Розанов учебник(ЭЭА) / GLAVA_1

Электрические аппараты являются сложными электротехническими устройствами, содержащими много элементов, одни из которых являются проводниками электрических токов, другие – проводниками магнитных потоков, а третьи служат для электрической изоляции. Часть элементов может

перемещаться в пространстве, передавая усилия другим узлам и блокам. Работа большой части аппаратов связана с преобразованием одних видов энергии в другие. При этом, как известно, неизбежны потери энергии и превращение их в теплоту.

При протекании тока по электрическому проводнику в нем выделяется мощность, которая для однородного проводника с равномерной плотностью постоянного тока I определяется как

ãäå R – активное электрическое сопротивление однородного проводника длиной l и поперечным сечением S

Удельное электрическое сопротивление материала проводника зависит от температуры υ и в большинстве случаев (до температуры 150ч 200 °C) вычисляется

ãäå ρ 0 – удельное сопротивление при температуре 0 °C; α – температурный коэффициент сопротивления.

Как известно из курса теоретических основ электротехники, поверхностным эффектом называется явление неравномерного распределения плотности переменного тока по поперечному сечению одиночного проводника, а эффектом близости – явление неравномерного распределения плотности переменного тока, обусловленное влиянием друг на друга близко расположенных проводников с токами.

Неравномерность распределения плотности тока при поверхностном эффекте приводит к возникновению дополнительных по сравнению с постоянным током потерь мощности, которые учиты-

ваются коэффициентом поверхностного эффекта

êï ≥ 1.

Было установлено, что коэффициент поверхностного эффекта для немагнитных проводников зависит от формы и геометрических размеров проводника, а также от соотношения √f ⁄R100 , ãäå f –

частота переменного тока; R100 – активное элект-

рическое сопротивление постоянному току проводника определенной длины (обычно l = 100 ì).

Коэффициент близости ká также, как и коэффициент поверхностного эффекта kï зависит от выра-

жения √f ⁄R100 , геометрических размеров, формы

проводников и от расстояния между ними. В отли- чие от коэффициента поверхностного эффекта, коэффициент близости может быть больше, меньше или равным единице.

Значения коэффициентов kï è ká приведены

â [6].

Таким образом (1.1) приобретает вид

~è P= – потери мощности при переменном

èпостоянном токе соответственно.

Âпроводниках из ферромагнитных материалов явления поверхностного эффекта и эффекта бли-

зости проявляются значительно сильнее, а коэффициенты kï è ká в этих случаях существенно больше,ãäå P

чем в немагнитных проводниках.

Профессором Н.Е. Лысовым была предложена эмпирическая формула для вычисления потерь мощности при протекании переменного тока по проводникам из ферромагнитного металла [7]

5⁄3

P = ( 2,9 – 3,25) 10− 4 I Sîõë√ f , (1.5)

Ï

ãäå Sîõë, Ï – площадь поверхности охлаждения и периметр поперечного сечения проводника; f – частота переменного тока.

В ферромагнитных нетоковедущих частях электрического аппарата, находящихся в переменном магнитном поле, также имеют место источники теплоты, которые обусловлены вихревыми токами, возникающими тогда, когда переменный во времени магнитный поток пронизывает ферромагнитные части аппарата.

Для сплошного замкнутого магнитопровода рас- чет потерь мощности в нем можно производить по (1.5), в которой вместо тока I необходимо подставить МДС IN, ãäå N – число витков, а вместо периметра Ï – среднюю длину магнитопровода lñð. Этой же формулой можно пользоваться и при определении потерь мощности для случая, когда токопровод заключен внутрь кольца из ферромагнитного материала.

Если магнитопровод выполнен из листовой стали, то потери мощности в нем определяются на основании приведенных в справочной литературе зависимостей удельных потерь от амплитудного значения индукции, частоты тока, толщины листа и сорта стали [6, 7].

Следует указать, что ферромагнитные части аппарата могут нагреваться в переменном магнитном поле, даже если они не образуют замкнутую систему для магнитного потока [7].

