Розанов учебник(ЭЭА) / GLAVA_1

Рис. 1.26. Выражение электромагнитной силыPýì , действующей на объем V в области магнитного поля, через натяжение Tn

Метод расчета электромагнитной силы по изменению магнитной энергии или магнитной коэнергии целесообразно использовать, когда магнитное поле системы можно выразить аналитически, в частности, при описании процессов в электромагнитной системе уравнениями электрических и магнитных цепей.

â) Определение электромагнитной силы по натяжению в магнитном поля

Электромагнитная сила Pýì представляется как сумма элементарных сил натяжения dPýì, действующих извне на каждый элемент dS поверхности S, охватывающей объем V в области магнитного поля (рис.1.26) [21]:

– натяжение, представляющее собой силу, действующую извне на единицу поверхности.

Элементарная электромагнитная сила dPýì зависит не только от размера элемента dS, но и от его ориентации, т. е. расположения его центра относительно системы координат (здесь принимаем декартову систему ) и направления внешней нормали n к этому элементу ( рис.1.26).

В выбранной системе координат

Tn = qxTnx + qyTny + qzTnz , (1.119)

ãäå qx, qy, qz – единичные векторы (орты) соответственно по осям x, y, z;

Tnx , Tny, Tnz – составляющие Tn по этим осям. Тогда

Выражение (1.122) представляет собой формулу Максвелла для натяжения.

Из выражений (1.117) и (1.122) следует формула Максвелла для электромагнитной силы

Pýì = (1 ⁄ µ r µ 0) ∫ (BBn − 0,5B2n) dS . (1.123)

S

В формулах (1.122) и (1.123) B – вектор магнитной индукции в рассматриваемой точке поверхности S; µ r µ 0 = µ a – абсолютная магнитная проницаемость среды в этой точке (в воздухе µ r = 1); n – единичный нормальный вектор (нормальный орт) к той части поверхности, на которую действует натяжение Tn; Bn è B – соответственно нормальная составляющая и модуль вектора B.

Если на какой-то площади Sk, являющейся частью поверхности S ферромагнитной детали, поле можно считать равномерным (Bk = const), òî ïðè

где магнитный поток Φ k = BkSk.

Для подавляющего большинства практических задач, встречающихся при анализе электромехани- ческих аппаратов, допустимо приближенно использовать формулы (1.128) и (1.129) уже при µ r > 100, в чем можно убедиться, решив задачи (1.13,

1.15 è 5.13 â [14].

Суммируя элементарные моменты dMýì = [r dPýì]

относительно центра координат O (рис.1.26), найдем выражение для электромагнитного момента, действующего на объем V относительно этого центра.

–составляющие момента относительно осей x, y è z. ã) Определение электромагнитной силы по е¸

объемной и поверхностной плотностям в магнитном поле

Электромагнитная сила, действующая на ферромагнетик объемом V, определяется этим способом [21] по формуле

ãäå pýìv – объемная плотность силы в пределах объема, в котором нет разрыва магнитной проницаемости (нет границ между средами с различными магнитными проницаемостям); pýìs – поверхностная плотность силы на поверхностях разрыва магнитной проницаемости, например, на границе между ферромагнетиком и воздухом; Sð – сумма поверхностей разрыва магнитной проницаемости в пределах объема V.

Объемная плотность электромагнитной силы

x, y, z; J – объемная плотность токов, распределенных в объеме dV (ðèñ.1.27).

Из (1.132) следует, что вторая составляющая объемной плотности силы пропорциональна квадрату напряженности поля, коллинеарна градиенту µ a и направлена по отношению к нему в противоположную сторону, т. е в сторону уменьшения магнитной проницаемости.

Формулу (1.132) также можно назвать формулой Максвелла для объемной плотности электромагнитной силы, так как она им впервые выведена для

ãäå n2 – нормаль, внешняя по отношению к среде 1; µ a1 è µ a2 – магнитные проницаемости в средах 1 и 2; H 2τ= H 2τ1 = H 2τ2 è B 2n = B 2n1 = B 2n2 – квадраты тангенциальных составляющих напряженности и нормальные составляющие индукции на элементе dS поверхности Sð.

