FTF 1 semestr.MAVRODI / 31

Дифференциал (математика) — характеристика поведения функции в окрестности точки.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее

приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента

она имела в этой точке конечную производную.

Дифференциал — линейная часть приращения функции.

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM1|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в

точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

Физический смысл дифференциала.

Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то равен расстоянию, которое прошла бы точка за , если бы двигалась равномерно со скоростью,

равной мгновенной скорости момент ., то есть дифференциал по определению есть главная часть приращения функции .

,

где при .

Следовательно или

, где