Выше были рассмотрены основные, наиболее общие для всех электрических аппаратов, источники теплоты. Имеется еще ряд источников теплоты, которые в одних аппаратах играют существенную роль, а в других ими можно пренебречь.

Так в электромеханических аппаратах, предназначенных для коммутации электрических цепей, мощным источником теплоты является электри- ческая дуга. В других аппаратах потери на трение или удар составляют довольно большую долю от общих потерь мощности. Электрические аппараты, имеющие движущиеся жидкости или газы должны быть рассчитаны с учетом гидравлических потерь, а изоляция высоковольтных и высокочастотных аппаратов с учетом диэлектрических потерь и т. п.

Различают три способа распространения теплоты в пространстве: теплопроводностью, тепловым излучением и конвекцией.

Теплопроводность – распространение тепловой энергии при непосредственном соприкосновении отдельных частиц или тел, имеющих разную температуру.

В соответствии с гипотезой Фурье количество

теплоты d 2Q, проходящее через элементарную площадку изотермической поверхности dS за промежуток времени dt, определяется как

Здесь λ – теплопроводность; n0 – единичный вектор нормали к площадке dS.

Для большинства веществ в определенном диапазоне температуры теплопроводность зависит от температуры линейно, т. е.

проводности.

Тепловое излучение – распространение внутренней энергии тела путем электромагнитных волн. Совокупность процессов взаимного излучения, поглощения, отражения и пропускания энергии в системе различных тел называют теплообменом излучением.

В общем случае плотность собственного излуче- ния подчиняется закону Стефана-Больцмана

ãäå p – плотность теплового потока; ε – коэффициент излучения тела (0 ≤ ε ≤ 1); T – температура, К.

Конвекция – распространение теплоты при перемещении объемов жидкостей или газов в пространстве из областей с одной температурой в области с другой температурой.

Различают естественную и вынужденную конвекцию. При вынужденной конвекции жидкость или газ движутся за счет внешних сил (например, под действием насоса, вентилятора и т. п.). При естественной конвекции движение происходит за

счет выталкивающих (Архимедовых) сил, возникающих из-за различных плотностей холодных и горячих частиц жидкости или газа.

Поскольку конвекция обусловлена движением жидкости или газа и при конвекции неизбежно соприкосновение частиц с различной температурой, что сопровождается теплопроводностью, то при аналитическом описании процесса конвекции в систему уравнений войдут, уравнение теплопроводности с учетом массообмена (уравнение энергий), уравнение движения жидкости (уравнение Навье-Стокса), уравнение неразрывности жидкости или газа, а также условия однозначности (на- чальные и граничные условия).

Решение системы дифференциальных уравнений часто вызывает большие трудности. Поэтому при инженерных расчетах используют упрощенную формулу Ньютона, в соответствии с которой тепловой поток (количество теплоты в единицу времени) от поверхности твердого тела к окружающей среде (жидкости или газу) или, наоборот, от окружающей среды к поверхности тела пропорционален площади охлаждающей поверхности тела Sохл (поверхности соприкосновения твердого тела со средой) разности температуры поверхности υ и среды υ 0, ò. å.

ãäå kò – коэффициент теплоотдачи.

Источники теплоты в электрических аппаратах

Максимальное значение температуры при этом не должно превышать допустимое значение, которое зависит от многих факторов и устанавливается стандартами.

Кроме допустимой температуры стандартами установлена температура окружающей среды. Для большинства электрических аппаратов при расчете длительных режимов работы температура окружающей среды (воздуха) принимается равной +35 °C [7].

В общем случае задачей теплового расчета является определение мощности источников теплоты и расчет параметров температурного поля, при- чем максимальная температура не должна быть выше допустимой.

На предварительной стадии расчета необходимо выявить источники теплоты в электрическом аппарате, выдать рекомендации по уменьшению их мощности и оценить возможность уменьшения максимальной температуры до допустимого значе- ния при условии наименьшего расхода материалов на аппарат.

