25. Изоморфизм лп. Теорема об изоморфизме.

Пусть V, V' над P. V и V’ называют изоморфными (V=~V’) если сущ-т взаимнооднозначное соответствие (изоморфизм) φ:V -> V’ такое, что 1) φ(x,y) = φ(x) + φ(y), для x,y V. 2) φ(αx) = αφ(x), x V, αR. (NB: Если φ – изом-м, то φ(Θ) = Θ', ΘV, Θ ‘V’. φ(Θ)= φ(0x)=0* φ(x)= Θ’.

Трм Пусть V, V' – конечномерные ЛП над P. Тогда V=~V’ необх\дост dimV=dimV' (т.е. все конечномерные ЛП одной размерности изоморфны). Док-во: Дость: пусть dimV=dimV' и пусть e₁..e_n = E – базис в V, E’ = e’₁..e’_n – базис в V'. Зададим φ: x=∑ξ_ie_i => x’=∑ξ_ie’_i . Ну и изоморфизм ли φ? 1) φ(x+y) = φ(∑ξ_ie_i+∑h_ie_i ) = ∑(h_i+ξ_i)e’_i = ∑ξ_ie’_i+∑h_ie’_i = φ(x) + φ(y) 2)φ(αx)= φ(∑αξ_ie_i)=∑αξ_ie’_i = α∑ξ_ie’_i = αφ(x). Из этих двух фактов имеем, что φ – изоморфизм и V=~V’ Необх-ть: пусть V=~V’ и φ – изоморфизм. Предположим, n>n'. e₁..e_n = E - базис в V. e_i’= φ(e_i) V’; e₁’...e_n’ – лз в V', т.к. n>n', т.е. сущ-т α_1.. α_n P : ∑α_ie’_i = Θ’. ∑α_ie’_i = ∑α_i φ(e_i) = φ(∑α_ie_i) = Θ’ => ∑α_ie_i = Θ => e₁...e_n – лз, но это противоречит тому, что e₁...e_n – базис. Значит, предп-е, что n>n' неверно => n≤n’. Но если, n<n' и e’₁..e’_n = E’ - базис в V’ (e_i’= φ(e_i) V’), имеем e₁...e_n – лз в V', т.к. n>n', т.е. сущ-т α_1.. α_n P : ∑α_ie_i = Θ. ∑α_ie’_i = ∑α_i φ(e_i) = φ(∑α_ie_i) = Θ’ т.к. ∑α_ie_i = Θ => e'₁...e’_n – лз, но это противоречит тому, что e’₁...e’_n – базис. Значит, предп-е, что n<n' неверно => n’≤n. Итак, мы имеем одновременно n’≤n и n≤n’ значит, n=n, чтд.

26. Прямая сумма и прямое дополнение. Теорема о прямом дополнении. Теорема о размерности суммы подпространств.

WcV – ЛПП. W₁+W₂ = {x| x=x₁+x₂, x₁W₁, x₂W₂} – сумма ЛПП. W₁W₂={x| xW₁, xW₂}

Опр. Сумма ЛПП W₁ иW₂ наз-ся прямой (W₁W₂) если W₁W₂ = {Θ}

Опр. W₁, W₂ – ЛПП, W₁сW. ЛПП W₂ наз-ся прямым дополн-м к W₁ отн-но W, если W= W₁W₂

Трм. (О прям.доп). Пусть W₁,W – ЛПП. dimW=m, dimW₁=k<m. Тогда сущ-т W₂ - прямое-доп-е к W₁ отн-но W и dimW₂=m-k. Д-во Пусть e₁...e_k – базис в W₁ тогда по трм о пополн. базиса сущ-т g_k+1...g_m такие, что (e₁...e_k, g_k+1...g_m)-базис в W. W₂ = Z(g_k+1...g_m). xW: x=ξ₁e₁+...+ξ_ke_k + h_k+1g_k+1+...+h_mg_m = x₁+x₂ (x₁W₁ ; x₂W₂). W=W₁+W₂. xW₁W₂ => x= ξ₁e₁+...+ξ_ke_k = h_k+1g_k+1+...+h_mg_m => ξ₁=...=ξ_k=0=> x= Θ. W₁W₂=W; dimW₁+dimW₂=dimW.

