FTF 1 semestr.MAVRODI / 75
.pdf
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
Пусть
1.Функция 
определена на 
;
2.
интегрируема на 
.
Предел вида
называется несобственным интегралом первого рода. Если этот предел существует и конечен, то говорят,
что 
сходится или существует. Если это предел не существует или бесконечен, то говорят,
что 
расходится или не существует.
Аналогично,
,
.
Свойства.
1. Если существует 
, то 
существует 
. При этом
.
2. Если существует |
, то |
. |
3. Если существует |
, то существует |
. |
4. Если существуют 
и 
, то существует
.
Несобственные интегралы второго рода
Определение. Точка с называется особой точкой функции f(x), если 
или этот предел не существует. Ниже рассматривается лишь первый случай.
Пусть b есть особая точка функции f(x) и для любого 
эта функция интегрируема на отрезке 
. Тогда предел
называется несобственным интегралом второго рода. Если этот предел существует и конечен, то говорят,
что интеграл сходится или существует, если же этот предел равен бесконечности, то интеграл расходится,
или не существует.
Аналогично, если особой точкой является а, то несобственный интеграл второго рода определяется так
.
Наконец, если особая точка c удовлетворяет условию a<c<b, то интеграл определяется так
.
Заметьте, что 
и 
разные. Если взять их одинаковыми, то получающийся предел
называется главным значением несобственного интеграла второго рода.
6.5 Признаки существования несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций
В этом разделе всюду предполагается, что 
и 
.
Теорема 1. Если 
, то
1. если |
, то |
; |
2. если 
, то 
.
Теорема 2. Пусть b есть особая точка функции f(x). Если при x®b существует предел
,
то интегралы 
и 
сходятся или расходятся одновременно.