Поверхностная плотность электромагнитной силы, действующая на границе между средами, всегда направлена по нормали в сторону среды с меньшей магнитной проницаемостью. Предположим, например, что среда 1 – ферромагнетик, а среда 2 – воздух (рис.1.28). Тогда µ a2 < µ a1, значе-

Рис. 1.27. Определение объемной плотности силы pýìv

Рис. 1.28. Определение поверхностной плотности силы pýìs

ние в квадратных скобках в (1.133) положительно и плотность силы pýìs направлена по нормали n2, т. е. в сторону воздуха.

Формула (1.133) вытекает [21] из формулы (1.132), поэтому е¸ можно назвать формулой Максвелла

для поверхностной плотности электромагнитной силы.

С учетом объемной и поверхностной плотностей электромагнитной силы действующий на выделенный объем V электромагнитный момент

Формулы Максвелла, приведенные в методах в) и г) справедливы для линейных и нелинейных изотропных безгистерезисных сред и могут быть использованы для расчета электромагнитных сил и моментов магнитной системы произвольной формы при условии, что предварительно проведен расчет е¸ магнитного поля (см., например, [32]).

Магнитная система – это совокупность проводников с током (или постоянных магнитов) и (при необходимости) магнитомягких элементов, предназначенная для создания заданной конфигурации магнитного поля и его значения в определенном месте пространства. Магнитомягкие элементы магнитной системы образуют магнитопровод, который служит для уменьшения магнитного сопротивления потоку и подведения его к тому месту пространства, где поток используется. Расчет поля магнитной системы осуществляется либо непосредственно методами теории поля (полевые методы), либо методами теории цепей, вытекающими из теории поля. Поле подавляющего большинства магнитных систем электрических аппаратов трехмерно. Расчет трехмерных полей полевыми методами обычно связан со значительными объемами вычислительных работ. Но эти методы более универсальны, дают возможность, если требуется, точнее решить задачу, чем могут обеспечить методы теории цепей. Поэтому во многих случаях их целесообразно использовать как математические модели высокого уровня, когда уже предварительно существенно сужена область поиска размеров магнитной системы и необходимо только ”отшлифовать” проектирование.

Методы теории цепей широко применяются в настоящее время и будут применяться в обозримом будущем, особенно на первых стадиях проектирования.

Магнитная цепь – это упрощенное представление о магнитной системе и ее магнитном поле, при котором электромагнитные процессы описываются уравнениями, содержащими понятия: магнитодви-

жущая сила (МДС), разность скалярных магнитных потенциалов (магнитное напряжение), магнитный поток, магнитная проводимость, магнитное сопротивление. Эти понятия формально аналогичны, соответственно, понятиям электродвижущая сила, электрическое напряжение, ток проводимости и сопротивление электрической цепи.

Аналогия между электрическими и магнитными цепями формальна. Например, удельная электрическая проводимость проводников примерно в 1010÷ 1020 раз выше чем у изоляторов, тогда как магнитная проницаемость магнитомягких материалов обычно только в 103÷ 106 раз больше чем у немагнитных материалов. Магнитные цепи большинства магнитных систем электрических аппаратов разомкнуты немагнитными зазорами, которые, однако, не прерывают магнитный поток, а только увеличивают магнитное сопротивление на его пути. Изоляционный же промежуток в электрической цепи постоянного тока практически прерывает ток. Магнитная проницаемость зависит от потока, а электрическая удельная проводимость практически не зависит от тока (без учета нагрева проводника). Эти отличия делают расчеты магнитных цепей более сложными чем расчеты электрических цепей.

Магнитные цепи постоянного тока. Для анализа и расчета магнитных цепей постоянного тока используются три закона: первый и второй законы Кирхгофа и закон Ома для магнитных цепей.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма магнитных потоков Ф в узле магнитной цепи равна нулю

Поток, входящий в узел, берется с одним знаком, а выходящий из узла – с другим.

Первый закон Кирхгофа для магнитной цепи вытекает из условия непрерывности линий магнитной индукции: ∫B dS = 0, ãäå B – магнитная индук-

S

öèÿ; S – площадь некоторой замкнутой поверхности. Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма магнитных напряжений на магнитных сопротивлениях любого произвольно выбранного замкнутого контура обхода равна алгебраической сумме МДС,

действующих в этом контуре

ãäå Uì – магнитное напряжение на сопротивлении участка контура; F – МДС, действующая в этом контуре.

