Лабораторный Практикум по Дискрмат2

Лабораторная работа № 4

ТОЖДЕСТВЕННАЯ ИСТИННОСТЬ И ЛОЖНОСТЬ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. СОВЕРШЕННЫЕ ФОРМЫ ФОРМУЛ

Цель работы

При помощи системы Maple построить характеристические полиномы для данных формул алгебры высказываний. Составить компьютерную программу, для вычисления таблиц истинности заданных формул алгебры высказываний, и проверить их тождественную истинность и ложность. При помощи таблиц истинности построить совершенные формы формул. Построить, при помощи системы Maple, характеристические полиномы для совершенных форм формул.

Краткая теория

Элементарной конъюнкцией называется любая конъюнкция переменных и их отрицаний. Например, x1 x2 x3 x4. Элементарной дизъюнкцией называется любая дизъюнкция переменных и их отрицаний. Каждая формула алгебры высказываний может быть представлена в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций, то есть, в конъюнктивной нормальной форме (КНФ). Также, каждая формула алгебры высказываний может быть представлена в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций,

то есть, в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ). Элементарные конъюнкции и дизъюнкции называются совершенными, если они содержат либо только саму переменную, либо только ее отрицание. Нормальные формы формул называются совершенными, если они содержат только совершенные элементарные дизъюнкции или конъюнкции, а элементарные дизъюнкции или конъюнкции содержат все переменные, которые входят в данную формулу. При этом элементарные дизъюнкции или конъюнкции могут входить лишь однократно. В отличие от КНФ и ДНФ любая формула алгебры высказываний может иметь только одну совершенную дизъюнктивную и только одну совершенную конъюнктивную нормальную форму. Формула алгебры высказываний называется тождественно истинной или тавтологией, если при любых значениях переменных, входящих в формулу, логические значения формулы будут только истинными. Формула алгебры высказываний называется тождественно ложной или противоречием, если при любых значениях переменных,

31

входящих в формулу, логические значения формулы будут только ложными. Формула алгебры высказываний не имеет СДНФ, если является противоречием и не имеет СКНФ, если является тавтологией. Формула называется выполнимой, если имеет хотя бы одно истинное значение и опровержимой, если имеет хотя бы одно ложное значение.

Порядок выполнения работы

1. При помощи системы Maple составить характеристические полиномы для данных формул, сравнить их и сделать выводы.

2. Составить компьютерную программу для вычисления таблиц истинности данных формул и найти логические значения данных формул.

3.Определить класс, к которому принадлежит каждая формула.

4.Построить совершенные нормальные формы для данных формул.

Образец выполнения заданий

При помощи системы Maple для данных формул алгебры высказываний построить характеристические полиномы. Составить компьютерную программу и, используя характеристические полиномы, построить таблицы истинности данных формул. Проверить тождественную истинность и ложность следующих формул алгебры высказываний. Построить совершенные формы данных формул, если они существуют, и для совершенных форм построить характеристические полиномы.

Решение. При помощи системы Maple составим характеристические полиномы для данных формул. Для этого, используя оператор подстановки subs, последовательно выполним логические операции согласно соответствующим им характеристическим полиномам:

>f 1:= subs(x = 1 x, y=1 x – y + 2*x*y, 1 x + x*y);

32

Применять оператор подстановки следует только в тех случаях, когда выполняемые операции подстановки не могут иметь различные интерпретации. В противном случае можно все подстановки выполнить путем введения новых обозначений для промежуточных выражений:

> f 4:= 1 x +x*y; f 5:= 1 – f 4 + f 4*z; f 6:= 1 – x +x*z;

> f 7:= 1 y +y*z; f 8:= f 6*f 7; f 9:= 1 – f 5 – f 8 + 2*f 5*f 8;

f 9:= 1 – (1 – x +xz)(1 y + yz) – x + xy – (1 x + xy)z + + 2(1 – x + xz)(1 – y +yz)(x – xy + (1 – x +xy)z)

