- •Проекция векторов
- •1.4 Умножение векторов
- •– Производная радиуса-вектора
- •II.Угловая скорость
- •III.Связь Угловой и линейной скоростью точки
- •IV.Переносная скорость
- •V.Переносное, Центробежное и Кориолисово ускорение точки
- •VI. Зависимость ускорения свободного падения от широты местности
- •2.8 Две основные задачи динамики
- •Законы ньютона как фундамент классической механики
- •Закон инерции галилея
- •Первый закон ньютона
- •Инерциальные системы отсчета
- •Второй закон ньютона
- •Основное уравнение динамики
- •Прямая и обратная задача динамики
- •Начальные условия
- •Огра е ость преде ы действ ьюто овс ой е а
- •Замкнутая (изолированная) система. Закон сохранения импулься
- •Импульс материальной точки
- •2,13 Поле сил
- •Неконсервативные силы
- •Понятие центральной силы.
- •Замечание.
- •Внутреняя энергия
- •2,14Понятие момент импульса
- •Для системы
- •2,15Oднородность времени и закон сохранения энергии
- •Bзотропность пространства и закон сохранения момента импульса
2,15Oднородность времени и закон сохранения энергии
Вывод этого утверждения может быть произведѐн, например, на основе лагранжева формализма[1].Если время однородно, тофункция Лагранжа,описывающая систему, не зависит явно от времени, поэтомуполная еѐ производная по времени имеет вид:
Здесь — обобщѐнные координаты и их первые и вторые производные
по времени соответственно. Воспользовавшись уравнениями Лагранжа,заменим производныена выражение
:
Перепишем последнее выражение в виде
Сумма, стоящая в скобках, по определению называется энергией системы и в силу равенства нулю полной производной от неѐ по времени она является интегралом движения (то есть сохраняется).
Bзотропность пространства и закон сохранения момента импульса
Изотропность — одно из ключевых свойств пространства в классической механике.Пространство называется изотропным, если поворотсистемы отсчета на произвольный угол не приведет к изменению результатов измерений.
Связь закона сохранения момента импульса с изотропностью пространства. Под изотропностью пространстав понимается эквивалентность различных направлений в пространстве. Это означает, что если имеется некоторая изолированная физическая система, то развитие событий в ней зависитот того, как она ориентирована в пространстве. В применениии к изилированной системе материальных точек отсюда следует, что угловое перемещение системы на δφ не изменит еѐ внутреннего состояния и его внутренних движений. Поэтому полная работа внутренних сил при угловом перемещении должна быть равна нулю. При угловом перемещении δφ материальная точка, характеризуемая радиусом вектором ri , испытывает смещение δri =δφ*ri. Равенство нулю полной работы внутренних сил при угловом перемещении системы на δφ выражается в виде
½*∑∑(δri∙Fji+δri∙Fij)=0. (1)
Следовательно можно написать:
δri∙Fji+δri∙Fij=(δφ´ri)∙Fji+( δφ´ri)∙Fij=δφ∙(ri´Fji)+δφ´(ri´Fij)=δφ∙[(ri-rj)´Fji], (2)
где во внимание известное из векторной алгебры правило о циклической перестановке сомножетелей в смешанном векторном произведении и третий закон Ньютона. Пожставляя (2) в (1), находим ½*∑i∑jδφ∙[(ri-rj)*Fji]=0. Поскольку угловое перемещение δφ произвольно, получаем равенство ∑i∑j(rirj)*Fji=0. Можно сказать, что полученное равенство следует из изотропности пространства. А это означает, что закон сохранения момента импульса изолированной системы материальных точек обусловлен фундаментальным свойством пространства в инерциальных система — его изотропностью.