Если направление обхода контура совпадает с действительным или условно принимаемым (когда оно не очевидно) положительным направлением магнитного напряжения, то это напряжение подставляется со знаком плюс, если не совпадает, то со знаком минус. Положительное направление магнитного напряжения на магнитном сопротивлении совпадает с положительным направлением потока в этом сопротивлении. Если направление МДС совпадает с направлением обхода, то оно подставляется со знаком плюс, если не совпадает, то со знаком минус.

Определение в результате расчетов какой-либо величины с плюсом означает, что предварительно принятое условно положительное направление совпадает с действительным; если же с минусом, то оно противоположно действительному.

Второй закон Кирхгофа для магнитной цепи вытекает из закона полного тока: ∫H d l = ∑ I, ãäå

l

H – напряженность магнитного поля вдоль замкнутого контура обхода длиной l : ∑ I – алгебраическая

сумма токов, пронизывающих этот контур.

Закон Ома для участка магнитной цепи постоянного тока

ãäå Rì – магнитное сопротивление участка магнитной цепи; Λ – магнитная проводимость этого участка.

Закон Ома для магнитной цепи вытекает из закона полного тока с учетом (1.136).

Точность расчета магнитной системы методами цепей в значительной степени зависит от точности определения магнитных проводимостей участков

немагнитного пространства, окружающего магнитную систему.

Рассмотрим некоторую произвольную трубку магнитного потока в воздухе (рис. 1.29), между концами которой действует магнитное напряжение Uì = ϕ ì1 − ϕ ì2, ãäå ϕ ì1 è ϕ ì2 – скалярные магнитные потенциалы концов трубки. Магнитная проводимость элементарного участка этой трубки с площадью dS и длиной dl согласно (1.137 )

Тогда магнитная проводимость всей трубки

∫ B dS

∫ H d l

l

где B и H – соответственно векторы магнитной индукции и напряженности поля; S – площадь произвольного сечения трубки, в котором производится расчет потока Φ по индукции B; l – длина линии магнитной индукции, по которой рассчитывается циркуляция H, равная Uì.

Если магнитное поле в воздухе определено векторным магнитным потенциалом A, то с учетом B = rot A = µ 0H и теоремы Стокса

(∫ rotA d S = ∫ A d l1 )

S l1

∫ rotA d l

l

ãäå l1 – контур, ограничивающий сечение S.

Рис. 1.29. Определение магнитной проводимости произвольной трубки магнитного потока

Из (1.139) и (1.140) следует, что для определения Λ в общем случае необходимо знать векторные характеристики поля. Это связано с решением соответствующей граничной задачи, что осуществить аналитически чаще всего невозможно и приходится использовать численные или другие приближенные методы, с которыми можно ознакомиться в [24–27].

Для простейшего распределения поля – плоскопараллельного участка площадью S и длиной l, имея в виду, что для такого поля в пределах всего участка B = µ 0 H = const, из (1.139) следует,

Магнитное сопротивление участка магнитопровода с постоянной площадью поперечного сечения S и длиной l

Здесь µ à è ρ ì = 1 ⁄ µ à – соответственно абсолютная магнитная проницаемость и удельное магнитное сопротивление материала магнитопровода.

При использовании методов расчета цепей поступают следующим образом.

1.Анализируют качественное (но полное) распределение поля в магнитной системе.

2.Реальную конфигурацию поля заменяют упрощенной конфигурацией, состоящей из отдельных участков, достаточно просто описываемых математически; некоторыми участками пренебрегают; вихревые области поля часто заменяют безвихревыми, для чего объемное распределение токов приводят к бесконечно тонкой ленте или нити.

3.Составляют магнитную цепь.

4.Находят магнитные проводимости (или магнитные сопротивления) отдельных участков поля в воздухе и других неферромагнитных участках.

5.Проводят расчет магнитной цепи с учетом или без учета магнитного сопротивления магнитопровода.

При расчете магнитной цепи решается обычно одна из двух задач: прямая или обратная. В прямой

задаче известным является магнитный поток Φ (или магнитная индукция B) на некотором участке магнитной системы; требуется определить магнитодвижущую силу (МДС) обмотки F. В обратной задаче задана МДС обмотки; требуется определить поток (или индукцию). Как при прямой, так и при обратной задачах известны также все размеры магнитной системы и материал магнитопровода. В подавляющем большинстве случаев расчеты магнитных цепей постоянного тока проводят без учета гистерезиса намагничивания.

