Экспоненциальное распределение

Известное выражение для вероятности безотказной работы при  = const превращается в зависимость, соответствующую экспоненциальному закону распределения

, (1) плотность которого равна

. (2)

Однопараметрическое распределение (3.1) широко используется в теории надёжности, главным образом из-за его простоты и очевидности физической картины процессов, вызывающих изменение надёжности по данному закону. Оно описывает распределение времени безотказной работы при постоянной опасности отказа.

Постоянство интенсивности отказа позволяет из (2.15а) получить выражение . (3) Отрицательное значение производной в (3) свидетельствует о том, что с увеличением наработки происходит снижение темпа уменьшения вероятности безотказной работы.

Вероятность отказа при экспоненциальном распределении равна . (4)

Графики основных зависимостей экспоненциального распределения показаны на рис.3.

Рис.3. Графики экспоненциального распределения

Математическое ожидание, равное наработке на отказ, определится для экспоненциального распределения из выражения

. (5) Как следует из (5), средняя наработка на отказ экспоненциального распределения обратно пропорциональна интенсивности отказов. Это позволяет записать, что и . (6)

Из (6) следует, что при экспоненциальном законе надёжности достаточно знать среднюю наработку на отказ, чтобы определить вероятность безотказной работы объекта в любой момент времени.

Важной особенностью экспоненциального закона распределения является то обстоятельство, что вероятность безотказной работы в каком-то интервале времени не зависит от предшествующей наработки объекта, а зависит только от величины самого интервала. Допустим, что объект благополучно проработал время t и нас интересует вероятность безотказной работы на интервале t . Эту условную вероятность обозначим P(t/t). В то же время вероятность работоспособного состояния объекта к моменту (t+t) можно рассматривать как вероятность сложного события, заключающегося в том, что объект безотказно отработал время t (одно событие) и затем также безотказно время t (второе событие). Тогда по правилу умножения вероятностей P(t+t) = P(t) P(t/t), откуда P(t/t)= P(t+t)/ P(t).

Для экспоненциального закона получаем

. (7)

Выражение (7) даёт основание считать, что независимость вероятности безотказной работы объекта от предыстории нагружений может быть объяснена возникновением отказов только определённого класса, а именно внезапных отказов.