Для уменьшения мощности источников теплоты в электрических аппаратах:

применяют проводниковые материалы с малым удельным сопротивлением;

при резко выраженном поверхностном эффекте используют трубчатые проводники, чем достигается более равномерное распределение плотности тока по сечению;

при наличии составных шин их располагают таким образом, чтобы поверхностный эффект и эффект близости оказывали возможно меньшее влияние на мощность источников теплоты;

если применяют пакет параллельно расположенных шин, то крайние шины пакета снабжают ферромагнитными бандажами, которые снижают коэффициент близости;

âконструкции нетоковедущих частей вместо ферромагнитных используются неферромагнитные материалы – немагнитный чугун, латунь, бронза и т. п.;

âнетоковедущих ферромагнитных деталях на пути магнитного потока выполняют прорези, при- чем полученный таким образом воздушный промежуток часто заполняют немагнитным материалом (заваривают неферромагнитным электродом);

применяют короткозамкнутые витки на пути магнитного потока в ферромагнитной детали.

Перечисленные выше случаи далеко не в полной мере охватывают все возможные методы уменьшения мощности источников теплоты. В каждом конкретном случае необходимо проводить дополнительные специальные исследования.

После возможного уменьшения мощности источников теплоты следует выявить пути уменьшения максимальной температуры в аппарате. Из формулы Ньютона [см. (1.8.)] видно, что при по-

стоянных значениях мощности P и температуры окружающей среды υ 0 температуру поверхности

тела υ можно уменьшить за счет увеличения коэффициента теплоотдачи kò или площади Sîõë охлаждающей поверхности. Такой способ уменьшения температуры называется интенсификацией охлаждения. Увеличение коэффициента теплоотдачи осуществляется различными способами: окраской нагреваемых частей аппарата краской, имеющей

больший коэффициент излучения ε , чем поверхность, которая не была окрашена; вынужденной конвекцией, жидкостным охлаждением и т. п.

При вынужденной конвекции коэффициент теплоотдачи может быть повышен на порядок величин по сравнению с коэффициентом теплоотда- чи естественной конвекции.

Жидкостное охлаждение при естественной конвекции также существенно повышает коэффициент теплоотдачи.

Интенсификация охлаждения путем увеличения площади охлаждающей поверхности достигается увеличением геометрических размеров аппарата, или применением радиаторов охлаждения, т. е. искусственным увеличением площади охлаждающей поверхности.

На стадии уточненного теплового расчета электрических аппаратов необходимо определить следующее:

допустимую нагрузку Päîï, зная допустимую температуру, геометрические размеры аппарата и способ его охлажденияния. Это прямая задача è ðåøà-

ется довольно просто, поскольку можно однозначно определить коэффициент теплоотдачи и, используя формулу Ньютона, легко найти Päîï, а, следователь-

íî, è Iäîï;

требуемую площадь охлаждающей поверхности, зная способ охлаждения, допустимую температуру и нагрузку. Это первая обратная задача. Здесь коэффициент теплоотдачи находится подбором, так как он зависит от геометрических размеров аппарата;

способ и параметры охлаждения по известным нагрузке, допустимой температуре и заданных размерах аппарата. Это вторая прямая задача;

параметры температурного поля в аппарате (выяснить максимальную температуру всех частей), зная ток, способ охлаждения и размеры аппарата. Эта вторая обратная задача решается подбором, поскольку и коэффициент теплоотдачи и мощность источников теплоты зависят от температуры.

В формуле Ньютона [см. (1.8)] для конвективного теплообмена коэффициент теплоотдачи kò в общем случае отражает два вида теплоотдачи с поверхности твердого тела в окружающую среду, а именно: теплоотдачу конвекцией и теплоотдачу излучением, т. е. можно записать

ãäå kò.ê è kò.è – коэффициенты теплоотдачи конвекцией и излучением соответственно.

При низкой температуре, незначительно превышающей комнатную, тепловое излучение с поверхностей электрических аппаратов невелико. Однако, при температуре 50–100 °С тепловое излучение, как правило, соизмеримо с теплоотдачей конвекцией.