Трм (О разм-ти суммы ПП) Пусть W₁иW₂ – конечномерные ЛПП. Тогда dim(W₁+W₂)=dim(W₁)+dim(W₂)-dim(W₁W₂). Док-во M= W₁W₂ – ЛПП. McW₂=>cущ-т прям. дополн к М отн-но W₂. Т.е. сущ-т ЛПП P: PM=W₂, dimW₂=dimP+dimM. W₁+W₂=W₁+(PM) = (W₁+M) P = W₁P => dim(W₁+W₂)=dimW₁+dimP=dimW₁+dimW₂ – dimM = dimW₁+dimW₂ – dim(W₁W₂).

27.Cкалярное произв-е векторов: определение и св-ва. Евклидово пространство, примеры.

Скалярное произведение (СП) – это ф-ция VxV->R и удовл. усл-ям: 1)(x,y)=(y,x) 2)(x+y,z)=(x,z)+(y,z) 3)(αx,z)= α(x,z) 4)(x,x)≥0, (x,x)=0=>x=Θ. (NB 1) из усл-й 2 и 3 сл-т утв-е (αx+βy,z)= α(x,z)+ β(y,z) 2)Псевдоскал-е пр-е – это когда 4) выглядит так: (x,x) ≥0).

Cв-ва: 1)(Θ,x)=0 2)(x, αy+βz)= α(x,y)+β(x,z) 3)(x,y)\|x||y| = cosφ; = |x| 4)|(x,y)|≤|x||y| 5)|x+y|≤|x|+|y| Док-во: 1)(Θ,x)= (0*y,x)=0(y,x)=0 2) (x, αy+βz)= (αy+βz, x) = α(y,x)+β(z,x) = α(x,y)+β(x,z). 3) 4) 0≤(x+ty, x+ty) = (x,x)+2t(x,y)+t²(y,y)≥0 => D\4 = (x,y)² – (x,x)(y,y)≤0 => (x,y)²≤|x|²|y|² =>|(x,y)|≤|x||y|. 5)|x+y|² = (x+y,x+y) = (x,x) + 2(x,y) + (y,y) ≤ x² + 2|x||y| + y² = (|x|+|y|)²=>|x+y|≤|x|+|y|.

Опр-е: Евклидово простр-во E – ЛП V c заданным СП. Примеры: 1. E=Rⁿ, x=(ξ₁... ξ_n) y=(h₁...h_n) ; (x,y)=∑ξ_ih_i, |x|=(ξ₁²,...,ξ_n²)^1\2 2) E=C_[ab], x=x(t) – непр-я на [ab] ф-ция. (x,y)=; |(x,y)|²= ()² ≤ *= |x²||y²|; [ ∑(ξ_ih_i)² ≤ ∑ξ_i²∑h_i² ] 3) E=R² x=(ξ₁,ξ₂) a)(x,y)=ξ₁h₁+ ξ₂h₂ б)(x,y)=ξ₁h₁ в) (x,y)=ξ₁h₂+ ξ₂h₁

29.Теор (О существовании ОНБ)

Опр1: (g_1...g_n) = G – ОБ, если (g_n, g_i)=0, i=1,(n-1) Опр2: (e₁...e_n)=E – ОНБ если это ОБ и |e_i|=1, i=1,n

Во всяком конечномерном пространстве существует ОНБ

Док-во: Пусть (f₁, f₂, … f_n)=F – базис в E

Проведём процесс ортогонализации:

Тогда имеем, что (g_ng_k)=0 k=1,n-1

(g₁,g₂…g_n) – ОБ в E

k=1,n

получаем, (e₁,…e_k)-ОНБ

28. Ортогональность векторов. Теорема о связи ортогональности и линейной зависимости.

Опред: Векторы x, y называются ортогональными если (х,у) =0 (х┴у)

замеч: 1) Θ┴х х Е

2) если х┴у у то х= Θ

Система векторов g₁...g_n ортогональна если (g_ig_j)=0 ij и ортонормированна если |g_i|=1 i=1,n

Теор(Об ортогональности системы векторов)

Если g1, g2…gn – ортогональная система ненулевых векторов, то она линейно независима.

Док-во:

₁g₁+₂g₂+…+_ng_n= Θ |*g_k

₁ (g₁g_k)+…+  _k(g_kg_k)+…+ _n (g_ng_k)= 0+0+...+ _k(g_kg_k)+0+...+0 =  _k(g_kg_k)

с другой стороны, это равно Θ =>  _k(g_kg_k)= Θ причем g_k0  _k=0 значит

g₁, g₂…g_n – ЛНЗ.

30,Матрица Грама, свойства.

