А.Ю.Лоскутов - Проблемы нелинейной динамики. I. Хаос

Ïðî ë ìû í ëèí éíîé èí ìèêè. I. Õ îñ

А. .Лоскуто

Фи ич ский ф культ т Моско ско о осу рст нно о уни рсит т им.М.В.Ломоносо

ÓÄÊ 517.9; 519.2; 531 Опу лико н В стник МГУ, с р.фи .- стр., 2001, No2, c.3 21.

Аннот ция

Р от пр ст ля т со ой п р ую ч сть о ор , пос ящ нно о н которым со р м-нным про л м м н лин йной ин мики: х отичности ин мич ских сист м и упр -л нию т кими сист м ми. В нной ч сти пр ст л ны осно ны с ния по т ории ифурк ций и ря р ульт то , относящихся к р итию х ос ин м- ич ских сист м х. И ло ны н которы ны с ойст х отич ских ин мич ских сист м, р ссмотр ны м то ы их опис ния и ны н которы поло ния эр о - ич ской т ории.

Ñî ð íè

2.3П р м мость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4Ð ðóø íè òîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1Пок т ли Ляпуно и энтропия ин мич ских сист м . . . . . . . . . . 16

3.2Х р кт ристики х отичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3Х отич ски ттр кторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

1Â íè

Го оря о т ком широко р спростр н нном я л нии к к х ос н стоящ р мя им юти у н только принципи льны и фун м нт льны опросы ст тистич ской фи ики, но и с о мо ны прило ния и конкр тны чи м х ники, строфи ики, фи - ики пл мы, оптики, иоло ии и т. . Поя л ни х отичности той или иной сист м н с я но с йст и м к ких-ли о приори случ йных сил. Приро х отич ско о по ния полностью т рминиро нных сист м кро тся с ойст прио р т ть при опр л нных н ч ниях п р м тро экспон нци льную н устойчи ость тр кторий. Фун м нт льно н ч ни иссл о ний этой о л сти состоит том, что они скры ют приро у случ йно о, ополняя ипот у мол кулярно о х ос ипот ой ин м- ич ской стох стичности.

Вп р ы н с я ь м у ст тистикой и н устойчи остью о р тил ним ни щ Анри Пу нк р [1]. В то р мя ст тистич ский по хо к опис нию сист м со мно ими ст п нями с о о ы ыл пр ло н Л.Больцм ном [2] . Он ы инул пр поло ни , что и ни ч стиц р ря нном сл у т р ссм три ть к к случ йно , и к -ой ч стиц оступн ся эн р тич ски р р ш нн я о л сть ф о о о простр нст . Т ко пр ст л ни о сист м х мно их ч стиц и стно к к эр о ич ск я ипот

[2, 3, 4], котор я ст л осно ой кл ссич ской ст тистич ской м х ники. О н ко стро - о о осно ни ол о р мя н н хо ило по т р ния. Н которо про и ни этом н пр л нии ыло ости нуто л о ря иссл о ниям П. р нф ст [5, 6] (см. т к [7, 8]), которы по оляли том числ уст но ить р мки прим нимости коно ст тистич ской м х ники. О н ко и стн я р от .Ф рми, Д .П ст и С.Ул м [9] ( ол по ро но см. [10, 11]), п р ы ыл пр принят попытк про рки эр о - ич ской ипот ы, но ь ы инул про л му о осно ния ст тистич ской фи ики н п р ый пл н.

Ч стично р ш ни этой про л мы мо но получить, опир ясь н р оты А.Пу нк р (см. [12]), которых он пок л, что окр стности н устойчи ых н по и ных точ ки ни им т чр ыч йно сло ный х р кт р. то я илось п р ым ук ни м н то, что н лин йны ин мич ски сист мы мо ут проя лять х отич ски с ойст . Впосл -ст ии Д.Бирк оф [13] пок л, что при р цион льном отнош нии ч стот (р он нс) с-

сущ ст уют устойчи ы и н устойчи ы н по и ны точки. Р он нсы ол ысоко о поря к посл о т льно и м няют тополо ию ф о ых тр кторий и при о ят к о р о нию ц пи остро о ф о ом простр нст . Т ория о мущ ний, к к ок лось, н описы т т ки р он нсы, поскольку р улярны р ш ния ли и них сильноо мущ ны, это л ч т поя л ни м лых н м н т л й и р схо имость ря о .