В расчетах теплоотдачи излучением следует учи- тывать не только собственное излучение тел, определяемое по закону Стефана-Больцмана [см. (1.7)], но и взаимное расположение этих тел.

Если одно тело находится внутри другого тела и имеет температуру T1, коэффициент излуче-

íèÿ òåëà ε 1 и поверхность площадью охлаждения

Sîõë1, второе тело соответственно T2, ε 2 è Sîõë2 è ïðè ýòîì T1 > T2, Sîõë1 < Sîõë2, а самооблучение первого тела отсутствует, то согласно [7] результирующий

удельный поток теплового излучения с поверхности первого тела определяется:

В частном случае, когда электрический аппарат находится в окружающей среде с температурой T0 достаточно далеко от других тел, удельный тепловой поток с его поверхности в окружающую среду определится как

ãäå υ è υ 0 – температура поверхности тела и окружающей среды соответственно.

Коэффициент теплоотдачи конвекцией в общем случае может быть определен из решения соответствующей системы уравнений при соответствующих условиях однозначности. Однако, на практике его определяют экспериментально и, используя теорию подобия, указанную систему уравнений представляют в виде уравнений подобия, справедливых для определенных условий и случаев. Для конвективной теплоотдачи уравнение подобия в общем случае имеет вид

где Nu, Fо, Gr, Pr и Re – числа подобия Нуссельта, Фурье, Грасгофа, Прандтля и Рейнольдса соответственно:

ãäå kò.ê – коэффициент теплоотдачи конвекцией; L – характерный линейный размер тела; λ , a, ν – теплопроводность и температуропроводность материала тела, кинематическая вязкость среды соответственно; t – время; β – температурный коэффициент объемного расширения; g – ускорение свободного падения; w – скорость жидкости или газа; θ = υ – υ 0; υ , υ 0 – температура поверхности тела и окружающей среды соответственно.

Числа подобия вычисляются при определяющей температуре и характерном размере, которые указываются в каждом конкретном случае.

Если известно уравнение подобия, то коэффициент теплоотдачи конвекцией определяется как

Уравнения подобия конвективной теплоотдачи для многих встречающихся на практике случаев приведены в [6–8].

Для естественной конвекции в неограниченном пространстве [1] уравнение подобия имеет вид

Num= C [Gr Pr ]nm ,

ãäå C, n определяются из табл. 1.1.

Таблица 1.1. Значения величин C è n

Определяющая температура находится как

υ m = (υ æ 2+ υ ï) ,

ãäå υ æ, υ ï – соответственно температура жидкости или газа в точках достаточно удаленных от поверхности тела и температура поверхности тела.

Индекс m в уравнениях подобия показывает при какой температуре необходимо производить расчеты.

В качестве характерного размера принимается высота тела, для шаров и горизонтальных цилиндров их диаметр.

Из формулы (1.15) можно определить среднее значение коэффициента теплоотдачи по поверхности тела. Если тело имеет явно выраженные, достаточно протяженные горизонтальные поверхности, то коэффициент теплоотдачи верхней поверхности необходимо увеличить на 30%, а нижней соответственно уменьшить на 30%.

В практических расчетах теплопередачи в ограниченном пространстве, например, между концентрическими трубами с малыми зазорами или в вертикальных щелях между плоскими стенками аппарата, обычно сложный процесс теплообмена заменяют эквивалентным процессом теплопроводности. Средняя плотность теплового потока вычисляется следующим образом:

где δ – толщина щели или зазор между трубами; υ 1, υ 2 – температура стенок аппарата; λ ý – эквивалентная теплопроводность, которая учитывает передачу теплоты теплопроводностью и конвекцией и определяется из соотношения

λ ý = ε ê λ , где λ – теплопроводность жидкости или газа, за-

полняющих щель; ε ê – коэффициент конвекции, значение которого можно определить из уравнения подобия [2]

εê = A [Gr Pr]rñð .

Âкачестве определяющего размера принимается ширина щели δ , в качестве определяющей температуры

Значения A, r ñì. â òàáë.1.2.

