Лабораторный Практикум по Дискрмат2

Образец выполнения заданий

1. Доказать равносильность данных формул логики предикатов

достаточно доказать ее тождественную истинность. Докажем от обратного. Предположим, что данная формула F не является тождественно истинной, а является опровержимой. То есть, существуют такие конкретные предикаты P и Q, при подстановке которых в формулу F эта формула становится ложным высказыванием. Тогда, по определению импликации,

Моргана для кванторов запишем формулу F2 в следующем виде:

F2 xP(x) xQ x xP(x) xQ x .

Тогда из ложности высказывания F2, по определению дизъюнкции,

противоречивые утверждения. Из противоречивости этих утверждений следует ложность предположения. Следовательно, данная формула тождественно истинная.

б). Для доказательства равносильности данной формулы нулю достаточно доказать ее тождественную ложность. Предположим обратное, что данная формула не является тождественно ложной, а является выполнимой. То есть, для некоторых конкретных предикатов P и Q данная формула будет истинным высказыванием. Тогда по определению

61

выполнимым предикатом, а P(x) Q xбудет опровержимым предикатом.

противоречит полученному ранее выводу о тождественной истинности этого предиката. Из противоречивости выводов следует ложность предположения. Следовательно, данная формула тождественно ложна.

в) По определению логического следствия, для любых конкретных предикатов P и Q в случаях истинности посылки заключение также должно быть истинным. Тогда следствие будет верным. Предположим обратное: пусть для некоторых P и Q посылка истинна, а заключение

выполнимым предикатом, что противоречит тождественной ложности отрицания предиката Q (x) P x . Таким образом, в обоих случая

получаем противоречивые утверждения. Следовательно, обратное предположение ложное, а истинно исходное утверждение. Вывод: данное логическое следствие верное.

Вопросы для самопроверки

1.Определите основные классы предикатов.

2.Определите основные классы формул логики предикатов.

3.Как связаны основные тавтологии алгебры высказываний и логики предикатов?

4.Перечислите основные свойства кванторных операций.

62

5. Определите понятие логического следствия формул логики предикатов.

Литература: [3], гл. 3, с. 56–74; [2], Часть 4, с. 68–80; [7], гл. 3, стр. 80–88. [12], §7, стр. 96–117.

63

64

65

66

Лабораторная работа 8

ЛОГИЧЕСКИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ. АКСИОМАТИЧЕСАЯ ТЕОРИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Цель работы

Доказать выводимость формул в исчислении высказываний из данных гипотез. Доказать теоремы исчисления высказываний.

Краткая теория

Логическая система исчисления высказываний – это аксиоматическое представление алгебры высказываний. Аксиоматическое построение теории предполагает вывод рассматриваемых в теории формул из конечного числа аксиом при помощи правил вывода. В качестве аксиом выбираются тождественно истинные формулы алгебры высказываний. Аксиоматический подход даѐт возможность построения логической системы без учѐта содержательной интерпретации рассматриваемых

формулами;

3)других формул нет.

Вкачестве аксиом выбираются следующие формулы:

где F, G, H – произвольные формулы.

Основным правилом вывода (ПВ) является правило заключения: из формулы F и формулы F G следует формула G.

Выводом формулы F из множества формул Г называется конечная

последовательность формул B1, B2, … , Bs = F, каждая из которых является либо аксиомой, либо формулой из множества Г, либо получена, из предыдущих формул этой последовательности, по правилу вывода. Элементы множества Г, при этом, называются гипотезами или посылками вывода, а формула F – выводимой из множества формул Г.

Обозначение выводимости: Г |= F.

Формула F называется доказуемой, если существует конечная последовательность формул B1, B2, … , Bs, где Bs = F, каждая из которых является либо аксиомой, либо формулой, полученной из предшествующих

67

формул этой последовательности, при помощи правила вывода. Формула F

в этом случае называется теоремой, а последовательность Bi – доказательством теоремы F. Обозначения для теорем: |= F.

Вывод формул и доказательство многих теорем значительно упрощается в результате применения основных теорем исчисления высказываний. Такими теоремами являются следующие теоремы.

Теорема 1. (О дедукции). Если из гипотез F1, F2, … , Fn выводится

формула G, то из гипотез F1, F2, …, Fn-1 выводима формула Fn G, то есть

F1, F2, … , Fn |= G => F1, F2, … , Fn-1 |= Fn G.

Теорема 2. Для любых формул F и G следующие формулы являются теоремами исчисления высказываний:

а) F F ; б) F F ; в) (F G) (G F ) .

Формулы а) и б) из теоремы 2 называются законами двойного отрицания, а формула в) – законом контрапозиции.

Порядок выполнения работы

1.Доказать выводимость следующих формул из данных гипотез.

2.Доказать, что следующие формулы являются теоремами исчисления высказываний.

3.Доказать следующие теоремы исчисления высказываний.

Образец выполнения заданий

При помощи теоремы дедукции а) доказать выводимость следующих формул из данных гипотез; б) при помощи законов двойного отрицания и теоремы дедукции доказать, что следующие формулы являются теоремами исчисления высказываний; в) при помощи закона контрапозиции и теоремы дедукции доказать следующие теоремы:

добавим новую гипотезу а и получим вывод формулы c. То есть построим последовательность формул, которая будет выводом формулы c:

68

4.a a – теорема (закон двойного отрицания);

5.a – из (3) и (4) по правилу вывода;

7.b c – из (2) и (6) по правилу вывода;

8.b – из (5) и (1) по правилу вывода;

9.b b – теорема (закон двойного отрицания);

10.b – из (8) и (9) по правилу вывода;

11.c – из (10) и (7) по правилу вывода;

12.c c – теорема (закон двойного отрицания);

13.c – из (11) и (12) по правилу вывода.

Таким образом, получили вывод формулы с, то есть, доказали выводимость

a b, c b , a |= c.

Применяя последовательно теорему о дедукции, получим:

теоремой исчисления высказываний.

Вопросы для самопроверки

1.Определите понятие аксиоматической системы исчисления высказываний.

2.Напишите аксиомы исчисления высказываний.

3.Каким образом можно из трех аксиом получить бесчисленное множество аксиом?

4.Какая формула называется выводимой в исчислении высказываний?

5.Какая формула называется доказуемой в исчислении высказываний?

6.Что называется доказательством?

7.Что называется теоремой в исчислении высказываний?

8.Как связаны теоремы исчисления высказываний и тавтологии алгебры высказываний?

Литература: [2], часть 4, с. 76–77; [7], гл. 6, стр. 217–246. [12], § 6, стр.

85–94.

70