Глу око иссл о ни приро ы ст тистич ских коно ыло про но Н.С.Крыло ым [14]. Он пок л, что осно л ит с ойст о п р м ши ния и с я нн я с ним лок-льн я н устойчи ость почти с х тр кторий соот тст ующих ин мич ских сист м.

В этой с я и М.Борн [15] (см. т к [16]) ыск ы л пр поло ни о н пр ск-у мости по ния сист м кл ссич ской м х ники. По н ин мик сист м, ы-

2

нн я т ко о ро н устойчи остью, ст л н ы ться ин мич ской стох стичностью или т рминиро нным ( ин мич ским) х осом.

Фи ич ски осмысл нно поняти т рминиро нно о опис ния ключ тся том, что н ч льно состояни проц сс тся силу н и ных флюкту ций н которымроятностным р спр л ни м. З ч состоит том, что ы н осно нии и стно о н ч льно о р спр л ния пр ск ть о э олюцию. Если м лы о мущ ния н ч льно о усло ия с т ч ни м р м ни н н р ст ют (т. . им т м сто устойчи ость), то по - ни т кой сист мы я ля тся пр ск у мым. В проти ном случ проц сс мо т ыть опис н только роятностным о р ом. По-сущ ст у им нно эти соо р ния л ли осно у со р м нно о пр ст л ния о ин мич ском х ос .

Но ый эт п р итии поним ния х отичности и ро ния т рминиро нных сист м х о ник посл р от А.Н.Колмо оро и .Г.Син я [17, 18, 19], ля ин м- ич ских сист м ыло но поняти энтропии. ти р оты поло или н ч ло со нию т ории стох стич ских ин мич ских сист м.

Большую роль р итии т ории т рминиро нно о х ос сы р ли р но о ростр ктны м т м тич ски конструкции. Т к, С.См йл [20], что ы опро р нуть ипот у о плотности сист м тип Морс -См йл простр нст Cr- ифф оморфи мо , построил прим р ("по ко См йл "), пок ы ющий, что сли g ифф оморфи м плоскости, о л ющий тр нс рс льной омоклинич ской тр ктори й, то он ол н им ть ин ри нтно мно ст о тип по ко ы. В с ою оч р ь и сущ ст о ния по к- о ы ыт к т, что ото р ни g ол но им ть скон чно число к к п рио ич ских точ к р лично о п рио , т к и н сч тно число п рио ич ских тр кторий [20, 21]. Всл "по ко ой См йл "поя ились y-сист мы Аносо [22, 23], которы х р кт ри-уются н и ол ыр нными с ойст ми п р м ши ния. О о щ ния т ких сист м

ни " ксиомы А"См йл [21] (см. т к [24, 25, 26] и цитиру мую т м лит р туру) и ип р олич ских мно ст [21, 25, 26, 27], ы лило ный кл сс ин мич ских сист м, о л ющих с ойст ом экспон нци льной н устойчи ости тр кторий.

Прим рно то р мя ст ли поя ляться м т м тич ски р оты, н осно и уч ния ильяр ных сист м ыли пр приняты попытки о осно ния ст тистич ской м х ники [28, 29]. Бильяр ы п р ы поя ились к к упрощ нны мо ли, н которых мо но и уч ть ря ч ст тистич ской фи ики [13] (см. т к ссылки [30, 31]). Исполь уя т ки сист мы, п р ы ыл р ш н ч Н.С.Крыло о п р м ши ниисист м упру их ш рико [14]. Бол то о, ыло пок но, что сист мы, от ч ющиильяр м с р сс и ющими р ниц ми, им ют мно о о щ о с о ич скими поток-ми простр нст х отриц т льной кри и ны, т. . поток ми Аносо . Н мно о по