Таблица 1.2. Значения величин A è r

Для случая, когда имеется однородное изотропное тело, микроскопические частицы которого неподвижны друг относительно друга, физи- ческие параметры тела постоянны, а внутренние

источники теплоты равномерно распределены в теле. Используя закон Фурье (1.6), можно полу- чить дифференциальное уравнение теплопроводности [8]

где υ – температура в произвольной точке пространства; t – время; q – плотность теплового потока мощности источников теплоты; a – температуропроводность; c – удельная теплоемкость; γ – плотность среды.

Рассмотрим установившийся тепловой режим плоской стенки (рис. 1.1,à) без внутренних источ- ников теплоты, с граничными условиями первого рода: υ = υ 1 ïðè x = 0 è υ = υ 2 ïðè x = δ .

Тогда (1.16) будет иметь вид d 2υ ⁄ dx2 = 0. Общее решение этого уравнения после вычис-

ления постоянных интегрирования примет вид

Уравнение (1.17) называют законом Ома для теплопроводности. При этом тепловому потоку P соответствуют электрический ток I, температуре υ 1 è υ 2 – электрические потенциалы ϕ1 è ϕ2, а теплопроводности λ – электропроводность 1/ρ (ρ – удельное электрическое сопротивление).

Величину

δ – толщина стенки, называют тепловым сопротивлением плоской стенки без внутренних источников теплоты. Используя указанную выше аналогию, со-

Рис. 1.1. К расчету теплопроводности через плоскую стенку без внутренних источников теплоты:

à – распределение температуры; á – эквивалентная схема замещения

ставим эквивалентную схему замещения (рис. 1.1,á). После этого задачу теплопроводности решают, используя законы Ома и Кирхгофа.

Если плоская стенка состоит из нескольких слоев с нулевыми тепловыми сопротивлениями между ними, то в схеме на рис. 1.1,á Rò является суммой n последовательно включенных сопротивлений. Распределение температуры в данном случае будет иметь вид ломанной линии.

Если с одной стороны плоской стенки окружающая среда с температурой υ 01 и коэффициентом теплоотдачи kò1, а с другой стороны окружающая среда с температурой υ 02 è kò2,то эквивалентная схема замещения будет иметь вид, изображенный на рис. 1.2.

В этой схеме Rò2 – тепловое сопротивление плоской стенки, Rò1 è Rò3 – тепловые сопротивления теплоотдачи конвекцией от среды с температурой υ 01 к стенке и от стенки к среде с температурой υ 02. Тепловое сопротивление теплоотдачи конвекцией Rò.ê в общем случае может быть получено из формулы Ньютона (1.8)

В тепловом расчете стационарного режима изолированных по всей длине проводников используют схему замещения, изображенную на рис. 1.2,á, в которой υ 01 = υ 1, à Rò1 = 0. Тепловой поток пред-

ставляет собой в рассматриваемом случае мощность источников теплоты в проводнике.

При этом, если проводник имеет прямоугольное поперечное сечение, то сопротивление Rò2 определяют по (1.19), а сопротивление Rò3 по (1.20). Для проводника имеющего круговое поперечное сече- ние сопротивления Rò2 è Rò3 определяют из справочной литературы, например [6].

Рис 1.2. К расчету теплопроводности через плоскую стенку без внутренних источников теплоты:

à – распределение температуры; á – эквивалентная схема замещения

Кроме стенок без источников теплоты в электрических аппаратах часто встречаются стенки с равномерно распределенными источниками теплоты, при этом, их тепловые сопротивления можно определить по [6]. В общем случае электри- ческие аппараты имеют плоские стенки с источниками теплоты, у которых имеются стенки без источников теплоты и теплоотдача происходит с двух сторон (рис. 1.3,à,á). Тогда внутри стенки с источ- никами теплоты будет иметь место слой (координата xm) с максимальной температурой υ m, часть теплоты, выделяющейся в стенке будет распространяться в левую сторону от плоскости x = xm, другая часть – в правую сторону и схема замещения будет иметь вид, изображенный на рис. 1.3,á.

