FTF 2 semestr.MAVRODI / 4

Компа́ктное простра́нство — определённый тип пространств, включающий

Все пространства с конечным числом точек;

Все замкнутые и ограниченные подмножества евклидова пространства.

Термин компакт иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство».

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Свойства

Общие свойства:

Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.

Замкнутое подмножество компакта компактно.

Произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств компактно.

Свойства компактных метрических пространств:

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.

Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда,

когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они

удовлетворяют Теоремы Больцано — Вейерштрасса.

Примеры компактных множеств

замкнутые и ограниченные множества в

конечные подмножества пространств

Полнота евклидова пространства

Утверждение (покоординатная сходимость в ):

Пусть для любого выполняется . Из определения предела, для любого существует , для которого . Тогда для написанное выше неравенство выполняется для всех .

, следовательно, утверждение доказано по

определению предела.