FTF 2 semestr.MAVRODI / 13

Формула конечных приращений Лагранжа выражает связь между приращением любой непрерывной на отрезке [a; b] и дифференцируемой на интервале (а; b) функции y = f(x) и значением ее производной:

где 0< Θ < 1.

Производная по направлению. Градиент.

Рассматривается функция и единичный

вектор . Проводится прямая l через т.М0 с направляющим вектором

Определение 1. Производная функции u = u(x, y, z) по переменной t называется производной по направлению l

Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12).

Она обозначается и равна

Определение 2. Градиентом функции u(х1,х2,…,хn) называется вектор, координаты

которого равны частным производным функции u :

В нашем случае Таким образом, производная по направлению равна:

, где φ − угол между направляющим вектором прямой и градиентом функции в данной точке. Отсюда следует геометрический и физический

смысл градиента функции (необходимо помнить, что скорость изменения функции вдоль прямой l ):

1.Градиент ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня в данной точке.

2.Градиент направлен в сторону максимального роста (изменения) функции в т.М0 .

{Этот максимум достигается при φ = 0, т.е. при } 3. Величина наибольшей скорости роста функции равна .