Лекция № 8. Оценка показателей надёжности уникальных и малосерийных объектов

Вопросы лекции:

Введение

1. Оценка показателей надёжности по результатам наблюдения за эксплуатацией объектов, для которых измеряется наработка до отказа (между отказами)

2. Оценка показателей надёжности уникальных, высоконадёжных и малосерийных объектов

1. Оценка показателей надёжности по результатам наблюдения за эксплуатацией объектов, для которых измеряется наработка до отказа (между отказами)

Оценки законов распределения, функций плотности распределения, интенсивности отказов, показателей безотказности, интегральной интенсивности, вычисленные и построенные по статистическим данным, полученным по различным планам, указанным в табл.2, называют непараметрическими.

Статистические данные, полученные по плану , представляют собой так называемые полные выборки. Это означает, что все числа в такой статистической выборке имеют одинаковый смысл наработок до отказа. При использовании других планов наблюдения такие выборки, как правило, получить не удаётся.

Методы оценки показателей надёжности по полным выборкам хорошо разработаны. Статистический анализ удобно вести по упорядоченной в порядке возрастания совокупности наработок t₍₁₎t₍₂₎t₍₃₎…t_(N), которую называют вариационным рядом. Упорядоченные наработкиt₍₁₎,t₍₂₎,t₍₃₎,…,t_(N) называют порядковыми статистиками. Каждой порядковой статистике присваивают номер в вариационном ряду, который называют рангом. Так, например, у порядковой статистикиt_(k)рангk.

При наличии полученной по результатам эксплуатации выборки реализаций наработок времени безотказной работы t₍₁₎,t₍₂₎,t₍₃₎,…,t_(N) можно построить эмпирические зависимости основных показателей безотказности и затем известными в статистике методами проверить гипотезу о соответствии этих показателей теоретическому закону распределения случайных величин.

Эмпирические оценки получают следующим образом. Вся шкала наработок разбивается на kинтервалов, для чего можно использовать формулу

k = 1 + 3.3 lg N , (1) гдеN– количество объектов.

Затем для каждого из kинтервалов определяется число объектов, исправных к началу этогоj-го интервала

N_и(t_j) = N – N_и(t <t_j) - N_{от j}, (2) гдеN_и(t <t_j)– число объектов в выборке, не наработавших ещё времениt_jи продолжающих нормально эксплуатироваться ;

N_{от j} - число объектов, отказавших до достижения величины наработки, равнойt_j.

На основании этих данных можно определить значение интенсивности отказов для каждого интервала наработок

, (3) где - число отказавших объектов в интервале наработки.

Вычисление удобно вести в таблице, пример которой показан ниже

Таблица для вычисления интенсивности отказов

Таблица 1

Интервалы наработки			…		…
Число объектов , отказавших в интервале			…		…
Число объектов, исправных к началу j-го интервала наработки NИ(tj)	NИ(t1)=N	NИ(t2)	…	NИ(tj)	…	NИ(tk)
Интенсивность отказов в j–м интервале			…		…

Табл. 1 содержит достаточно информации для определения статистических оценок плотности распределения (частости отказов) и вероятности безотказной работы в каждом интервале

; . (4)

Расчёт по формулам (3), (4) будет тем точнее, чем меньше размер интервалов t_j, которые назначают примерно одинаковыми. При выборе интервалов, кроме формального определения их количества, следует учитывать, что расчёт по изложенной методике возможен только в том случае, если в каждом интервале будет не менее одного отказа объекта. Иногда для получения результатов приходится назначать неравномерные интервалы наработок.

По таблицам с результатами расчётов поинтервальных значений характеристик надёжности строятся ступенчатые графики эмпирических зависимостей этих характеристик от наработки. Такие зависимости для частостей появления случайных величин в определённом интервале называют гистограммами (см. рис.1).

В общем случае частости подсчитывается путём деления частоты на объём выборки.

Обычно графики статистических зависимостей сглаживаются для получения плавных кривых, причём в процессе сглаживания применяются те или иные приёмы, имеющие цель уменьшить влияние грубых погрешностей случайного характера, связанных с объёмом и достоверностью статистического материала. В современных математических пакетах программ для ПК имеется множество различных сглаживающих процедур.

Рис.1. Гистограмма нормального распределения наработки до отказа (Т=1000час,_Т=300час.)