кл сс ильяр ных сист м, которы спосо ны проя лять х отич ски с ойст , ыл н чит льно р сшир н (см. [31, 32, 33] т к цитиро нную т м лит р туру). Опир ясь н о о щ - ни т ких сист м мо ифик цию ум рно о Лор нц , ыло ок но, что - и ни чисто т рминиро нных сист м х мо т ыть по о но роуно скому [30, 31]. тот р ульт т я ился п р ым стро им по т р ни м проя л ния х отичностиин мич скими (т. . к ко о-ли о случ йно о м х ни м ) сист м ми.

3

Д льн йши к к т ор тич ски т к и эксп рим нт льны иссл о ния н лин йных сист м пок ли, н сколько типичным и с о щим я л ни м ок ы тся х отич ско по ни сист м х с н ольшим числом ст п н й с о о ы. Ст ло оч и ным, что х отич ски с ойст мо ут проя лять с мы р ноо р ны н лин йны сист мы, исли х ос н о н ру и тся, то, о мо но лишь потому, что ли о он о ник т оч нь м лых о л стях п р м трич ско о простр нст , ли о при н фи ич ских н ч ниях п р м тро .

К к о ник т х отич ско и ни ? К лось ы, пут й о о никно нияол но ыть оч нь мно о. О н ко, ыяснилось, что число сц н ри проц сс х оти-ции со с м н лико. Бол то о, н которы и них по чиняются уни рс льным к- оном рностям, и н исят от приро ы сист мы. О ни и т пути р ития х о- с присущи с мым р ноо р ным о ъ кт м. Уни рс льно по ни н помин т о ычны ф о ы п р хо ы торо о ро , ни р норм руппо ых и ск йлин - о ых м то о , и стных ст тистич ской м х ник , откры т но ы п рсп кти ы и уч нии х отич ской ин мики.

Д нн я р от пр ст ля т со ой п р ую ч сть о ор , пос ящ нно о т ории х отич ских ин мич ских сист м и про л м упр л ния т кими сист м ми. Он состоит и ухл . П р я л со р ит осно ны с ния по т ории ифурк ций. Во торой л

и ло ны н которы ны с ойст х отич ских ин мич ских сист м, р ссмотр ны м то ы их опис ния и ны н которы поло ния эр о ич ской т ории.

2Бифурк ции и р ити х ос ин мич ских сист м х

Уст но л ни ин мич ской сист м х отич ско о по ния р ульт т той или иной посл о т льности ифурк ций принято н ы ть к ртиной èëè ñö í ðè ì р -ития х ос . В нной ч сти р ссм три ются н и ол типичны и т ких сц н ри .

2.1Î ùè ïîëî íèÿ

Пусть M м трич ско простр нст о с опр л нным р сстояни м м у точк ми и fT tg мно ст о о ноп р м трич ских пр о р о ний простр нст M ñ ÿ ò êî , ÷òî T t1+t2 = T t1 Æ T t2 = T t2 Æ T t1 ëÿ ëþ ûõ t1; t2. Òî T t; M è fT tg н ы ются ото р ни м с и , ф о ым простр нст ом и ин мич ской сист мой соот тст - нно. В м трич ской т ории ин мич ских сист м р ссм три тся т к простр нст о

ñ ì ðîé, т. . тройк fM; S; g, S - ë ð ïî ìíî ñò M è ì ð , îïð -ë íí ÿ ò ì èëè èíûì î ð îì í S. При этом м р н ы тся ин ри нтной м рой относит льно пр о р о ния T , ñëè (C) = (T 1C) ëÿ ëþ î î C 2 S. Êî

ftg èì ò èñêð òíûé ðÿ í ÷ íèé, t 2 Z, t k, òî fT kg í û òñÿ èí ìè÷ ñêîé ñèñò ìîé ñ èñêð òíûì ð ì í ì èëè îòî ð íè ì. И стным прим ром т кой сист мы я ля тся пр о р о ни инт р л I ñ ÿ: Ta : I ! I; I = [ ; ]; Ta = f(x; a),

a н который п р м тр и [ ; ] = M. То тр ктория ото р ния Tak îïð -

4

лится к к Tak = f Æ f Æ ::: Æ f ëÿ ê î î k. Â î ù ì ñëó÷ íè êîí ïð î ð -

î íèÿ Ta = f(x; a) îïð ëÿ ò тр кторию точки x è M по отнош нию к f ê ê

| {zk }

ïî ìíî ñò î fTakj k 2 Zg.

