зависимость распределения Бернулли от параметра n

Из рис. Л1.5 видно, как с увеличением параметра n распределение Бернулли приближается к какой-то стандартной форме – к распределению Лапласа или к так называемому нормальному закону распределения Гаусса.

Считается, что при n 30 распределение уже практически нормально.

205

Лабораторная работа 2 Асимптотические формулы Пуассона и Лапласа

Изучение распределения Пуассона средствами Excel

Фрагмент выполнения задания на рабочем листе приведен на рис. Л2.1, который оформлен аналогично рабочему листу с расчетами по формулам Бернулли.

Рис. Л2.1. Изучение зависимости распределения Пуассона от параметра а

Предлагается на рабочем листе Exсel построить графики распределения Пуассона для разных значений параметра a = 1, 2, 3, 4, 5; вычислить для этих значений параметра характеристики M, D и убедиться, что математическое ожидание и дисперсия правильно воспроизводятся известными формулами

M(m) = a, D(m) = a.

206

Распределение Пуассона можно считать асимптотическим приближением для распределения Бернулли, когда n >> 1, p << 1, a = np. Здесь выражение n >> 1 означает «n очень большое», а выражение p << 1 – «p очень маленькое». Считается, что предельным распределением можно пользоваться при n 30, p 0,1 и a = np 5. На компьютере можно проверить и уточнить эти утверждения.

Изучение распределения Лапласа средствами Excel

ров n и p; характеристики распределения выражаются через эти параметры:

кальной теоремой Лапласа. Интегральная функция Лапласа используется для вычисления вероятности попадания случайной величины M = {m} в полуот-

крытый интервал: P(m1 m m2) Ф(tm2) –Ф(tm1) =

= F(m2) – F(m1). Обычно эта формула называется интегральной теоремой Лапласа. Заметим, что интегральная функция распределения Лапласа F(m) = P(M m) отличается от интегральной функции Лапласа постоянным слагаемым: F(m) = Ф(tm) + 0,5. На компьютере Pn(m) и F(m) вычисляются функцией НОРМРАСП(m;a; m;k), которая при k = 0 возвращает значения вероятности Pn(m), а при k = 1 возвращает значения интегральной функции распределения Лапласа F(m). Считается, что асимптотическими формулами Лапласа мож-

На рис. Л2.3 изображен фрагмент рабочего листа Excel с выполненным заданием. Слева в столбцах А, В размещен блок расчетов по формуле Бернулли (сейчас принято n = 10). В соседнем столбце C приведены значения кумуляты (накопленных вероятностей) F(m) = (Pn(k)), вычисленных по рекуррентной

208

формуле F(m) = F(m - 1) + Pn(m), где F(0)=Pn(0)=qn. С помощью кумуляты одним вычитанием определяются вероятности попадания случайной величины m

= 0,9526 – 0,1493 = 0,8433; это же значение можно получить непосредственно, суммируя вероятности Pn(m) для m = 2, 3, 4, 5 (цифры на сером фоне в столбце А). Отметим существенную особенность интегральной теоремы для дискрет-

Рис. Л2.3. Проверка точности асимптотических формул Лапласа

По результатам расчетов построены сравнительные графики распределения Бернулли и распределения Лапласа с теми же самыми характеристиками.

209

Изменяя n в ячейке В6, можно наблюдать, насколько хорошо распределение Бернулли описывается предельным распределением Лапласа.

На рис. Л2.4 приведены два сравнительных графика для n = 10 и n = 20, откуда видно, что при n 20 распределение Бернулли для р = 0,3 практически совпало с предельным распределением Лапласа.

Таким образом, убедились в том, что локальная формула Лапласа достаточно точная.

Рис. Л2.4. Сравнительные графики распределений Бернулли и Лапласа

Переходим к проверке точности расчетов по интегральной формуле Лапласа. Для примера вычислим вероятность попадания случайной величины m в интервал [M – m ; M + 2 m].

Согласно стандартной записи интегральной теоремы Лапласа, эта вероятность подсчитывается как разность Ф(2) – Ф(–1) = 0,8186.

Однако интегральная теорема Лапласа выведена в предположении непрерывности распределения случайной величины, а распределение Лапласа дискретное. Поэтому значение, вычисленное по интегральной теореме Лапласа (или близкое к нему), может быть получено только для очень большого n > 200. Проверим данное утверждение. Выше над блоком расчетов по формуле Бернулли для n = 10 вычислены границы интервала: M – Sm = 1,551 и M + 2Sm = 5,898; эти границы округлены до целых m1 = 2, m2 = 5 как для целочисленной величины [1,551 m 5,898] ~ [2 m 5] (при изменении n все эти числа будут автоматически пересчитаны).

В ячейке F7 для заданного n = 10 подсчитывается точное значение веро-

ятности P(2 m 5) = F(5) – F(1) = 0,8033.

210