>f 10:= 1 x + x*(1 y); f 11:= 1 – f 10 – x + 2*f 10*x;

> f 12:= 1 – x + xy; f 13:= 1 – f 11 – f 12 + 2*f 11*f 12;

>simplify( f 13);

2x 2x2y – 2x2 + 2x2y2 + 4x3y – 4x3 y2

>f 14:=1 – y + yz; f 15:= 1 – x – f 14 + 2*x*f 14;

>f 16:= y*(1 z); f 17:= 1 – x – f 16 + 2*x*f 16; f 18:= f 15*f 17;

Вычислим значения характеристических функций f 3, f 9, f 13, f 18:

f 3= (1, 1, 1, 1), f 9= (0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1), f 13= (0, 0, 0, 0), f 18= (0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0).

33

Согласно вычисленным значениям характеристических функций формулы в) и г) являются противоречиями, формула а) – тавтологией, а формула б) – выполнимой и в то же время опровержимой формулой.

Построим совершенные формы, например, для формулы б). Для построения совершенной дизъюнктивной нормальной формы для формулы б), согласно правилу построения совершенных форм, выберем единичные значения функции f 9 и составим соответствующие им элементарные конъюнкции:

( x y z ), ( x y z ), ( x y z ), ( x y z ), ( x y z ), ( x y z ).

Соединяя эти элементарные конъюнкции логической операцией дизъюнкция, получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму для а):

f9 = ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ).

Аналогично построим совершенную конъюнктивную нормальную форму:

f 9 = ( x y z ) ( x y z ).

Вопросы для самопроверки

1.Что называется дизъюнктивной и конъюнктивной нормальной формой формулы?

2.Определить совершенные нормальные формы.

3.Определить основные классы формул.

4.Какие формулы не имеют совершенные дизъюнктивные нормальные формы?

5.Какие формулы не имеют совершенные конъюнктивные нормальные формы?

Литература: [3], гл.1, с. 13–14; [2], часть 1, с. 7–38; [7], гл. 3, стр. 50–56. [12], гл. 1, стр. 4–34.

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1.

Вариант 2.

34

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

35

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

36

Лабораторная работа № 5

ЛОГИЧЕСКАЯ ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ ФОРМУЛ. ФУНКЦИЯ РИСКА И ЛОГИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

Цель работы

При помощи системы Maple построить характеристические полиномы для конъюнкции данных формул алгебры высказываний. Построить совершенную конъюнктивную нормальную форму для конъюнкции данных формул и составить список всех логических следствий из данных формул. Построить функцию риска или вероятности событий. При помощи функции риска оценить логическую вероятность событий для заданных условий.

37

Краткая теория

Формула H алгебры высказываний называется логическим следствием формул F1, F2,…,Fn , если при одновременной истинности всех формул F1, F2,…,Fn истинным будет также формула H. При этом

формулы F1, F2,…,Fn называются гипотезами или посылками следствия H. Понятие логического следствия является ключевым понятием, связывающим законы логики и их применение в правильных рассуждениях. Правильность логического следствия легко устанавливается при помощи таблиц истинности для формул. Есть и другие способы проверки логического следствия. Однако оказывается, что можно не только установить справедливость следствия, но и составить полный список неравносильных следствий из данных посылок. Для этого можно воспользоваться следующей теоремой:

Теорема. Формула H алгебры высказываний будет логическим следствием формул F1, F2,…,Fn тогда и только тогда, когда каждая элементарная дизъюнкция из СКНФ формулы H будет входить в СКНФ

конъюнкции посылок F1, F2,…,Fn.

Как следствие из этой теоремы, получим следующее правило составления полного списка неравносильных логических следствий из данных посылок: необходимо составить конъюнкцию данных посылок, построить совершенную конъюнктивную нормальную форму для этой конъюнкции. Тогда, согласно теореме, следствиями из данных посылок будут: каждая элементарная дизъюнкция из СКНФ конъюнкции посылок, взятые в отдельности, следствиями будут также взятые попарно, по три, по четыре и так далее.