Рассмотрим магнитную систему прямоходового электромагнита, изображенную на рис. 1.30,à. Ее магнитопровод состоит из подвижного элемента – якоря 1 – и неподвижного сердечника 2. Последний имеет две вертикальные части и одну соединяющую их внизу горизонтальную часть – ярмо. Якорь отделен от сердечника двумя воздушными зазорами δ 1 è δ 2, называемыми рабочими зазорами. Именно из-за изменения этих зазоров происходит преобразование энергии и обеспечивается функционирование аппарата. Кроме рабочих зазоров в магнитной системе могут присутствовать паразитные (немагнитные, воздушные) зазоры, обусловленные особенностями конструкции и технологи- ческими условиями ее выполнения. Магнитное поле создается током в обмотке 3, охватывающей левую вертикальную часть сердечника. Направление тока показано крестиком (от нас) и точкой (к нам) на поперечном сечении обмотки.

Ток и линии магнитной индукции создаваемых им магнитных потоков, образуют правовинтовую систему. В дальнейшем магнитный поток, проходящий через рабочие зазоры, будем называть условно рабочим потоком, а остальные потоки – потоками рассеяния.

Íà ðèñ. 1.30,a представлена картина поля рассматриваемой магнитной системы [28].

Введем ряд упрощений в рассматриваемую магнитную систему и ее магнитное поле – рис. 1.30,á. Обмотку представим в виде бесконечно тонкой ленты 3 длиной lîá, расположенной непосредственно на левой вертикальной части сердечника длиной lñ и примем lîá = lñ. При указанных представлении и размещении обмотки исчезают потоки рассеяния

Φ â.í è Φ â.â (ðèñ. 1.30,à). Пренебрежем также на-

Φ ”

ружным” потоком рассеяния ñ.í, считая его существенно меньшим аналогичного внутреннего” потока рассеяния Φ ñ.â (ðèñ. 1.30,à).”Поле последнего примем плоскопараллельным и ограниченным сверху горизонтальной штриховой линией. Будем также считать, что рабочий поток проходит из сердечника в якорь в зазоре δ 1 и далее из якоря в сердечник в зазоре δ 2 только в пределах торцов сердечника, причем области прохождения этого потока в обоих зазорах считаем одинаковыми; для упрощения расчета магнитных проводимостей этих областей ([24–27]) ограничим их в плоскости чер-

тежа частями окружности.

Выделим элементарную трубку потока рассеяния, удаленную на расстояние õ îò ÿðìà (ðèñ. 1.30,â). В общем случае поток, протекающий по

ãäå Uìdx è λ dx – соответственно магнитное напряжение на элементарной трубке (между вертикальными частями сердечника) и удельная (на единицу длины ld) магнитная проводимость рассеяния на расстоянии x îò ÿðìà; dx – ширина трубки.

При равенстве конфигураций вертикальных частей сердечника для принятой упрощенной картины поля (рис. 1.30,á)

Здесь fx – удельная (на единицу длины) МДС обмотки; Φ ÿð – магнитный поток в ярме; Rì.ÿð – магнитное сопротивление ярма; Φ x è rìx – соответст-

венно магнитный поток в вертикальных частях сердечника и удельное сопротивление этих частей на расстоянии x îò ÿðìà.

Значение удельного магнитного сопротивления

ãäå µ ax, ρ ìõ è Sñõ – абсолютная магнитная проницаемость, удельное магнитное сопротивление материала и площадь поперечного сечения вертикальных частей сердечника на расстоянии x îò ÿðìà.

Ñучетом (1.136) и (1.137) и закона полного тока

xx

ãäå Hx – напряженность поля в вертикальных частях сердечника на расстоянии x îò ÿðìà.

С учетом (1.143) и (1.144) следует, что поток рассеяния, ушедший с левой вертикальной части сердечника на его правую часть на расстоянии x,

000

xx x

0

При равномерном распределении витков обмотки вдоль ее длины (рис. 1.30,ã) fx = f = const, из (1.148) следует

(ñì. ðèñ. 1.30,ä).

