Розанов учебник(ЭЭА) / GLAVA_2

Рис. 2.26. Схема переключателя с электромагнитным приводом и щелчковыми контактами: 1 – магнитопровод электромагнита, 2 – катушка, 3 – якорь, 4 – опора скольжения, 5 – щелчковые контакты, 6 – пружины контактов, 7 – неподвижные контакты

Рис. 2.27. Эквивалентные схемы электромеханической системы переключателя рис. 2.27:

à – электрическая подсистема, á – магнитная подсистема, â – механическая подсистема

го потока в катушке при изменении тока и перемещениях якоря. Специальные допущения при построении схемы электрической цепи не принимались. Необходимость в использовании допущений возникает при определении параметров R, e(t).

В магнитной системе упрощающее допущение о малых потоках рассеяния приводит к эквивалентной схеме магнитной цепи с одним контуром, в который включены источник МДС – IN, магнитные сопротивления стальных деталей электромагнита Rì и магнитное сопротивление воздушного зазора Rd, зависящее от положения якоря. В эквивалентную схему механической подсистемы входят три зависимых источника сил: электромагнитной силы Pý как функции от магнитного потока, силы сухого трения в опоре скольжения Pò, функции от знака скорости якоря и силы упругости пружины щелчковых контактов Pó, функции от относительного положения штока и контактной рейки. В схему механической подсистемы входят масса якоря и штока mÿ и масса контактной рейки mê.

Математическая модель электромеханической системы переключателя, соответствующая эквивалентным схемам, сводится к системе из пяти дифференциальных уравнений первого порядка

Рис. 2.28. Графики зависимостей параметров электромеханических процессов в переключа- теле рис. 2.27

ãäå I – ток в катушке, N – число витков катушки, v1, v2, x1, x2 – соответственно скорости и перемещения якоря и контактной рейки, δ î – начальный зазор между якорем и магнитопроводом электромагнита, Sï – площадь одного полюса электромагнита, Kó – жесткость одной пружины щелчкового контакта, r – половина длины контактной рейки, x0 – положение контактной рейки относительно штока, при котором упругое усилие пружин равно нулю, l – начальное смещение штока и контактной рейки от положения xo (начального поджатия пружин контактной рейки).

К представленной математической модели необходимо добавить упоры: для якоря при его смещении на расстояние δ 0 и для контактной рейки в начальном положении и при смещении контактов вправо на расстояние X2=h, ãäå h – зазор между неподвижными контактами.

В качестве примера расчета электромеханического процесса на рис. 2.29 приведены графики зависимости тока в катушке, магнитного потока и перемещений якоря и контактов при следующих исходных данных:

U = 220 Â, xo=10 ìì, Rì=5.105 Ãí, m2=0,0003 êã,

R = 1000 Îì, l =12 ìì, Sï=200 ìì2, r =5 ìì,

N = 5600, δ 0=5 ìì, m1=0,02 êã, Kó=10 Í/ì, h = 4 ìì.

Сила сухого трения 10 Н.

При включении электромагнита наблюдается бросок тока, который исчезает при прекращении движения якоря (õ1=-δ 0=–5 мм) и затем начинается плавное нарастание тока до установившегося зна- чения с постоянной времени электромагнита. Движение якоря начинается при t = 1,5 мс, когда электромагнитное усилие превышает противодействующее упругое усилие пружин. Движение контактной рейки в противоположном направлении начинается при смещении якоря на расстояние õ1 = –2 мм (положение устойчивого равновесия рейки) в момент времени t = 4 мс. Время срабатывания реле составляет 11.3 мс, время движения якоря 5.4 мс.

Механические узлы электрических аппаратов отличаются неравномерным характером движений. Это ограниченные поступательные или возвратно поступательные перемещения, ограниченные вращательные или колебательные (маятниковые) перемещения приводных механизмов. В конструкциях таких узлов, как правило, присутствуют нелинейные элементы, к которым относятся механические упоры, люфты, сухое трение è ò. ï. [34].