Êî ìíî ñò î ftg приним т н пр ры ный ря н ч ний, то пр о р о ни fT tg í û òñÿ èí ìè÷ ñêîé ñèñò ìîé ñ í ïð ðû íûì ð ì í ì èëè потоком. Â ýòîì

ñëó÷ ð ññì òðè òñÿ ïð î ð î íè T : R ! Diff(M); t 7!Tt. Поток T t : M ! M îïð ëÿ ò í M к с т льно кторно пол , т. . ля лю о о x 2 M ð íñò î

(dT t(x)=dt)jt=0= v(x; a) опр ля т к с т льный ктор v(x; a) 2 x(M) òî÷ê x 2 M, x(M) ê ñ ò ëüíî ê M простр нст о. Сл о т льно, ин мич ск я сист м с

н пр ры ным р м н м т сист му о ыкно нных ифф р нци льных ур н ний, которы мо но пис ть ол при ычном и к к

x = fx1; x2; :::; xng, v = fv1; v2; :::; vng, a 2 R, с н ч льными усло иями x(t0) x0. Äëÿ ò êîé ñèñò ìû éñò è îòî ð íèÿ ñ è T t êëþ÷ òñÿ òîì, ÷òî ëþ ÿ òî÷ê x0 2 M ïî éñò è ì T t пр о р у тся точку x(x0; t), котор я, оч и но, я ля тся р ш ни м сист мы (1). Т ким о р ом, T tx0 = x(x0; t).

В ным поняти м т ории иссип ти ных ин мич ских сист м я ля тся ттр ктор. В н стоящ р мя им тся н сколько опр л ний ттр ктор , которы , по- и имому, н с о ятся ру к ру у (о ор по этому опросу мо но н йти пу лик циях [34, 35, 36, 37]). Сл уя [37], у м опир ться опр л нии ттр ктор н поняти по лощ ющ й

ñòü B(A) í û òñÿ о л стью притя ния òòð êòîð A, сли он состоит и т к- их точ к, ч р которы прохо ят поло ит льны полутр ктории, стр мящи ся к A. Со л сно этому опр л нию, оч и но, устойчи ы поло ния р но сия, устойчи ы пр льны циклы и устойчи ы торы я ляются ттр ктор ми сист мы (1).

ироко и стным типом ифурк ции я ляются ифурк ции устойчи ых ст цион рных точ к (т. . поло ний устойчи о о р но сия ин мич ских сист м). Ср и них н и-ол р спростр н нн я ифурк ция Ан роно -Хопф (см., н прим р, [36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]), о ник ющ я при пот р устойчи ости ст цион рной точки тип фокус. Допустим, что пол v им т ст цион рную точку x0(a) ëÿ a = a0, ò. . v(x0(a0)) = 0. Îïð -ëèì îï ð òîð ëèí ðè öèè ê ê í ïð ðû íî îòî ð íè ê ñ ò ëüíî î ê M ïðî-

2

è dv(x0; a0) коор ин тно н исимо. От т н опрос о устойчи ости точки x0 ò

и стн я т ор м Ляпуно (см., н прим р, [37, 39, 42, 43]). Со л сно этой т ор м ,сли со окупность со ст нных н ч ний (сп ктр) # = f ig оп р тор dv(x0; a0) прин -л ит л ой полуплоскости, #(dv(x0; a0)) fz 2 Cj Rez < 0g, òî òî÷ê x0 ÿ ëÿ òñÿ

5

устойчи ой; сли сущ ст у т 2 #(dv(x0; a0)), ля которо о н й тся Re > 0, òî òî÷ê x0 н устойчи . Н кон ц, о мо но, что #(dv(x0; a0)) fz 2 Cj Rez 0g è ñóù ñò ó ò2 #(dv(x0; a0)) ñ Re = 0. Т к я ситу ция я ля тся н типичной, и устойчи ость точки x0 í îïð ëÿ òñÿ ïî ñï êòðó ñî ñò ííûõ í ÷ íèé îï ð òîð dv(x0; a0). В этом случ н о хо имо исполь о ть ополнит льны м то ы иссл о ния (см., н прим р, [43, 44, 45]).