Координата, соответствующая наиболее нагретому слою в этом случае [1]

Для цилиндрических стенок с источниками теплоты схема замещения будет такой же, как и схема замещения плоской стенки, а тепловые сопротивления, тепловые потоки и радиус наиболее нагретого слоя можно вычислить по соотношениям, приведенным в справочной литературе [6].

Катушки электрических аппаратов без магнитопроводов рассматривают как стенки с равномерно распределенными источниками теплоты, причем если катушка плоская, используют метод расчета плоской стенки, а если цилиндрическая, то метод расчета цилиндрической стенки.

Удельную мощность источников теплоты в катушке определяют [7]

ãäå (IN) – МДС катушки; ρ – удельное электрическое сопротивление; kç – коэффициент заполнения; Sî.ê – площадь обмоточного окна.

Для определения теплопроводности катушки используют эмпирические формулы [6].

В расчетах радиаторов охлаждения применяют методику теплового расчета стержней без источников теплоты, находящихся в окружающей среде с температурой υ 0, коэффициентом теплоотдачи kò и температурой на торце стержня радиатора υ 1 > υ 0.

Если пренебречь теплоотдачей с торца стержня, то зависимость температуры по длине l будет иметь вид

ãäå Rð – тепловое сопротивление ребра охлаждения, определяемое по (1.24); Rí – тепловое сопротивление неоребренной поверхности; n – число охлаждающих ребер.

Рис. 1.4. Кривые нагрева электрических аппаратов

Рис 1.5. Простейший вид кривых остывания (1) и нагрева (2) электрического аппарата

называется установившимся значением температуры, а величина τ – постоянной времени нагрева, она положительна и имеет размерность времени. Таким образом (1.26) можно упростить

Если начальная температура аппарата равна температуре окружающей среды υ í = υ 0, то кривая нагрева (1.30) описывается уравнением (рис.1.5)

Рассмотрим повторно-кратковременный режим нагрева электрического аппарата, когда он нагружается источниками теплоты постоянной мощности в течение времени tð (рабочий период) и охлаждается за время tï (время паузы) таким образом, что рабочие периоды и периоды пауз бесконечно повторяются (рис.1.6,à).

Кривая нагрева (рис.1.6,á) имеет пилообразный вид [7], причем

Рис. 1.6. К расчету повторно-кратковременного нагрева электрических аппаратов:

à – график нагрузки; á – кривые нагрева

ство коэффициентов теплоотдачи и равенство охлаждающих поверхностей)

называется коэффициентом перегрузки по мощности и показывает во сколько раз можно увеличить мощность источников теплоты в электрическом аппарате при повторно-кратковременном режиме работы по сравнению с мощностью при продолжительном режиме при условии равенства допустимой температуры в том и другом случаях.

Поскольку при прочих равных условиях мощность источников теплоты в большинстве случаев пропорциональна квадрату тока (1.4), то вводят коэффициент перегрузки по току, который равен kI = √ kp .

Åñëè tp + tï ≤ 0,1τ, òî è tï < 0,1τ. В этом случае с погрешностью, не превышающей 5% можно определить

Максимальная температура электрического аппарата при повторно-кратковременном режиме нагрева (υ ïê = Θ ïê + υ 0) меньше, чем при продолжи-

тельном режиме (υ ó = Θ ó + υ 0) при условии равенства мощностей источников теплоты в том и другом случаях (Pïê = Pïð). Поскольку превышения температуры и мощности, отдаваемые в окружающую среду при установившемся и квазистационарном режимах нагрева связаны линейной зависимостью Ньютона, то при прочих равных условиях (равен-

Часто в расчетах используется понятие ”относительная продолжительность включения”. Эта вели- чина определяется как

Термической стойкостью электрических аппаратов называется способность их выдерживать без повреждений, препятствующих дальнейшей работе, термическое воздействие протекающих по токоведущим частям токов заданной длительности. Количественной характеристикой термической стойкости является ток термической стойкости, протекающий в течение определенного промежутка времени. Наиболее напряженным для электрического аппарата является режим короткого замыкания, в процессе которого токи по сравнению с номинальными могут возрастать в десятки раз, а мощности источников теплоты в сотни раз.