Упор ограничивает перемещение, и в идеальном приближении может быть представлен координатной точкой, в которой скорость движения становится равной нулю, а перемещение остается неизменным до начала движения в обратном направлении. При численном анализе временных функций

движения на ЭВМ учет указанных ограничений не представляет труда. Более точное воспроизведение процессов в механическом упоре может быть получено представлением упора нелинейной пружиной. Свойства пружины – упора в виде зависимости жесткости от перемещения приведены на рис. 2.29,à. В момент касания упора в точке x1 наступает резкое увеличение жесткости до достижения в точке x2 полного контакта с максимальной жесткостью ky2.

Люфт в механическом соединении подвижных деталей удобно представить как два расположенных с малым зазором упора и моделировать нелинейной пружиной с характеристикой жесткости, представленной на рис. 2.29,á. При положительном перемещении в точке x1 происходит касание и в точке x2 полный контакт деталей. При отрицательном перемещении аналогичные точки обозначены x3 è x4. Расстояние x1, x3 равно размеру люфта.

Термин сухое трение введен для таких процессов, где сила трения не зависит от скорости и направлена противоположно движению, в отличие от вязкого трения, когда сила трения пропорциональна скорости. Механическая характеристика элемента сухого трения изображена на рис. 2.29,â в виде зависимости силы от скорости. Реально всегда существует интервал (–x1, x1) – переходная зона от одного направления движения к противоположному, когда сухое трение подобно вязкому с большим коэффициентом трения.

Под электродинамической стойкостью электри- ческих аппаратов (в общем случае любого электротехнического устройства) понимается способность выдерживать без повреждений и нарушений функционального состояния механические воздействия, создаваемые протекающими через него токами. Количественной характеристикой электродинамической стойкости является ток электродинамической стойкости. При коротких замыканиях наибольшее мгновенное значение амплитуды тока короткого замыкания называется ударным током короткого замыкания. Ток электродинамической стойкости электрического аппарата должен быть больше ударного тока короткого замыкания для данных условий работы. Поскольку механическое воздействие, создаваемое протекающим через электрический ап-

парат током, приложено к токоведущим частям, то, говоря об электродинамической стойкости электрического аппарата, можно говорить об электродинамической стойкости его токоведущих частей.

Под нарушением функционального состояния понимается изменение положения токоведущих частей, которое приводит к непредусмотренному изменению параметров электрической цепи, например, самопроизвольное размыкание контактов контактного аппарата.

Для оценки электродинамической стойкости токоведущих частей в настоящее время используются два метода определения значений электродинами- ческих усилий, а именно: метод, основанный на законе Ампера, и метод, базирующийся на анализе энергетических зависимостей.

Если прямолинейный бесконечно тонкий проводник длиной l и током i находится в однородном магнитном поле с индукцией B, то на него в соответствии с законом Ампера действует механическое усилие

где l – вектор длиною l, направление которого совпадает с направлением тока i.

В общем случае в неоднородном магнитном поле

В (2.29) и (2.30) прямоугольными скобками обозначено векторное произведение. Направление усилия, действующего на проводник с током, определяется по правилу векторного произведения. Довольно часто при этом используют известное правило левой руки: если левую руку расположить так, чтобы вытянутые четыре пальца были направлены вдоль проводника по направлению тока, а линии магнитной индукции входили в ладонь, то вытянутый большой палец покажет направление усилия, действующего на проводник.

Если влиянием ферромагнитных масс можно пренебречь, то для определения напряженности H магнитного поля и магнитной индукции B, обусловленных наличием проводников с токами, ис-

ãäå dH – вектор напряженности магнитного поля в произвольной точке M пространства, находящейся

на расстоянии r от середины элементарной длины dl с током i; r0 – единичный вектор, направление которого совпадает с направлением луча, проведенного из середины проводника dl в заданную точку пространства.

Направление вектора d H определяют по правилам определения направления векторного произведения. Часто при этом используют правило винта правостороннего вращения: если винт вращать по направлению тока, то направление линии напряженности магнитного поля будет совпадать с направлением вращения головки винта.