Допустим, что ст цион рн я точк x0 ïîëÿ v устойчи ля a < a0 и н устойчи лян ч ния a > a0. Òî ïðè a = a0 н которы и со ст нных н ч ний f ig п р й утпр ую полуплоскость. В этом случ им т м сто ифурк ция пот ри устойчи о- сти точки x0, и осно ной опрос состоит иссл о нии по ния сист мы при a > a0. Бифурк ционн я т ор м Ан роно -Хопф ут р т, что сли компл к- сно сопря нных н нул ых со ст нных н ч ния ( ; ) у о л т оряют усло ию

Re (a) a<a0 < 0, Re (a) a=a0 = 0, Re (a) a>a0 > 0, [d(Re (a))=da] a=a0 > 0, îñò ëüí ÿ

ч сть сп ктр ост тся л ой полуплоскости, то происхо èò ðî íè ïð ëüíî î öèêë ñ ï ðèî îì 0 = 2 =j (a0)j и р иусом, р стущим к к pa a0. Вопрос о устойчи о- сти ро ющ ося при этом цикл р ш тся пут м опр л ния н к п р ой ляпуно-ской личины L1, проц ур ычисл ния которой ост точно сло н и по ро но опис н р от х [38, 39, 46]. Если L1 < 0, то цикл устойчи . Если L1 > 0, то ро -ющийся цикл я ля тся н устойчи ым. В случ , ко L1 = 0, то при ыполн нии усло ия [d(Re (a))=da] a=a0 > 0 им т м сто лок льн я инст нность ро ющ о- ся цикл , устойчи ость которо о опр ля тся н ком торой ляпуно ской личины L2 [37, 38, 46]. Åñëè Li = 0; i = 1; 2; :::, òî ïðè a = a0 сущ ст у т с м йст о н и-олиро нных цикло [38, 47].

С фи ич ской точки р ния инт р с пр ст ляют лишь устойчи ы пр льны циклы, поскольку н устойчи ы циклы о ычно н н лю мы. Поэтому у м пол-

ть, что р ульт т ифурк ции Ан роно -Хопф ро ился устойчи ый пр льный цикл. Бифурк ции ф о ых портр то ин мич ских сист м окр стности устойчи о о цикл полностью описы ются ифурк циями соот тст ующ о пр о р о ния моно ромии ото р ния тр нс рс льной циклу площ ки с я. Т ко пр о р о ни ч сто н ы ют ото р ни м Пу нк р . Для о постро ния р ссмотрим устойчи ый цикл(a) поток , поро мо о кторным пол м v(x; a). Вы р м точку x0 2 (a) и н к- оторую тр нс рс льную с кущую S, прохо ящую ч р x0. Îòî ð íè Ïó íê ð Pa п р о ит лю ую точку x и м лой окр стности точки x0 2 S ту точку, поток

Tat ï ð ñ ê ò S. Öèêë (a) поток Tat я ля тся устойчи ым, сли #(dPa(x0)) fz 2 Cj jzj < 1g и н устойчи ым, сли н й тся 2 #(dPa(x0)) ò êî , ÷òî j j > 1. Ñò ëî ûòü,

посл ующ я э олюция ин мич ской сист мы опр ля тся х р кт ром со ст нныхн ч ний (мультиплик торо ) пр о р о ния dPa цикл с я. З сь о мо ны три осно ных случ я, ко н иничную окру ность ыхо ят ли о о ин мультиплик тор, р ный +1 èëè 1, ли о компл ксно сопря нных мультиплик тор . В п р ом случ ото р нии им т м сто ро ни или исч но ни п ры н по и ных точ к, устойчи ой и с ло ой, что простр нст M ñîîò òñò ó ò ïîÿ ë íèþ èëè

6

исч но нию устойчи о о и с ло о о пр льных цикло . С ифурк ци й ро н- ия (исч но ния) пр льно о цикл с мультиплик тором +1 с я но ро ни х ос ч р п р м мость (см. ни ).

