3. Оценка показателей надёжности по результатам наблюдения за количеством отказов (биномиальный план наблюдения)
Среди всех изученных планов наблюдений особое место занимает биномиальный план (иначе схема) наблюдений. Появление этого плана связано с тем, что среди серийно выпускаемых промышленных объектов (или их элементов) встречаются такие, для которых невозможно по условиям эксплуатации регистрировать наработку с момента установки или после очередного ремонта. Это могут быть, например, насосы, подающие жидкость в резервуар, уровень в котором поддерживается системой автоматики, а расход зависит от количества включившихся в данный момент потребителей. Очевидно, что нет необходимости подсчитывать время работы насоса, суммируя наработку при каждом включении. Такая же картина наблюдается с промышленными вентиляторами или, например, с автоматизированными котлоагрегатами, подающими насыщенный пар в систему обогрева промышленных объектов.
Для расчёта показателей надёжности подобных объектов, для которых не учитывается общая наработка, а важен только факт нахождения их в одном из двух состояний, предложен биномиальный план наблюдений.
В основе биномиального плана лежат следующие допущения биномиальной схемы Бернулли.
1.Наблюдения ведутся за определённым фиксированным множеством объектов N, причём для каждого их них известна и одинакова вероятность безотказной работы.
2.Каждый объект может находиться только в одном из двух состояний: работоспособном или противоположном - состоянии отказа. Состояние каждого объекта не зависит от состояния другого.
Результатом наблюдения при биномиальном плане является число отказов l.
Вероятность того, что при наблюдении за N объектами по биномиальному плану случайная величина l, равная числу возникающих отказов, не превысит фиксированное число x,называется функцией биномиального распределения с параметрами N и P. Она находится из выражения
. (1)
Для того, чтобы воспользоваться уравнением (4.1), необходимо знать вероятность безотказной работы P. Во многих случаях эту вероятность приходится оценивать (определять приближённо) на основании результатов наблюдений за эксплуатацией.
Различают точечную и интервальную оценки вероятности безотказной работы. Точечная оценка неизвестной вероятности P может быть найдена из выражения
,
(2)
где lчисло отказов при наблюдении за N
объектами.
Эта оценка имеет
ряд важных положительных статистических
свойств. Она обладает свойствами
несмещённости, состоятельности и
минимальности границ дисперсии. Несмотря
на это, оценка (2) имеет определённые
недостатки. Прежде всего, величина
примерно с одинаковой вероятностью
может оказаться как больше, так и меньше
неизвестной вероятностиP.
На практике желательно иметь гарантированные
оценки
и
, для которых
и
.
Эти неравенства
должны выполняться с заранее принятой
и достаточно большой доверительной
вероятностью .
При этом неизвестная вероятностьРдолжна принадлежать интервалу
с вероятностью большей или равной, чем
величина,
если>0.5. Случайный
интервал
(см. рис.1) называют- доверительным интервалом дляР,
а его границы
и
называются-
нижней и–
верхней границами для параметра Р
биномиального распределения, а также
интервальными оценками дляР.
Рис.1. Гарантированная
оценки
и
для вероятности безотказной
работыРР
–-доверительный
интервал
При расчетах
обычно принимают доверительную
вероятность в пределах = 0.80 – 0.99 . Доверительные границы
и
находят по опытным данным, путём решения
уравнений
,
(3)
где l
- число отказов.
В частном случае,
когда число отказов равно нулю, т.е. l
=0, значения
доверительных -
границ следующие
,
.
Кроме того, приl
=1верхняя
доверительная граница равна
.
Уравнения (3) представлены в неявном виде относительно неизвестных доверительных границ, что затрудняет их решение. Некоторое представление о поведении искомых переменных в зависимости от доверительной вероятности и числа отказов можно получить по рис.2.
Рис.2. Зависимости доверительных границ от значения параметров (Функции Клоппера - Пирсона)
На рис.2 видно, что при увеличении доверительной вероятности верхняя и нижняя границы стремятся к предельным значениям, соответственно к единице и к нулю. Это соответствует смыслу понятия гарантированной оценки неизвестной вероятности.
Уравнения (3) удобно решать с использованием приближённых зависимостей
(4)
,
(5)
где
- квантиль
распределения сkстепенями свободы уровня.
Таблицы
распределения приведены во многих
справочниках4и имеются во всех современных
интегрированных математических пакетах
и табличных редакторах для персональных
компьютеров, например, Mathcad, Matlab,
Statistica, Excel и др.
Хорошие, но несколько завышенные результаты даёт следующая приближённая формула, не требующая использования специальных таблиц:
, где
. (6)
Пример1. По результатам наблюдения заN =10однотипными насосами ТЭЦ зафиксированl =1отказ.
Требуется найти приближённое значение вероятности безотказной работы Р, а также значения- границ при заданной доверительной вероятности=0.90.
Решение:
По приближённой формуле (4.6) получаем
.
.
2. По приближённым уравнениям (4.5)
;
,
где
;
(см.4 с.167)
Ответ. Вероятность безотказной работы для группы из десяти однотипных насосов приближённо равнаР 0.7. С вероятностью’0.80точное значение вероятности находится в пределах от 0.49 до 0.99.
Более точное значение вероятности безотказной работы и других показателей надёжности можно получить для объектов, для которых во время эксплуатации измеряется наработка до отказа и (или) между отказами.
1ГОСТ 27.002-89. Надёжность в технике. Основные понятия и определения/ Госкомитет СССР по управлению качеством продукции и стандартам. – М.: 1990.
2 ГОСТ 27.401-84. Надёжность в технике. Порядок и методы контроля показателей надёжности, установленных в нормативно-технической документации. Общие требования/ Госкомитет СССР по управлению качеством продукции и стандартам. – М.: 1986.
3 ГОСТ 27.502 –83.Надёжность в технике. Система сбора и обработки информации. Планирование наблюдений. Государственный комитет СССР по управлению качеством продукции и стандартам. - М.: 1984.
4 Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983.