(f₁, f₂, … f_n)=F– базис в E

(x,y)=( )=

((f_if_j))_ij=1,_n=Г(F)-матрица Грамма

если Е=(e₁,e₂…e_n)-ОНБ то

- единичная матрица.

Св-ва Г(F)

1. Г(F)=Г^T(F)

2. det Г(F)=0   (f₁, f₂, … f_n) – линейно зависимы.

3. Если (f₁, f₂, … f_n)=F - линейно не зависимы, то detГ(F)>0

1. Док-во

1) из определения. Г(F) = ((f_i,f_j)) = ((f_j,f_i)

2) (достат.) (f₁, f₂, … f_n) – линейно зависимы   ненулевой набор ₁+₂+…+_n  R

₁f₁+₂f₂+…+_nf_n= | f_k , k=1,n =>

Г(Е)=и₁... _n 0 det Г(F)=0

(необход.) для док-ва достаточно пойти в обратном направлении в док-ве достаточности.

3) Пусть (f₁, f₂, … f_n)=F - базис в Z (f₁, f₂, … f_n) ОНБ (e₁, e₂, … e_n)=Е

пусть S- матрица перехода от Е к F т.е F=E*S

Г(F)=F^т*F, т.е

Г(F)=F^T*F=(E*S)^T*E*S=S^T*E^T*E*S=S^T*I*S=S^T*S

DetГ(F)=det (S^T*S)= detS^T*detS=(detS)²>0

31. Линейные операторы ( ЛО ) в ЛП: определение, свойства, примеры. Ядро и образ ЛО.

Пусть V, W – ЛП над полем P. Oпр: Ф-ция A:VW наз-ся линейной, если для (x,yV, ,βP):( A(x+βy) =  Ax+β Ay ); Если W=P, A – линейная форма, если W=V, то A – линейный оператор (ЛО). Опр: Образ ЛО A – Im A = {yV:Ax=y, xV}; Ядро ЛОA – KerA={xV, Ax=0}; Ранг ЛО – rangA = dim(Im(A));

примеры: 1)V=P_n – ЛП многочленов. ЛО D = d\dt; Dx=x’(t); 2)Пусть V=V₁V₂, x=x₁+x₂ ; A – оператор проекции на V, если Ax=x; 3)N – нулевой оператор, если Nx=, xV

Cв-ва: 1) A =  2) A() = 3) x₁...x_m – ЛЗ => Ax₁...Ax_m – ЛЗ 4) rangA  dimV; Док-во: 1) A = A(0*x) = 0*( Ax) = ; 2) из определения. 3) x₁...x_m – ЛЗ => ненулевой набор ₁... _m такой, что ₁x₁+...+x_m_m =  тогда и A(₁x₁+...+x_m_m)=  => ₁Ax₁+...+ _mAx_m=  => Ax₁...Ax_m – ЛЗ 4)Пусть dimV = n =>(x₁...x_n+1) – ЛЗ => Ax₁...Ax_n+1 – ЛЗ => dim(ImA) = rangA < n+1 => rangA ≤ n = dimV;

32. ЛО в конечномерных ЛП. Матрица ЛО, ранг ЛО, замена базиса.

A:RⁿRⁿ (e₁, e₂, … e_n)=E в Rⁿ ; . Пусть y=Ax – образ. Теперь пусть

…

тогда A=- матрица линейного оператора A в E

- координаты Ae_1. - координатыAe_n

-координаты x в E. - координатыy в E

y=Ax

y(e)=Ax(e)

Переход к другому базису:

(e₁, e₂, … e_n)=e в Rⁿ

(e’₁, e’₂, … e’_n)=e’

- матрица перехода от e к e’ -координатыe’₁

e’=e*S

предположим что A₁ A’ - матрицы Л.О в e и e’ x(e) y(e) – координаты x, y в e

x(e’) y(e’) – координаты x, y в e’

x=ex(e) y=Ax

x(e)=Sx(e’)x(e’)=S^-1x(e)

y=ey(e)=eAx(e)=e’y(e’)=eSA’*x(e’)=e[SA’S^-1]x(e) (A=SA’S^-1) и (A’=S^-1*A*S)

Теор (О ранге Л.О)

Пусть (e₁, e₂, … e_n)=e - базис в Rⁿ. A-матрица Л.О A в e тогда rangA=rangA

Док-во:

RangA=dim(ImA); ImA=Z(g₁,g₂,…,g_n) где g_i=Ae_i i=1,n

rangA=dim Z(g_1,g_2,…,g_n)=rang(g₁(e),_…,g_n(e))=rangA