При поя л нии мультиплик тор , р но о 1, р ли уются к ч ст нно р -личных случ я. Если п р он ч льно р ницу о л сти притя ния исхо но о цик- л п рио 0 õî èë ñ ëî îé öèêë ïðè ëè èò ëüíî ó î ííî î ï ðèî 2 0, то с прохо ни м мультиплик тор ч р 1 эти циклы сли ются. При этом р ссм тр- и мой о л сти н ост тся устойчи ых тр кторий, исхо ный цикл ст но ится с -ло ым. В ото р нии dPa этот проц сс ы ля ит к к слияни устойчи ой и ух с ло ых точ к о ну с ло ую. В ру ом случ от т ряющ о устойчи ость цикл п рио 0 îò ò ëÿ òñÿ öèêë ïðè ëè èò ëüíî ó î ííî î ï ðèî , 1 = 2 0, который я ля тся устойчи ым. Д льн йш у лич ни упр ляющ о п р м тр мо т при сти к ситу ции, ко н кон чном инт р л и м н ния п р м тр прои ой т скон чно число ифурк ций у о ния п рио устойчи о о пр льно о цикл . тот к ск ифурк-ций им т м сто типичном с м йст , и при о ит сист му от устойчи о о п рио - ич ско о р им к х осу (см. ни ).

Допустим, что при a = a1 иничную окру ность п р с к ют компл ксносопря нных мультиплик тор ото р ния dPa, ïðè÷ ì dj (a)j=da a=a1 > 0, îñò ëüí ÿ ÷ ñòü ñï êòð #(dPa) ост тся нутри иничной окру ности. То при a > a1 îòî ð íèè dPa и т ряющ й устойчи ость н по и ной точки ро тся ин ри нтн я

относит льно ото р ния окру ность. Т м с мым исхо ной сист м ро тся ин ри нтный тор с плотной о моткой. При и м н нии п р м тр , оо щ о оря, число р щ ния н тор м ня тся, он испыты т р он нсы, что при о ит к поя л нию и исч но нию

скон чном колич ст пр льных цикло , р споло нных н тор . С льн йшим ростом п р м тр тор т ря т л кость и мо т пр р титься стр нный ттр ктор, соот тст ующий х отич скому по нию ин мич ской сист мы.

Т ким о р ом, ифурк ции т ко о ост точно просто о о ъ кт к к пр -льный цикл при о ят к ро нию н три и льных мно ст (н прим р, ин ри нтных торо , состоящих и скон чно о мно ст тр кторий). При и м н нии упр ляющ о п р м тр иссл о ни о мо ных ифурк ций т ких мно ст сильно р т ля тся (см. о этом [37]). О н ко н с инт р суют, осно ном, ифурк ции, при о ящи к о н- икно нию õ îòè÷ ñêî î ïî íèÿ èí ìè÷ ñêèõ ñèñò ì.

2.2Ó î íè ï ðèî

Пр с о, ост но имся н ифурк ции у о ния п рио [36, 37, 41, 48, 49, 50]. тифурк ция им т м сто при прохо нии мультиплик тор (a0) öèêë (a0) ï ðèî0 ÷ ð 1: ñ îñòè íè ì í ÷ íèÿ a = a1 öèêë (a0) ст но ится н устойчи ым, и от н о от т ля тся но о устойчи о п рио ич ско р ш ни 0(a1) ï ðèî 1 = 2 0. Ñëüí éøèì ó ëè÷ íè ì ï ð ì òð , a > a1, í ÷ íè 0(a) ì íÿ òñÿ, íî ïðè a = a2 мультиплик тор 0(a2) = 1 è ïîÿ ëÿ òñÿ öèêë ï ðèî 2 = 2 1 = 4 0. И т к л . Посл о т льность ифурк ционных н ч ний у о л т оря т м сшт ному соотнош -