Во многих практически важных случаях анализ изменения надёжности по наработке целесообразно делать непосредственно по полученным эмпирическим закономерностям, не пытаясь подбирать для их описания теоретические распределения.

Подбирать теоретическое распределение случайных величин всё же приходится для получения полной картины изменения надёжности, так как приближённый метод расчёта не позволяет оценить величину получаемой погрешности и, самое главное, не даёт возможности прогнозировать надёжность объекта за пределами рассматриваемого периода наблюдения. Если такое соответствие (или, как принято говорить, согласие) эмпирических и теоретических распределений доказано методами статистики, то дальнейшее исследование надёжности проводят только по параметрам этого теоретического закона. Результаты анализа на основе хорошо изученного теоретического закона обладают значительной достоверностью.

Часто в распоряжении исследователя имеется ограниченный статистический материал, который позволяет получить выборочные оценки параметров распределения. Из математической статистики известно, что при достаточно большом объёме выборки выборочные характеристики стремятся к генеральным, отражающим свойства всей генеральной совокупности.

При обработке данных об отказах объектов в эксплуатации приходится решать два важных в методическом плане вопроса: насколько выборка статистически однородна и насколько она представительна (т.е. насколько точно отражает свойства генеральной совокупности).

Первый вопрос часто связан с условиями эксплуатации однотипных объектов, так как факторы внешней среды могут оказывать значительное влияние на показатели надёжности. Всегда важно установить, можно ли объединять наработки до отказов объектов, введённых в действие в различные сроки и эксплуатирующихся в различных климатических зонах. Решение этого вопроса выполняется методами проверки статистических гипотез.

При проверке статистической гипотезы исходят из предположения о том, что исследуемая случайная величина (наработка до отказа) имеет выбранный закон распределения с доверительной вероятностью , которой задаются в соответствии с рекомендацией ГОСТ. Величину = 1- называют уровнем значимости. При отсутствии расхождения между статистическим и теоретическим законами справедливы следующие равенства

P(W^*> W_);  = P(W^* ≤ W_) ,

где W_критическое (наибольшее допустимое) значение критерия;

W^*- статистическое (вычисленное) значение критерия.

В случае если W^*> W_то расхождение между экспериментальными данными и теоретическим законом получилось больше допустимого. Считается, что причина в неверном выборе теоретического закона. В данном случае гипотеза о виде закона отвергается. При этом вероятность ошибки (ошибки первого рода) равна(малая величина).

В случае если W^*<= W_, нет оснований отвергать гипотезу о том, что случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Но одновременно нет оснований утверждать, что случайная величина подчиняется именно этому закону.

Существует много частных и общих критериев согласия статистического закона распределения случайной величины и теоретического закона. Во всех критериях согласия используется статистический критерий, который является неотрицательной величиной. Этот критерий сам является случайной величиной, распределённой по некоторому закону. Обычно закон распределения статистического критерия хорошо изучен, а его значения табулированы.

Наиболее часто для проверки статистических гипотез используется критерий согласия Пирсона⁵.

На основе вариационного ряда наработок объектов до отказа рассчитывают параметры гистограммы частоты отказов, что позволяет вычислить критерий ²(критерий «Хи-квадрат» Пирсона)

, (5)

где l_i - количество отказов вi-й группе наблюдений;

M_i – математическое ожидание числа отказов вi-й группе наблюдений при принятой гипотезе о виде теоретического закона распределения (выравнивающее количество отказов);k- количество групп наблюдения.

В математической статистике показывается, что распределение величины, вычисленной по формуле (4), приближается при большом числе данных к распределению хи-квадрат с числом степеней свободы r = k – s - 1, гдеs– число независимо наложенных связей или условий (например, число оцениваемых параметров).

Для распределения ²составлены специальные таблицы, а в соответствующих математических пакетах для ПК имеются стандартные процедуры вычисления всех параметров этого распределения.

Процедура использования критерия согласия ²обычно такова. По формуле (5) оценивается мера расхождения между статистическими данными и оценкой их теоретического значения. Затем определяется число степеней свободыr и с помощью таблиц квантилей распределения²находится вероятность того, что величина, имеющая²распределение со степенями свободы r, превзойдёт подсчитанное по (5) значение. Когда эта вероятность₁ мала, проверяемая гипотеза отбрасывается как неправдоподобная.

Если обозначить через табличное значение квантили распределения²со степенями свободы r, то в случаеможно с вероятностью не менее₁ утверждать, что статистическая гипотеза может быть принята.

