22. Линейная зависимость (лз) векторов в лп, свойства. Основная трм о лз.

V- лп над P, x₁, ... ,x_n V; α₁x₁ + ... + α_nx_n – линейная комбинация (лк) в-ров x₁, ... ,x_n, а α_1.. α_n – лин.коээф-ты. Если α_{1 = ... =} α_n, то лк наз-ся тривиальной.

Опр Сис.векторов x₁, ... ,x_n наз-ся линейнозав-й, если сущ. ненулевая лк, обращающая ее в Θ.

Если = Θ => α₁ = _... = α_n = 0, то x₁, ... ,x_n - линейнонезав. (лнз).

Св-ва: 1) x₁, ... ,x_n – лз <=> сущ m, такое что, x_m=(i≠m) 2) Если сис. в-ров имеет лз подсис, то она сама – лз. 3)Если сис.в-ров – лнз, то любая подсистема – тоже лнз.

Трм y_i=(поj), i=1,m. т.е. y_n-лз. Тогда m>n => y₁...ym-лз. Д-во: Доказ-ся по индукции. при n=1 – очвидно. y₁= α₁x; y₂= α₂x. Умножим первое на α₂ а второе на α₁ и вычтем. тогда имеем α₂y₁- α₁y₂ = Θ. Пусть утв-е верно для (n-1) векторов. Тогда имеем систему: [ y₁=α₁₁x₁+...+α_1nx_n ; ... ; y_m=α_m1x₁+...+α_mnx_n] предп-м что α₁₁≠0. [ y₂-(α₂₁\α₁₁)y₁=z₂=β₂₂x₂+...+β_2nx_n ; ... ;

y_m-(α_m1\α₁₁)y₁=z_m=β_m2x₂+...+β_mnx_n ]; Тогда ве-ры z₂...z_m – лз по предположению индукции, т.е. сущ-т ненулевой набор γ₂... γ_m такой, что γ₂z₂+...+ γ_mz_m = Θ => γ₂(y₂-(α₂₁\α₁₁)y₁)+...+ γ_m(y_m-(α_m1\α₁₁)y₁) = Θ => γ₁y₁ + γ₂y₂ + ... + γ_my_m = Θ причем γ₂... γ_m – ненулевой => y₁...ym-лз

23.Базис и координаты в лп, свойства, примеры. Размерность лп.

Опр. Мн-во G в ЛП наз-ся полным в V над P, если для любого x из V сущ-т α_{1 = ... =} α_m из P, такие что x=,q_iG.

Опр. Базис в ЛП V – упорядоченное полное семейство лнз в-ров.

Св-ва: 1)Если в V сущ-т базис из n в-ров, то любые m в-ров из V будут лз при m>n. 2)Если в V сущ-т базис из n в-ров, то любой базис в V будет из n в-ров. Д-во: 1)пусть e₁..e_n = E – базис. и y₁...y_mV и m>n.Тогда y_{1 =} α₁₁e₁ +...+ α_1ne_n --- y_{m =} α_m1e₁ +...+ α_mne_n а отсюда по основной трм о лз имеем, что в-ра y₁...y_m – лз. 2)Пусть e₁..e_n = E, E’ = e’₁..e’_n – базисы в V. Пусть n'>n => (по св-ву 1) e’₁..e’_n’ – лз. но это противоречит опр-ю базиса => n'≤n, но тогда получаем, что e₁..e_n – лз, опять противоречие => n≤n’. Тогда мы имеем одновременно n'≤n и n≤n’ а это значит, что n=n’, чтд.

Опр. Если в V сущ-т базис из n в-ров, то V наз-ся конечномерным и n = dim_pV – размерность V. V наз-ся бесконечномерным, если для любого m, x₁, ... ,x_m – лнз.

Примеры 1)V=Rⁿ над R. и e₁ = (1,0,0 ... 0), e₂ = (0,1,0 ... 0), e₃ = (0,0...1) – базис в Rⁿ.

2) V=C над С, zC ≠0 – базис 3) V=C над R, (1,i) – базис. 4) V = C_[ab] над R.

Координаты: E= e₁..e_n-базис в V над P. Тогда , и ξ₁...ξ_n-координаты x в базисе E. x = E*x(E)

Cв-ва 1)Единтсвенность 2)Линейность.(x+y)(E)=x(E)+y(E); (αx)(E)= α*x(E) Док-во: 1)x=∑ξ_ie_i = ∑h_ie_i => ∑(ξ_i-h_i)e_i= Θ =>ξ_i-h_i = 0; т.е. из (e₁..e_n – лнз) => коорд совп-ют, т.е. в одном базисе коорд-единств. 2) x(E) + y(E); x=∑ξ_ie_i ; y= ∑h_ie_i тогда x(E)+y(E)=∑ξ_ie_i+∑h_ie_i = ∑(h_i+ξ_i)e_i = (x+y)(E); (αx)(E)= ∑αξ_ie_i=α∑ξ_ie_i= α*x(E).

24. Замена базиса. Формулы перехода.

Пусть e₁..e_n = E, E’ = e’₁..e’_n – базисы в V. Причем e'₁=σ₁₁e₁ + σ₂₁e₂ + ... + σ_n1e_n и e'_n=σ_1ne₁ + σ_2ne₂ + ... + σ_nne_n. Тогда S=(матрица из сигм, размещение элементов очевидно) – матрица перехода от E к E’. Причем detS≠0 (т.к. столбца лнз). E’ = E*S – матричн.форма записи формулы перехода от E к E’. Пусть x=∑ξ_ie_i = ∑ξ’_ie’_i ; x = Ex(E) = E’x(E’) = E(Sx(E’)). Итак, x(E) = S*x(E') – формула замены пер-х. По координатам: ξ₁ = ∑σ_1i* ξ_i’ ; ξ_n = ∑σ_ni* ξ_i’