7

íèþ an = a1 const Æ m ( Æ = 4; 6692016091::: п р я постоянн я Ф й н-

óì ) è èì ò ïð ë lim am = a1. При этом ифурцирующи циклы схо ятся к

m!1

н которому ин ри нтному мно ст у ( ттр ктору Ф й н ум ), структур которо о я ля тся к нторо ской и н исит от р ссм три мо о с м йст ур н ний. При

ï ð õî ÷ ð ïð ëüíî í ÷ íè , a > a1, лю ой полуокр стности это о п р м-трич ско о инт р л им ются н ч ния п р м тр a, ля которых сущ ст у т с- олютно н пр ры н я ин ри нтн я м р , т. . ин мик сист мы я ля тся х отич ской.

Уни рс льность ифурк ций у о ния п рио о ъясня тся при помощи р норм-руппо о о по хо [51, 52, 53]. Р ссмотрим ч тно унимо льно ото р ни инт р л I ñ ÿ, îïð ëÿ ìî ñ ì éñò îì f(a; x). Допустим, что и п он и м н ния п р м-

симптотич ски ы ля ит т к , к к и р фик ля f(2k)(x; a~k+1) ïðè k ! 1 ïîñë ñîîò òñò óþù î ì ñøò íî î ïð î ð î íèÿ. Ô êòè÷ ñêè, î í êî, ñî ï þò ö ëû ñ ì éñò : f(2k 1)(x; a) a~n a a~n+1 è f(2k)(x; a) a~n+1 a a~n+2.

Т ким о р ом, посл о т льно у и я с м йст о ото р ний и прои о я м сшт ны пр о р о ния, получим пр л с м йст о ото р ний, ин ри нтно относит льно прои нных оп р ций и н исящ от ы ор н ч льно о ото р ния. то ун- и рс льно ото р ни мо т ыть опр л но ч р пр о р о ни у о ния T . Пусть x = 0 точк м ксимум f. Î î í ÷èì ê ê = (f) = f(0)=f(f(0)). Òî

èíò ð ë [ 1; 1] ïî éñò è ì T ï ð é ò [f( 1); f(0)]. Â ñ îþ î÷ ð ü, ýòîò èíò ð ë îòî ð èòñÿ í èíò ð ë [f(f(0)); f(f( 1))]. Пусть > 0; f(f( 1)) < 1; 1 <

f( 1); f(0) > 0. Â ýòîì ñëó÷ [f(f(0)); f(f( 1))] [ 1; 1], è [f( 1); f(0)] T[ 1; 1] =

;. Т ким о р ом, функция h(x) = f(f( 1x)) у т но ь функци й, котор я поро -

т унимо льно ото р ни инт р л I ñ ÿ. Ïð î ð î íè ó î íèÿ T опр -ля тся сл ующим о р ом: (T f)(x) = f(f( 1x)); = f(0)=f(f(0)). Оно им-т н по и ную точку g(x), è ñï êòð ëèí ðè î ííî î ïð î ð î íèÿ ýòîé òî÷ê , DT (g), л ит нутри инично о кру исключ ни м о но о со ст нно о н ч ния, р но о п р ой постоянной Ф й н ум Æ.

Р ссмотрим мно ст о U, состоящ и ч тных унимо льных ото р ний инт р л .

Допустим, что f0(0) = 0; f(0) = 1; f(1) = < 0; b = f( ) > ; f(b) = f2( ) < .