Рассмотрим на примере методику проверки согласия статистических данных с теоретическим законом распределения. Для этого воспользуемся выборкой (см. табл.2), на основе которой построена гистограмма на рис.2.

Выборка отказов N=100 объектов по интервалам наблюдения

Таблица 2

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Левая граница интервала, час	221	385	549	713	877	1041	1205	1369	1533
Число отказов в интервале	2	8	13	16	24	19	10	8	0

Рис.2. Гистограмма, построенная по данным табл.2

Рис.2. Гистограмма построенная по данным таблицы 2ю

Для значений наработок до отказа согласно табл.2. можно получить оценки математического ожидания (среднее значение) и среднеквадратического отклонения

, .

Если разделить статистическую оценку среднеквадратического отклонения на Т^, то получим коэффициент вариации^= ^^ =0.306 .

Гистограмма и вычисленные параметры распределения наработки до отказа

определяют статистический закон надёжности, который в некоторой степени отражает реальную оценку надёжности объекта, но обладает существенными недостатками. Во-первых, неизвестна степень достоверности этого статистического закона, параметры которого являются функциями объёма выборки. Во-вторых, отсутствует аналитическая форма представления вероятностного закона, что делает невозможным решать многие задачи оценки и прогнозирования показателей надёжности. Для выявления теоретического закона надёжности разработана определённая последовательность вычислений, которая называется процедурой статистической проверкой гипотез.

Первым шагом этой процедуры является принятие гипотезы о виде закона распределения случайной величины. Так, например, для рассматриваемого примера по величине коэффициента вариации (0.1 ^1.0) можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении случайных величин в исходной выборке. К этому же заключению можно прийти, анализируя внешний вид гистограммы на рис.2. Часто гипотезу о предполагаемом законе распределения выдвигают на основе близости по внешнему виду графика статистической плотности наработок до отказа (гистограммы) одному из известных законов распределения. Симметричный характер размещения количества отказов относительно центра свидетельствует в пользу нормального закона.

В общем случае только по виду гистограммы или по значению коэффициента вариации трудно выдвинуть правдоподобную гипотезу о законе надёжности. Часто гистограммы различных законов похожи между собой. Иногда рекомендуют при симметричной гистограмме и коэффициенте проверять, прежде всего, гипотезу нормального закона, и если она не подтвердится, то проверять гипотезу закона Вейбулла.

При несимметричной гистограмме и коэффициенте вариации ^ ≈1.0 принимают гипотезу экспоненциального закона. В случае, когда гистограмма явно несимметрична, а коэффициент вариации отличается от единицы, рекомендуется проверить гипотезу распределения Вейбулла. Ещё раз отметим, что двухпараметрические законы и, особенно закон Вейбулла, обладают большими аппроксимирующими возможностями. Это означает, что путём корректировки параметров этих законов часто удаётся подобрать непротиворечивую гипотезу о законе надёжности.

Приняв в приведённом выше примере гипотезу нормального закона, найдем в каждом выделенном интервале математическое ожидание соответствующее этому закону (см. табл.3). Полученные значения количества отказов называются выравнивающими численностями. Расчёт производится по формуле

l_j =p_jN, (6) гдеp_j= F(t_j) – F(t_j-1)вероятность появления отказов вj-м интервале или иначе выравнивающая вероятность;

F(t_j),F(t_j-1)– функции распределения нормального закона на левых границахj иj-1интервалов.

Значения функций распределения F(t_j),F(t_j-1)находятся из таблиц математической статистики.

Если закон распределения случайной величины подобран правильно, то статистические численности отказов и выравнивающие численности получатся близкими, т.е. соответствующие строчки в табл.2. и 3. будут примерно равными. Однако близость указанных величин, как отмечалось выше, следует проверять по статистическим критериям.