ãäå µ 0 = 4π 10− 7 Гн/м – магнитная постоянная. Таким образом, если в двух проводниках с тока-

ми выделить элементарные проводники элементарной длины dl1 è dl2 , то элементарное механическое усилие, действующее на проводник элементарной длины dl1 с током i1, находящийся в поле тока i2, протекающего по проводнику dl2, можно определить как двойное векторное произведение

ãäå r – расстояние между серединами длин элементарных проводников dl1 è dl2; r21 – единичный вектор, совпадающий по направлению с лучом, проведенным из середины проводника dl2 в середину проводника dl1;

модуль вектора d 2P12

Если имеется два проводника с токами i1 è i2 и конечными длинами l1 è l2, то усилие, действующее на первый проводник, будет

ãäå k12 – безразмерный коэффициент, зависящий только от геометрических размеров токоведущего контура. Этот коэффициент называется коэффициентом контура электродинамических усилий и может быть принят в качестве критерия геометрического подобия системы, поскольку для подобных в гео-

метрическом смысле систем он имеет одно и то же значение

Для типичного расположения проводников зна- чения коэффициентов контура электродинамических усилий приведены в [6, 7, 35]. Следует обратить внимание на то, что не всегда k12 равен k21. В рассмотренном случае вычисления электродинамических усилий с использованием законов Ампера и Био-Савара-Лапласа предполагалось, что проводники бесконечно тонкие. Если необходимо учесть конкретные размеры проводников, то используют формулу

kô – коэффициент формы поперечного сечения, значения которого для некоторых случаев приведены в [2, 4].

Рассмотрим систему, состоящую из n-контуров с токами. Положение этой системы в пространстве определяется обобщенными координатами, наименьшее число которых, необходимое для определения положения системы, равно, как известно из механики, числу степеней свободы системы. Если тело перемещается по некоторой направляющей, достаточно знать путь, пройденный телом вдоль этой направляющей от начального положения. Если тело закреплено на оси, достаточно знать угол поворота тела вокруг этой оси, если тело закреплено в одной точке, положение его может быть определено тремя углами поворота и т. п.

При таком обобщенном понятии координаты силы также должны рассматриваться как обобщенные, причем произведение обобщенной силы на производимое ею изменение обобщенной координаты должно быть равно элементарной работе, совершаемой при изменении координаты. В зависимости от выбора обобщенной координаты обобщенная сила приобретает тот или иной физический смысл, например, если обобщенная координата – линейное перемещение, то обобщенная сила – механическая сила, если обобщенная координата – угол поворота, то обобщенная сила – момент пары сил, если обобщенная координата – объем, то обобщенная сила – давление и т. п.

Пусть в системе контуров с токами под действием силы P координата g получает приращение dg

в направлении силы, а остальные координаты остаются неизменными. Если при изменении координаты g потокосцепления Ψ k остаются неизменными, то

Если при изменении координаты g òîêè ik остаются неизменными, то

Последнее выражение наиболее часто используется при вычислении электродинамических усилий, действующих на токоведущие части электрических аппаратов.

Åñëè ik = const, это не означает, что (2.39) справедлива только для постоянного тока. Полу- ченное выражение справедливо и для переменных токов, причем усилие вычисляется для каждого мгновенного значения тока. Понятие неизменности токов означает, что они остаются неизменными при изменении обобщенной координаты, а не во времени. Другими словами, в (2.38) и (2.39) имеют место частные производные электромагнитной энергии Wì по координате g. Из (2.39) следует, что механическая сила P направлена таким образом, чтобы электромагнитная энергия системы увеличи- валась.

Таким образом, механические усилия, действующие на круговой виток с током радиуса R, выполненный из круглого проводника радиусом r можно определить при следующих допущениях.

Ïðè R >> r индуктивность круглого составит [6] L = µ 0R (ln 8rR − 1,75) .

Тогда

Это усилие направлено на увеличение радиуса R и равномерно распределено по окружности длиной 2π R.

Из формулы для определения индуктивности следует, что существует еще усилие

Это усилие направлено на уменьшение радиуса r и равномерно распределено по окружности длиной 2π r.

Удельное значение нагрузки на единицу длины окружности радиуса r определяется как

Расчет электродинамических усилий, действующих на токоведущие части электрических аппаратов при переменном токе, производится теми же методами и по тем же зависимостям, что и при постоянном токе. Однако из-за того, что ток изменяется с определенной частотой, характер возникающих при переменном токе усилий имеет некоторые особенности.

Если по проводникам протекает однофазный переменный ток

i = Imsin ω t ,

то электродинамическое усилие, действующее на проводник с током, находящийся в магнитном поле другого проводника с тем же током, определяется как

Для упрощения расчета последнее выражение представим в виде

Из (2.40) видно, что в данном случае электродинамическое усилие изменяется с двойной частотой (по отношению к частоте тока) и состоит из постоянной составляющей

и переменной составляющей

Результирующее усилие P12 изменяется от 0 до c12I 2m и не меняет знака.

