FTF 2 semestr.MAVRODI / 36

кусочно гладкой кривой ГAB, лежащей в G. Вычислим интеграл

Pdx + Qdy. Этот интеграл можно

интерпретировать как работу силы при движении точки по кривой ГAB. Вообще говоря,

Pdx +

Pdx + Qdy = 0;

б)

Pdx + Qdy = 0 не зависит от ломаной

, соединяющей точки А и В;

в) поле (P(x,y),Q(x,y)) потенциально, т. е. существует такая

непрерывно дифференцируемая функция U(x,y) (потенциал поля), что

Р(х,у)dx + Q(x,у)dy = dU,

P(x, y) =

, Q(x, y) =

.

Доказательство проведем по круговой схеме: а)=>б)=>в)=>а).

1. Докажем, что а)=>б). Пусть выполнено условие а). Возьмем две произвольных точки, А и В, в

области G. Соединим их ломаной

. Пусть

— любая другая ломаная, соединяющая точки

А и В. Тогда L =

+

есть замкнутая ломаная. В силу условия а) имеем

0 =

Pdx + Qdy =

Pdx + Qdy +

Pdx + Qdy =

=

Pdx + Qdy -

Pdx + Qdy

Pdx + Qdy =

Pdx + Qdy.

т. е. интеграл

Pdx + Qdy не зависит от ломаной

, соединяющей точки А и В.

2) Докажем, что б)=>в). Пусть

Pdx + Qdy не зависит от ломаной

, соединяющей точки

А и В. Фиксируем точку А(х0,у0), а точку В(х,у) будем считать переменной. Тогда

Pdx +

Qdy зависит только от точки В, и, следовательно, в области G определена функция

U(x, y) =

Pdx + Qdy

=

=

=

=

=

Применяя при фиксированном у к непрерывной функции

интегральную теорему о

среднем, получаем

, где

Воспользовавшись непрерывностью функции Р(х,у) и переходя к пределу при

, получаем

Аналогично доказывается, что

.

Так как Р(х,у) и Q(x,y) — непрерывные в области G функции, то функция U(x,y)непрерывно

дифференцируема в области G.

2. Докажем, что в)=>а). Это следует из более общего утверждения: если

Р(х,у)dx + Q(x,у)dy = dU, то для любого кусочно гладкого контура

справедливо