Термическая стойкость электрического аппарата зависит при этом не только от режима короткого

замыкания, но и от теплового состояния, предшествующего режиму короткого замыкания.

При коротком замыкании электрические аппараты подвергаются значительным термическим воздействиям. Как правило, это аварийный режим работы и поэтому время его действия ограничивается на минимально возможное. Для большинства электрических аппаратов это время t ≤ 0,1τ, т. е. не превосходит времени нагрева при адиабатном процессе (нагрев без теплообмена с окружающей средой). Другими словами режим короткого замыкания можно рассматривать как кратковременный режим работы, при котором температура электри- ческого аппарата может достигать значений, превосходящих допустимую температуру в продолжи-

тельном режиме. Это возможно, поскольку время кратковременного режима обычно небольшое, за которое не может произойти существенных изменений в старении изоляции и других элементах, которые ограничивают температуру в продолжительном режиме работы.

Тем не менее и в этом случае существуют ограничения, которые в основном диктуются температурой рекристаллизации материала токоведущих частей. В электрических аппаратах высокого напряжения приняты следующие значения максимальной температуры при кратковременном режиме работы [7]:

неизолированных токоведущих частей из меди или ее сплавов – 300 °C;

алюминиевых токоведущих частей – 200 °C; токоведущих частей (кроме алюминиевых), со-

прикасающихся с органической изоляцией или маслом – 250 °C.

Поскольку режим нагрева при коротком замыкании адиабатный, то теплоотдачей в окружающую среду с поверхности аппарата можно пренебречь и уравнение теплового баланса можно записать как

Для упрощения будем рассматривать адиабатный нагрев единицы объема проводника. Тогда

P0 = J 2ρ 0,

ãäå J – плотность электрического тока в проводнике; ρ 0 – удельное электрическое сопротивление проводника при температуре 0 °C,

C = c γ ,

ãäå c – удельная теплоемкость; γ – плотность материала проводника.

Поскольку при коротких замыканиях температура проводника может достигать больших значе- ний, то следует учесть, что c = c0(1 + βυ ). Тогда (1.37) можно представить в виде

Это уравнение является трансцендентным и представляет собой функциональную зависимость υ = υ( J 2t) . Величина J 2t называется квадратичным импульсом плотности тока.

Рис. 1.7. К расчету режима КЗ по кривой адиабатного нагрева

Для каждого материала, зная α , β , ρ 0, c0, γ, можно построить зависимости, называемые кривыми адиабатного нагрева [6–8].

Обычно кривые адиабатного нагрева приведены для температуры υ í = 0. Åñëè υ í ≠ 0 и по заданному

J 2t требуется найти температуру проводника, то поступают следующим образом. Для данной температуры υ í по кривой адиабатного нагрева находят значение J 2tí (рис. 1.7). Затем на оси абсцисс от

значения J 2tí откладывают отрезок, равный J 2t

и по кривой адиабатного нагрева находят конечную температуру проводника υ ê.

Следует отметить, что кривые адиабатного нагрева позволяют решать как прямую, так и об-

ратную задачи, т. е. по значению J 2t находить температуру проводника и обратно по заданной температуре – допустимое значение квадратичного импульса плотности тока.

В системах большой мощности плотность тока не изменяется при коротком замыкании. В этом случае можно пользоваться кривыми адиабатного нагрева. Из (1.39), где плотность тока имеет постоянное значение, также легко вычислить квадратич- ный импульс плотности тока.

Если короткое замыкание происходит вблизи генератора, то плотность тока не остается неизменной во времени, поскольку ток короткого замыкания в общем случае состоит из апериодической и периодической составляющих; причем амплитуда периодической составляющей меняется в процессе короткого замыкания. Наибольшее значение амплитуды периодической и наибольшее значение апериодической составляющих зависят от момента ко-