В упрощенной картине поля (рис. 1.30,á) мы допустили равномерность распределения потока рассеяния, что означает при пренебрежении магнитным сопротивлением магнитопровода λ dx = λ d = const.

и из (1.147) после интегрирования с учетом lîá = ld

Поток в вертикальных частях сердечника на расстоянии x (ðèñ. 1.30,â)

двух последовательных рабочих зазоров δ 1 è δ 2.

С учетом принятого допущения об идентичнос-

ти областей поля в рабочих зазорах Λ δ ýê = 1/Rìδ ýê = = (Λ δ 1 Λ δ 2) ⁄ (Λ δ 1 + Λ δ 2) = Λ δ ⁄ 2, ãäå Rìδ ýê – магнитное

сопротивление, соответствующее проводимости Λ δ ýê.

График распределения потока Φ X вдоль оси x äàí íà ðèñ. 1.30,æ.

Ïðè x = ld поток Φ x равен потоку Φ δ , à ïðè x = 0 – потоку в ярме Φ ÿð и представляет для принятых допущений (в том числе µ a = ∞ ) суммарный поток магнитной системы

димость плоскопараллельного поля рассеяния рассматриваемой магнитной системы (рис. 1.30,á,â), определяемая только ее геометрией; KÔ= 1/2 –

коэффициент приведения по потоку магнитной проводимости рассеяния рассматриваемой магнитной системы к МДС обмотки F.

Часть выражения (1.154), заключенная в скобки, представляет собой суммарную магнитную прово-

ãäå RìΣΦ – магнитное сопротивление, соответствующее суммарной магнитной проводимости Λ ΣΦ .

Отношение Φ Σ ⁄ Φ δ = σ ΣΦ называется суммарным

коэффициентом рассеяния магнитной системы по потоку.

Суммарное потокосцепление рассматриваемой магнитной системы

Так как линии магнитной индукции рабочего потока Φ δ в рассматриваемой упрощенной модели поля (рис. 1.30,á) охватывают все витки обмотки

NΣ , òî Ψ δ = NΣ Φ δ .

Дифференциальное выражение для потокосцеп-

ãäå Nx – число витков обмотки, охватываемых потоком dΦ dx. Для равномерной намотки вит-

êîâ è lîá = ld имеем Nx = NΣ x ⁄ ld.

Тогда из (1.156) с учетом (1.150) после интегрирования

рассматриваемой магнитной системы к МДС F и суммарному числу витков NΣ обмотки.

Часть (1.158), заключенная в скобки, представляет собой суммарную магнитную проводимость рассматриваемой магнитной системы, приведен-

С учетом того, что KΦ = 1 ⁄ 2, à KΨ = 1 ⁄ 3, из сравнения (1.155) и (1.159) следует: Λ ΣΨ < Λ ΣΦ .

Отношение Ψ Σ ⁄ Ψ δ = σ ΣΨ называется суммарным

коэффициентом рассеяния по потокосцеплению. Индуктивность L и магнитная энергия Wì рассматриваемой магнитной системы при всех принятых выше допущениях

Эти выражения могут быть использованы для расчета по энергетическим формулам электромагнитной силы, создаваемой данной магнитной системой. Выражение (1.160), кроме того, необходимо для определения постоянной времени этой магнитной системы и временных параметров электромеханических аппаратов с ее применением.

Íà ðèñ. 1.31,à приведена магнитная цепь рассматриваемой магнитной системы, составленная по упрощенной картине поля (рис. 1.30,â) без учета магнитного сопротивления магнитопровода. На рис. 1.31,á,â показаны последовательные этапы преобразования этой исходной схемы замещения до простейшей цепи рис. 1.31,â с источником МДС и суммарным магнитным сопротивлением RìΣΦ íà

его зажимах.

При анализе магнитной системы с учетом магнитного сопротивления магнитопровода решить аналитически (1.144), (1.147) и подобные им уравнения, определяющие распределение в магнитной системе магнитных напряжений и потоков, чаще всего не удается даже при fx = const è λ dx = const. Это связано со сложностью нахождения µ ax, определяемой, в свою очередь, при заданном материале магнитопровода распределением потоков в магнитной системе, так как µ ax зависит от индукции.

Для преодоления этого затруднения поступают, например, следующим образом.

