- •Лекция № 9. Методы расчёта надёжности систем с последовательной, параллельной и смешанной структурами
- •Введение
- •1.Структурный анализ надёжности систем
- •2.Методы расчёта систем с последовательной структурой
- •3.Параллельная структура. Расчёт надёжности систем с параллельной и смешанной структурами
- •4. Описание условий работоспособности с помощью функций алгебры логики
- •Заключение
2.Методы расчёта систем с последовательной структурой
Пример последовательного соединения элементов показан на рис.1,а. При последовательном соединении элементов вероятность безотказной работы системы за время t при известных вероятностях безотказной работы элементов равна
, (1)
где P1(t), P2 (t),…,Pn(t)- вероятности безотказной работы1,2,3,…,n-го элементов системы за времяt;n– число элементов системы.
Если известны законы изменения интенсивностей отказов элементов системы, то
. (2)
Расчёт по формуле (1) может выполняться только для момента времени t, для которого известны вероятностиPi(t), а по формуле (2) для любого времени непрерывной работы системы.
Рис.1. Структурные
схемы соединения элементов:
а - последовательное;
б - параллельное; в - последовательно-параллельное
(смешанное)
При допущении о независимости отказов элементов интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов отдельных элементов
. (3)
Наработка до отказа системы при последовательном соединении элементов равна наработке до отказа того элемента, у которого эта наработка минимальна
Тс = min(Ti),i = 1,2,…,n, гдеn– число элементов системы.
Вероятность отказа системы, состоящей из последовательно соединённых элементов, определяется по формуле
. (4)
3.Параллельная структура. Расчёт надёжности систем с параллельной и смешанной структурами
При параллельном соединении элементов (рис.1,б) отказ системы возникает только в том случае, когда откажут все её элементы. Вероятность отказа системы за время t при параллельном соединении элементов системы определяется зависимостью
Qc(t) = q1(t)q2(t)…qn(t) , (5)
где q1(t) ,q2(t), q3(t),…,qn(t) - вероятности отказов1,2,3,…,n-го элементов системы за времяt; n– число элементов системы.
Вероятность безотказной работы для этого случая (при условии, что система и каждый элемент системы рассматриваются только в одном из двух состояний – работоспособном и неработоспособном)
. (6)
Вероятность безотказной работы при равнонадёжных элементах и показательном распределении наработки до отказа
, (7)
где - интенсивность отказа одного элемента.
Наработка на отказ системы при параллельном соединении элементов равна максимальному из значений наработок до отказа элементов
Tc = max (Ti) , i = 1,2,…,n.
Если отдельные составные части системы представляют собой параллельное соединение элементов, а другие - последовательное, то рассчитывают вначале вероятности безотказной работы составных частей системы с параллельным соединением элементов, а затем эти составные части соединяют в систему как последовательные элементы (рис.1, в).
Если структурная схема состоит из kпараллельных цепей, а каждая цепь состоит из N звеньев, то вероятность безотказной работы параллельно-последовательной схемы может быть вычислена по уравнению
Для частного случая – экспоненциального закона распределения наработок до отказа – расчётные формулы для последовательного и параллельного соединений можно упростить и представить в виде
. (8)
Для параллельного соединения
. (9)