- •1.Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Свойства операций.
- •2. Произведение матриц. Свойства произведения.
- •3.Перестановки, инверсии и транспозиции.
- •4.Теорема о транспозиции. Четность перестановки.
- •6. Определитель n- го порядка: определение и свойства.
- •7. Разложение определителя по строке ( столбцу ).
- •8.Теорема Лапласа о разложении определителя по m строкам (без док - ва). Пример.
- •9.Теорема об определителе произведения матриц.
- •22. Линейная зависимость (лз) векторов в лп, свойства. Основная трм о лз.
- •23.Базис и координаты в лп, свойства, примеры. Размерность лп.
- •24. Замена базиса. Формулы перехода.
- •25. Изоморфизм лп. Теорема об изоморфизме.
- •26. Прямая сумма и прямое дополнение. Теорема о прямом дополнении. Теорема о размерности суммы подпространств.
- •27.Cкалярное произв-е векторов: определение и св-ва. Евклидово пространство, примеры.
- •33.Теорема о размерности ядра и образа ло.
7. Разложение определителя по строке ( столбцу ).
Опр: APn^2. Опр-ль матрицы, полученной из матр А путем вычеркивания i-той строки и j-того столбца наз-ся минором к элементу, леж-му на пер-ии вычеркнутых строки и столбца. Mij – минор. (-1)i+jMij = Aij – алг.дополнение к aij. Лемма: Пусть тогда detA = aijAij Док-во: 1)i=j=n, имеем ; detA==ann=annAnn 2) Общий случай: С помощью (n-i) соседних перестановок строк и (n-j) соседних перестановок столбцов сделаем aij ann; Тогда detA = (-1)n-i+n-jaijMij=aijAij Трм: Пусть APn^2. Тогда detA=Док-во: |A| = = (по лемме) = ++...+= ai1Ai1+ ai2Ai2+... +ainAin =
8.Теорема Лапласа о разложении определителя по m строкам (без док - ва). Пример.
Опр: APn^2. Опр-ль матрицы из элементов, расположенных на пересечении k выделенных строк и столбцов – минор k-того порядка. (mi1...ikj1...jk) Определитель матрицы, сост-й из эл-тов, оставшихся после вычеркивания – дополнительный минор k-того порядка. (Mi1...ikj1...jk); A i1...ikj1...jk = (-1)i1+...+ik+j1+...+jk *Mi1...ikj1...jk
Трм. Пусть в APn^2. выделено k строк (i1...ik) Тогда detA = ∑[mi1...ikj1...jk*A i1...ikj1...jk], суммирование по всем выборкам j1...jk;
Прим1: H = = где A, B, C, 0 Pn^2; HP(2n)^2 ; detH = detAdetC(-1)2*(1+2+..+n) = |A|*|C|; Прим2: H = detH = detBdetC(-1)2*(1+2+..+n + (n+1)+..+2n) = |B|*|C|(-1)2n(2n+1) \ 2 = |B|*|C|(-1)n
9.Теорема об определителе произведения матриц.
A,BPn^2. Тогда det(AB)=detA*detB; Д-во: С=AB; E – единичная матрица. detD == = т.Лапласа = detA*detB = (непонятно_как
к 1-ой строке прибавляем (n+1)a11+(n+2)a12+...+(2n)a1n
ко 2-ой строке прибавляем (n+1)a21+(n+2)a22+...+(2n)a2n
....
к n-ой строке прибавляем (n+1)an1+(n+2)an2+...+(2n)ann) = == (-1)ndetE detC = (-1)2ndetC = detC, чтд.
16. Метод Гаусса решения ЛС.,APmn, rang(A)=k
Запишем матрицу системы:
,
ЛС – совместимая.
17. Однородные системы линейных уравнений ( ЛОС ), свойства решений ЛОС.- ЛОС,APmn
Свойства: 1. не бывает несовместных ЛОС (); 2. если α1, … αk – решение ЛОС, тогда - решение ЛОС (сR); 3. ЛОС определена rang(A)=n; 4. пусть APnn, тогда для того, чтобы ЛОС имела единственное решение det(A)=0
Док-во: 2. пусть α1, α2 – решения и с1,с2R - решение. По индукции можно провести доказательство для n корней
3. пусть rang(A)=n и- линейно независимые - ЛОС; с1=с2=…=сn=0, это значит, что ЛОС имеет решение
18. Фундаментальная система решений ЛОС ( ФСР ). Теорема о существовании ФСР. Структура общего решения ЛОС. Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОС называется набор решений, такие что 1.- линейно независимы; 2. (- решение ЛОС)(с1,…скR):
Теорема о существовании ФСР ЛОС:
Пусть APmn – матрица ЛОС иrang(A)=k (k<n). Тогда существует ФСР из (n-k)
Док-во: Пусть - базисный минор., гдеx1,…,xk – базисные переменные, а xk+1,…,xn – свободные параметры.