1. Детали магнитопровода, между которыми по воздуху проходит распределенный поток (например, поток Φ d в рассматриваемой магнитной системе) разбивают на ряд участков; путь доли суммарного распределенного потока, проходящий между

двумя из этих участков по воздуху, представляют сосредоточенным в виде ветви магнитной цепи с соответствующим магнитным сопротивлением воздушного промежутка, включенным между нача- лами, концами или серединами этих участков. Истинная распределенная магнитная цепь заменяется ”менее распределенной” – расчетной магнитной цепью.

2. Магнитопровод с изменяющимся по его длине магнитным потоком (в рассматриваемой магнитной системе – Φ x) заменяется суммой участков, в пределах каждого из которых поток принимается неизменным, а соответственно, при постоянной вдоль длины участка площадью его поперечного сечения, принимается неизменной и магнитная индукция. Чем больше участков, тем ближе расчетная магнитная система к первичной .

В качестве примера каждую из вертикальных частей сердечника длиной ld рассматриваемой магнитной системы разобьем на два равных участка – см. горизонтальную штриховую линию Á íà ðèñ. 1.30,â. Поток рассеяния Φ d1 между первыми (верх-

ними) участками сосредоточим в ветвь магнитной цепи с сопротивлением Rìd1, подключенным к точ-

Рис. 1.31. Магнитные цепи системы, изображенной на рис. 1.30,á:

à–â – без учета магнитного сопротивления магнитопровода; ã – с учетом магнитного сопротивления магнитопровода

кам δ и δ′ посредине соответственно левого и правого верхних участков. Поток рассеяния Φ d2 между вто-

рыми (нижними) участками сосредоточим в ветвь с сопротивлением Rìd2, подключенным к точкам b

è b′, соответствующим серединам нижних участков. На рис. 1.31,ã приведена эквивалентная принятому разбиению магнитная цепь с учетом магнитного сопротивления магнитопровода. Обозначения в цепи понятны при совместном рассмотрении рис. 1.30,â è ðèñ. 1.31,ã. Определение параметров такой цепи осуществляется путем последовательных итераций. Если задан поток Φ δ и необходимо найти

МДС обмотки F, то задаются последовательно рядом значений F и при каждом из этих значений рассчитывают магнитную цепь до тех пор, пока магнитное напряжение между бесконечно близкими точками д и д′ (рис. 1.30,â è ðèñ. 1.31,ã) не станет отличаться по модулю от нуля меньше заранее

заданного малого значения ε << F. Соответствующее этому условию значение F и будет искомым.

Магнитные цепи переменного тока. Значение тока в обмотке магнитной системы, подключенной к источнику переменного напряжения u, не равно этому напряжению, деленному на активное сопротивление провода обмотки, как это имеет место в магнитной системе постоянного тока в статическом или квазистатическом режимах работы (при бесконечно медленном перемещении якоря).

Связь между мгновенными значениями напряжения u, òîêà i, активного сопротивления R и потокосцепления ψ на переменном токе определяется выражением

ляющая напряжения; ue – реактивная составляющая напряжения, равная по модулю и обратная по фазе ЭДС обмотки e.

Если пренебречь uR и считать, что

Таким образом, если задано напряжение, то задано и потокосцепление, которое при допущении uR = 0 не зависит от рабочего зазора δ . По обмотке

должен протекать ток такого значения, чтобы создать это потокосцепление.

Если пренебречь магнитным сопротивлением магнитопровода, то из (1.163) с учетом (1.159) следует

Таким образом, ток в обмотке будет возрастать с увеличением рабочего зазора δ , так как при этом уменьшается значение Λ ΣΨ .

Конечно, из этого не следует делать вывод, что с увеличением δ рабочий поток остается неизменным. Суммарное потокосцепление Ψ Σ складывается

из рабочего потокосцепления Ψ δ и потокосцепления рассеяния Ψ d. С увеличением зазора δ потоко-

сцепление рассеяния увеличивается, а рабочее потокосцепление уменьшается.

Кроме того, если учесть падение напряжения на активном сопротивлении R, òî

а так как с увеличением зазора δ ток увеличивается, то суммарное потокосцепление Ψ Σ уменьшается. Однако это уменьшение, так же как и уменьшение рабочего потокосцепления (а соответственно и рабочего потока) значительно меньше, чем в такой же магнитной системе постоянного тока. По этой при- чине тяговые характеристики магнитной системы (например, зависимости электромагнитной силы от рабочего зазора) переменного тока более пологи, чем тяговые характеристики магнитных систем постоянного тока.

