FTF 1 semestr.MAVRODI / 39
.pdfКонечных приращений формула Лагранжа
Формула конечных приращений или еорема Лагранжа о ре нем значении утверждает, что если функция f непрерывна на
отрезке |
|
и дифференцируема в интервале |
, то найдётся такая точка c , что |
|
( ) |
( ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где с – некоторое число из интервала (а; b): a < c < b.
Геометрический смысл формулы Лагранжа таков: на дуге графика данной функции, соединяющей точки (а; f(a)) и (b; f(b)), найдется
точка (с;f(c)) (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги, – см. рис.
Часто формулу Лагранжа записывают в другой, эквивалентной форме:
где Θ – неизвестное число, зависящее, вообще говоря,
от х0 и от х и удовлетворяющее неравенствам 0< Θ < 1.
Формула Лагранжа для функции многих переменных выглядит так:
где 0< Θ < 1.
С помощью формулы Лагранжа можно доказать следующее ее обобщение – теорему Коши о среднем значении: если функции f и g непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (а; b), причем g’(x) ≠ 0 на (а; b), то на интервале (а; b) существует такая точка с, что