При коротких замыканиях кроме периодической составляющей ток в общем случае содержит и апериодическую составляющую, т.е.

ãäå I – действующее значение периодической составляющей тока короткого замыкания; a – постоянная затухания апериодической составляющей тока короткого замыкания, которая зависит от параметров источника и цепи.

Максимальное мгновенное значение тока короткого замыкания достигается при ω t = π . Если среднее значение a = 22 ñ-1, то при частоте тока f = 50 Гц будем иметь

Тогда максимальное значение электродинами- ческого усилия

Усилие P12 в этом случае изменяется по сложному закону, который кроме затухающей апериоди- ческой составляющей имеет синусоидальный (с частотой 2ω ) характер. Минимальное значение усилия равно нулю.

В трехфазных цепях токи в отдельных фазах будут определяться как

Усилие, действующее на проводник первой фазы

Если провода фаз расположены параллельно друг относительно друга в одной плоскости, то векторы P12 è P13 направлены по одной линии. Результирующее усилие, действующее на провод-

Ïðè ýòîì P1ïð направлено на притяжение первой фазы к двум другим и называется притягивающим, à P1îò – на отталкивание первой фазы от двух других и называется отталкивающим.

Если провода бесконечно длинные и расположены таким образом, что расстояние между первым и третьим проводами в два раза больше, чем между первым и вторым, то поскольку c12 = µ 0k12 ⁄(4π ) и в данном случае k12 = 2l ⁄a [6], то очевидно, что

c12 = 2c13. Тогда из (2.48) и (2.49) можно получить

P1ïð = 0,116c12I 2; P1îò = − 1,616c12I 2.

Очевидно, что максимальное и минимальное усилия, действующие на проводник третьей фазы будут такими же, поскольку выбор номера фазы носит условный характер, т. е.

P3ïð = P1ïð; P3îò = P1îò .

Электродинамические усилия, действующие на средний провод (вторая фаза), будут изменяться с частотой 2ω от значения

Таким образом, в трехфазной системе при синусоидальных токах на проводники, расположенные

в одной плоскости, действуют знакопеременные электродинамические усилия с частотой удвоенной по отношению к частоте тока.

Если в трехфазной системе проводники расположены в углах равностороннего треугольника, то усилие, действующее на проводник первой фазы, можно определить по (2.40). Однако в отличие от предыдущего случая векторы P12 è P13 направлены не по одной линии, а под углом 60° друг к другу.

В результате сложения этих векторов получим значение модуля вектора электродинамического усилия, действующего на провод первой фазы в следующем виде:

В данном случае c12 = c13 = c23 , à |sin ω t |– модуль синуса.

Годограф вектора P1 представляет собой окружность, проходящую через первую фазу. Центр этой окружности находится на продолжении высоты треугольника, проведенной из вершины расположения первой фазы, а диаметр равен

P1max = √ 3c12I 2.

На каждый из трех других проводов действуют усилия, одинаковые с рассмотренными, но с соответствующим сдвигом во времени и пространстве.

Если в трехфазной системе происходит короткое замыкание, токи имеют кроме периодических еще

èапериодические составляющие, значения которых зависят от вида и момента короткого замыкания. Вид и момент короткого замыкания влияют также на зависимости электродинамических усилий от времени, рассмотрение которых в данной работе из-за ограничения объема не представляется возможным. Отметим только, что в этом случае, как

èв рассмотренных выше, имеют место пульсации электродинамических усилий, в связи с чем кроме расчета токоведущих частей на прочность необходимо производить их расчеты на жесткость. Другими словами, в процессе короткого замыкания не должно быть условий для возникновения механи- ческого резонанса, когда значения собственных частот токоведущих частей совпадают со значениями частот изменения электродинамических усилий. Во избежание механического резонанса необходимо, чтобы частота собственных колебаний токоведущих частей была меньше основной частоты электродинамического усилия. В тех случаях, когда этого невозможно достичь, необходимо увеличи- вать частоту собственных колебаний до тех пор, пока она не станет больше возможной частоты электродинамических усилий.