При расчете магнитной системы переменного тока кроме активных магнитных сопротивлений воздушных промежутков и магнитопровода необходимо учитывать потери в магнитопроводе из-за гистерезиса и вихревых токов, а также действие вторичных электропроводящих контуров (дополнительные замкнутые обмотки, короткозамкнутые витки, другие электропроводящие тела), пронизываемых потоком первичной обмотки магнитной системы. Потери определяют разные фазы магнитных потоков и МДС. Для учета этой особенности по аналогии с электрическими цепями используются комплексные значения магнитных сопротивлений. Значения магнитного потока, потокосцепления,

ãäå Zì – комплексное магнитное сопротивление, которое определяется как

Здесь R è Xì – соответственно активная и реак-

тивная составляющие Zì.

Åñëè Φ t = Φ m sin ω t, òî uì = Uìm sin(ω t + γ) , ãäå óãîë

называется углом потерь.

Согласно (1.166) комплексное магнитное сопро-

комплексное удельное магнитное сопротивление ма-

Для вычисления ρ ìX необходимо знать потери на вихревые токи и перемагничивание. Значения этих потерь приводятся в нормативных документах, технических условиях на материал или находятся рас- четным путем [19].

Значения ρ ìZ определяются по кривой намагни- чивания, снятой на переменном токе соответствую-

Для ряда материалов ρ ìR è ρ ìX можно найти по кривым зависимостей от магнитной индукции [5, 26]. При этом следует иметь в виду, что часто в техни- ческой литературе, в том числе в [5, 26] за комплексное удельное. . магнитное. . сопротивление вместо ρ ìZ = Hm ⁄ Bm = H ⁄ B принято отношение действующего значения напряженности магнитного. .поля к амплитуде магнитной индукции, т. е. H ⁄ Bm.

Магнитопроводы магнитных систем переменного тока выполняют в основном из кремнистых

электротехнических сталей, которые обладают малыми потерями на перемагничивание (мала коэрцитивная сила) и на вихревые токи (повышенное удельное электрическое сопротивление). В целях уменьшения потерь на вихревые токи магнитопроводы изготовляют шихтованными в виде набора электрически изолированных друг от друга пластин толщиной от 0,1 до 1 мм. Для снижения потерь в магнитной системе переменного тока используют также и другие материалы, например, магнитомягкие ферриты, аморфные сплавы.

Рассмотрим простейшую магнитную систему, представляющую собой тороидальный магнитопровод с равномерно намотанной на нем обмоткой (рис. 1.32,à). Полная (для электрической и магнитной цепей) векторная диаграмма такой системы дана на рис. 1.32,á, а схема ее магнитной цепи – на рис. 1.32,â. Обмотка имеет активное сопротивление R и подключена к источнику напряжения U переменного тока. Комплексные действующие зна- чения величин на диаграмме соответствуют эквивалентным синусоидам [29].

Вектор напряжения. U.e разложен на две состав-

ляющие:. активную UeR, .совпадающую по фазе с

током I, и реактивную. UeX., опережающую. . òîê íà

90°. В свою очередь UeR = IRï, à UeX = jIXýê. Значе- ние Rï определяется потерями в магнитопроводе

Pï (Rï = Pï ⁄ I 2), а эквивалентное реактивное сопротивление обмотки Xýê = ω Lýê, ãäå Lýê – ее эквивалентная индуктивность.

Используя векторную диаграмму рис. 1.32,á, определим выражения для Lýê è Rï. Значение ЭДС

– индуктивность обмотки без потерь в магнитопроводе и экранах.

В данном случае L0 = N 2 ⁄ Rì.ì. Согласно векторной диаграмме

E = Ue = UeX ⁄ cosγ = IXýê ⁄ cosγ = Iω Lýê ⁄ cosγ ,

ãäå γ = arctg(Xì.ì ⁄ Rì.ì).

Приравнивая два полученных выражения для

Обращаясь еще раз к векторной диаграмме, имеем E = Ue = UeR ⁄ sinγ = IRï ⁄ sinγ , что дает нам возможность определить