FTF 2 semestr.MAVRODI / 14

Частные производные высших порядков

Рассмотрим функцию двух переменных n=2, . Предположим, что функция имеет частные производные

которые являются функциями двух переменных. Их называют частными производными первого порядка. Предположим, что они дифференцируемы.

Определение 1. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.

Две последние называют смешанными производными.

Если полученные функции являются дифференцируемыми, то частные производные от них называются частными производными третьего порядка. Например:

.

Определение 2. Частной производной n-го порядка называется частная производная от частной производной (n-1)-го порядка. Частных производных n-го порядка от функции двух переменных 2n штук.

Частная производная порядка р функции имеет вид

, где .

Теорема. Если частные производные первого порядка некоторой функции непрерывно дифференцируемы, то результаты смешанного дифференцирования равны.

.