Выравнивающие численности отказов в интервалах наблюдения

Таблица 3

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Математическое ожидание числа отказов для нормального закона lj , при M=958.3;=284.8	1	6	12	20	23	20	12	6	0

С использованием данных табл.1 и 2 можно вычислить по формуле (5) значение критерия согласия хи-квадрат Пирсона, который в данном случае равен ²=3.643.По таблице квантилей²– распределения с доверительной вероятностью=0.95приr=9 – 2 - 1=6 квантиль равен12.592. Число независимых параметровsпринято в данном случае равным 2, так как нормальный закон характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием и среднеквадратическим ожиданием. Сравнивая расчётное и табличное значения критерия хи-квадрат Пирсона, видим, что². Это позволяет утверждать, что различие между исследуемой выборкой и теоретической моделью в виде нормального закона распределения статистически незначимо. Следовательно, гипотезу о нормальном законе распределения полученной по результатам наблюдения выборки наработок до отказа можно считать доказанной. Более подробно о процедурах статистического оценивания и проверки согласия по различным критериям сказано в многочисленной литературе по математической статистике^6,7.

При проверке гипотезы экспоненциального закона вероятность наличия отказов в пределах определённого интервала наблюдения находят согласно зависимости

, (7) где t_j -j–й интервал наработок (наблюдения),j=1,…,k;

k– количество интервалов наблюдения.

В случае проверки гипотеза о распределении Вейбулла необходим дополнительный этап нахождения параметров масштаба и формы этого закона. Оценка параметров производится следующим образом. Сначала определяется параметр формы b:

при ^1.0

b =0.96707224 +16.24125exp(0.0558258 – 6.1325054^), (8) а при^ > 1.0 по уравнению

b =0.2405184 +0.7908285exp(0.636202 – 0.7747214^). (9) С помощью этого параметра находится коэффициент

, (10) где - гамма-функция, определяемая по таблицам математической статистики или с помощью математических пакетов для персональных компьютеров.

Параметр масштаба aрассчитывают по формуле

(11)

Вычисленные параметры позволяют найти плотность распределения Вейбулла

, (12) и вероятность наличия отказов в определённом интервале наработок

, (13) где t_j =t_j+1 – t_j- интервал наблюдения,j=1,…,k;

k– количество интервалов.

Число отказов в рассматриваемом интервале определяется умножением объёма выборки Nна вероятность (13)

. (14)

Распределение Вейбулла обладает большой гибкостью, что объясняет его широкое применение для описания процессов приработки технических объектов (b<1) и износа (b>1).

Опыт анализа безотказности технических объектов различного назначения показывает, что расширять набор проверяемых гипотез больше указанных выше трёх обычно нет необходимости. Это связано с тем, что двухпараметрические законы распределения и особенно закон Вейбулла обладают большими аппроксимационными возможностями и позволяют отобразить практически любую статистику путём подбора соответствующих параметров формы и масштаба. Так, например, при параметре формы bравном единице в распределении Вейбулла последний превращается в экспоненциальный закон, а при некотором промежуточном значенииbбольшем единицы закон Вейбулла близок к нормальному.

Заключительной операцией после проверки и подтверждения согласия межу эмпирическими данными и выдвинутой гипотезой о теоретическом законе распределения является уточнение параметров полученного закона. Для этого имеется ряд методов, например, метод максимального правдоподобия. В результате уточнения статистические оценки параметров распределения (в частности, для нормального закона – это математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение) корректируются. После корректировки они будут соответствовать параметрам закона распределения для генеральной совокупности данных.

Как следует из рассмотренного примера и из смысла проведения наблюдения по плану , получение теоретического закона надёжности на основе обработки эксплуатационных данных сравнительно несложно только при наличии полностью определённых выборок.

В то же время в данной задаче существует ещё одна важная проблема, которая связана с объёмом выборки. Многие статистические критерии работоспособны лишь при объёме выборки не менее 50. Это значительно ограничивает применение изложенного выше метода, так как на практике получить в эксплуатации полностью определённую выборку наработок до отказа объектов большого объёма удаётся не всегда. Особенно это сложно для высоконадёжных, или выпускаемых малой серией, или уникальных объектов. Поэтому приведённая выше методика получения теоретического закона надёжности применяется чаще всего для оценки показателей надёжности отдельных элементов сложных технических систем, например, насосов, теплообменников, гидравлической и воздушной арматуры и т.п., для которых регистрируется наработка до отказа.

Однако и среди большого множества наблюдаемых однородных элементов за период контроля могут встретиться не отказавшие ни разу устройства. Наработку таких устройств следует также учитывать при оценке надёжности. Выборка, состоящая из наработок до отказа и наработок работоспособных на момент контроля элементов, называется не полностью определённой или усечённой. Для получения оценок надёжности по таким выборкам применяются специальные методики, некоторые из которых будут изложены ниже.