Положим xk+1=1, а остальные xk+2=…=xn=0 x1=c11…xk=c1k, затем
xk+2=1, xk+1= xk+3=…=xn=0 x1=c21…xk=c2k
xn=1, xk+1= xk+2=…=xn-1=0 x1=cn-k1…xk=cn-kk
…
Проверка:
1. ,Mn-k0 rang(B)=n-k - линейно независима
2. Пусть - решение ЛОС;- решение ЛОС
- решение ЛОС
, т.к. Mk0 yi-di = 0,
Следствие: множество решений ЛОС называется общим решением, гдеiR, - ФСРЛОС
19. Неоднородные линейные системы ( ЛНС ). Структура общего решения ЛНС.- ЛНС,APmn (m – число уравнений, n – число неизвестных); - приведённая однородная система (ПОС)
Свойства решений ЛНС:
- решение ЛНС, - решение ПОС - решение ЛНС
, - решение ЛНС- решение ПОС
Пусть - решение ЛНС, тогда для любого решения ЛНС -:- решение ПОС
Доказательство:
Пусть - решение ЛНС - решение ПОС
Множество всех решений ЛНС называется общим решением
20. Аксиоматика линейного пространства ( ЛП ), примеры, свойства ЛП. Множество V называется линейным пространством (ЛП) над полем Р, если в V заданы 2 операции:
x + y V – операция сложения элементов этого множества
α x V, хV, αP – умножение на число
удовлетворяющие условиям:
x + (y + z) = (x + y) + z – ассоциативность
: x + = + x = x – существование нулевого вектора
хV, (-x): x + (-x) = - существование противоположного вектора
x + y = y + x - коммутативность
1 x = x – свойство единичного элемента
( ) x = ( x) – ассоциативность относительно умножения
(x + y) = x + y – дистрибутивность относительно векторов
( + ) x = x + x – дистрибутивность относительно чисел
1) – 4) – абелева группа
Свойства операций:
Единственность . Доказательство: Пусть 1 и 2 – два нулевых элемента в V, тогда 1 = 1 + 2 = 2
Единственность (-x). Доказательство: (-x1) и (-x2) – противоположны к х, тогда (-x1) + х + (-x2) = (-x1) + = (-x2) + = -x1 = -x2
0 x = . Доказательство: x = ( + 0) х = x + 0 х = x + = x
– х = (-1) х. Доказательство: 0 х = (1 + (-1)) х = 1 х + (-1) х = х + (-1) х, то есть – х = (-1) х
= . Доказательство: = (х – х) = (1 х + (-1) х) = (1 + (-1)) х =
х = = 0 или х = . Доказательство: 1. Пусть 0, . 2. Пусть = 0 0 x =
Вычитание векторов: разность векторов (x – y) – вектор z, z + y = x, z = x + (-y)
( - ) x = x - x
Примеры ЛП:
V = Pmn
V = Rn
V = C[a;b]
V – множество решений ЛОС
V = Рn – множество многочленов степени n
если P = R, то V – вещественные ЛП; P = С, то V – комплексные ЛП
21. Подпространства, свойства. Сумма и пересечение подпространств. Линейная оболочка множества векторов. Множество WV называется линейным подпространством (ЛПП) ЛП V, если оно замкнуто относительно сложения векторов и умножения вектора на число. Т.е. x, y W: x + yW; xW и R: xW
Пересечение ЛПП W1 и W2: W1W2 = {х | xW1, xW2}
Сумма ЛПП W1 и W2: W1+W2 = {х | х = х1 + х2, x1W1, x2W2}
Свойства ЛПП: Пусть W1, W2V – ЛПП
W1, W2 – ЛП. Доказательство: W1, Пусть хW1 0 х = W1
W1W2 – ЛПП. Доказательство: W= W1W2. Пусть x,yW x,yW1, x,yW2 x+yW1, x+yW2 x+y W1W2= W. Аналогично х
W1+W2 – ЛПП.
Пусть даны два вектора a1 и a2 (не параллельны). Введём
W1={x=*a1} и W2={x=βa2}. Тогда W1+W2={x=*a1+ βa2}