Предположим, что пропозициональные переменные, которые входят в данные формулы, могут принимать не только два значения 0 (ложь) или 1 (истина), но и любые другие значения из замкнутого промежутка [0, 1]. Тогда гипотезы логического следствия и само логическое следствие будут принимать значения также из этого же промежутка [0, 1]. Гипотезы и логические следствия, при этом, будут приобретать вероятностный характер. Вероятность события или вероятность логического следствия,

можно вычислить при помощи характеристических полиномов для формул логического следствия и самого логического следствия. Такое применение логических законов позволяет оценивать риски и вероятности событий, анализировать риски и управлять ими.

Порядок выполнения работы

5. При помощи системы Maple составить характеристические полиномы для данных формул и проверить логические следствия.

38

6.Составить компьютерную программу для вычисления таблиц истинности данных формул и найти все логические следствия данных формул.

7.Построить функцию риска и определить вероятность следствия при заданных условиях.

8.Оценить вероятности всех следствий при заданных условиях и определить условия наибольшего риска события.

Образец выполнения заданий

При помощи системы Maple для данных формул алгебры высказываний построить характеристические полиномы и проверить

неравносильных логических следствий из данных гипотез F1, F2 (б).

Построить функцию риска для гипотез F1, F2, F3 задания (а) и вычислить вероятность события H для данных значений а = 0,3 и b = 0,7. При помощи

функции риска для гипотез F1, F2 задания (б) определить графически условие наибольшего риска для данных а = 0,5 и b = 0,8; вычислить логическую вероятность каждого из логических следствий из полного списка для заданных значений а = 0,45, b = 0,88 и c = 0,89.

Решение. При помощи системы Maple составим характеристические полиномы для данных формул. Для этого, последовательно выполним логические операции согласно соответствующим им характеристическим полиномам:

>f := x*y; f 1:= 1– f – x + 2*f *x; f 2:= 1– x – (1 – y) + 2*x*( 1– y);

>f 3:= 1– x; H:= x + y – x*y; f 4:= f 1* f 2 * f 3;

f 4:=(1 – xy – x + 2x2y)(–x + y + 2x(1– y))(1 – x)

H:= x + y – xy

Вычислим логические значения формул f 4 и H:

f 4 = (0, 1, 0, 0), H= (0, 1, 1, 1).

Согласно вычисленным значениям, все три гипотезы f1, f2, f 3 одновременно истинны только при x = 0 и y = 1. При этих значениях x и y

39

заключение H также истинно. Тогда, согласно определению следствия, формула H будет логическим следствием гипотез f 1, f 2, f 3.

Для того, чтобы составить полный список всех неравносильных логических следствий из данных гипотез F1, F2 (б), вычислим характеристический полином для конъюнкции этих гипотез и значения этого полинома:

> f 1:= x + y – x*y; f 2:= 1– f 1 – z + 2*f 1*z;

>f 3:= x*(1– y); f 4:= 1 – f 3 + f 3* z; f := f 2 * f 4;

f = (1– x – y + xy – z + 2(x + y – xy)z)(1– x(1 – y) + x(1– y)z).

Вычислим значения характеристического полинома f для конъюнкции гипотез F1, F2:

f = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1).

Построим элементарные дизъюнкции, соответствующие нулевым значениям функции f :

D1 a b c , D2 a b c , D3 a b c , D4 a b c .

Тогда, согласно сформулированной выше теореме, логическими следствиями будут следующие формулы, которые запишем в сокращенной форме:

Построим функцию риска для гипотез F1, F2, F3 задания (а) и вычислим вероятность события H для данных значений а = 0,3 и b = 0,7 (рис.1):

> f 4:=f 1*f 2* f 3;

>plot3d ((1– x*y – x+2*x^2*y)*(y – x +2*x*(1 – y))*(1– x), x = 0..1, y = 0..1);

40