Пусть H о о н ч т н хо о простр нст о ч тных функций f(z), H0 о по простр нст о, состоящ и функций f, у о л т оряющих соотнош ниям f(0) = f0(0) = 0; H1 = H0 + 1. То мо но пок ть [52, 53, 54], что сущ ст у т ч тн я н литич ск-

я функция g(x), ïð ñò èì ÿ ê ê g(x) = 1 1; 52763x2 + 0; 104815x4 0:0267057x6 +

::: и ин ри нтн я относит льно пр о р о ния у о ния T . Ïðè ýòîì = (g) = 2; 5029078750::: тор я уни рс льн я постоянн я Ф й н ум . Бол то о, сущ ст у т окр стность Vg точки g простр нст H1 ò ê ÿ, ÷òî ïð î ð î íè ó î íèÿ T îòî ð -

8

ò Vg H1. Ëèí ðè î ííî ïð î ð î íè ó î íèÿ, DT (g), им т р стя и ющ -ся о ном рно по простр нст о и с им ющ ся по простр нст о кор м рности 1. В р стя и ющ мся по простр нст со ст нно н ч ни оп р тор DT (g) ð íî Æ.тими с ойст ми о ъясня тся уни рс льность у о ния.

Большо число эксп рим нт льных и числ нных иссл о ний (см., н прим р, [55, 56, 57, 58, 59, 60] и цитиро нную т м лит р туру) пок ли, что уни рс льны с о- йст ифурк ций у о ния стр ч ются ин мич ских сист м х, н им ющих с я и с ото р ниями инт р л . тот ф кт ук ы т н то, что мно ом рны ото р ния устро ны т к, что по о ному н пр л нию они к ч ст нно описы ются с м йст ом опр л нных о ном рных ото р ний, по ост льным н пр л ниям им т м сто сильно с ти . Точн я формулиро к опис нно о с ойст н р от х [52, 61].

Уни рс льность мо но пр ст ить и иным спосо ом [62, 63, 64], исполь уя поняти сп ктр льной плотности. Т кой по хо я ля тся н столь стр ктным, и мо т ыть по т р н эксп рим нт льно. О о н чим цикл п рио m+1 = 2m+1 1 ê ê ym+1(t),

t ð ìÿ, ûð ííî ò ðìèí õ èñõî íî î öèêë y1(t) ï ðèî 1, t= 1 = 1; 2; :::; 2m+1. Öèêë ym+1(t) îò ò ëÿ òñÿ îò öèêë ym(t) р ульт т ифурк ции у о ния, ко

m = 2m 1 = m+1=2. Р ссмотрим ск йлин о ую функцию [65], опр ляющую лок-льно и м н ни м сшт (ск йлин ) ли и m- î öèêë ïðè ê îì ó î íèè ï ð- èî :

 ð óëüò ò (m + 1)-ой ифурк ции т ком сп ктр ополн ни к ч стот м поя и шимся к m-ой ифурк ции, н ч стот х k!m=2; k = 1; 3; 5; :::

но ых су рмоник. Пр ст им цикл ym+1(t) сл ующим о р ом: ym+1(t) = (1=2)[ m+1(t) + m+1(t)], m+1(t) îïð ëÿ òñÿ è (2). Òî m+1(t) = ym+1(t) + ym+1(t + m). Î÷ è íî, m+1(t + m) = m+1(t). Сп ктр льно р ло ни функцииm+1(t) у т со р ть только ч стоты l!m, поскольку

9

В то р мя, мплиту кол ний с ч стот ми l!m îñò í òñÿ òîé , ò ê ê ê

В проти ополо ность функции m+1(t), сп ктр льн я плотность функции m+1(t)

К к и стно [65], при ольших m м сшт н я функция m(t) хорошо при ли тся соотнош ни м

Т ким о р ом, инт нси ность но ых сп ктр льных су рмоник, поя ляющихся р -ульт т ифурк ции у о ния, с постоянно число р м ньш , ч м инт нси - ность су рмоник, о никших пр ы ущую ифурк цию, и н исит от ном рифурк ции. Если сист м им тся н шний шум, то, что ы сл ующ я ифурк ция у о ния ыл н лю м , о исп рсия, по оц нк м, нным р от х [66, 67, 68],ол н ыть 6,619... р м ньш , ч м мплиту су рмоник.

10