А.Ю.Лоскутов - Проблемы нелинейной динамики. I. Хаос

, ÷òî = T

t 0

Т ким о р ом, ип р олич ский ттр ктор мкнуто притя и ющ мно ст о, ин ри нтно относит льно ин мич ской сист мы fT tg.

Гип р олич ский ттр ктор х р кт ри у тся т м с ойст ом, что он я ля тся структурно устойчи ым мно ст ом. Сист мы с ип р олич ским ттр ктором им ют н - и ол ыр нны х отич ски с ойст . М лы о мущ ния т ких сист м н мо ут при сти к к ч ст нным п р стройк м к к с мо о ттр ктор т к и по ния сист м ц лом. Дин мич ски сист мы с ип р олич ским типом ттр ктор я ляются мо лями структурно устойчи ых сист м со стро о х отич скими с ойст ми [35, 117]. О н кон стоящ р мя ип р олич ских ттр кторо постро но н мно о. то и стный сол нои См йл -Вильямс (см., н прим р, [21, 25, 26, 31, 35, 42, 55], ттр ктор Ло и [35, 51, 143, 148, 149, 150], ттр ктор Плыкин [25, 35, 36, 147, 151] и ттр ктор Б лых [143, 152, 153].

Àòòð êòîð A ÿ ëÿ òñÿ ñòîõ ñòè÷ ñêèì, сли ля лю ой солютно н пр ры ной ин ри нтной м ры U ñì ù íè t(C) = (T tC) ïðè t ! 1 схо ится (сл о) к пр льной ин ри нтной м р , котор я н исит от , и ин мич ск я сист м (A; ; fT tg) о л т с ойст ом п р м ши ния [117, 143, 145]. Стох стич ский ттр к- тор я ля тся м т м тич ским о р ом н лю мо о р ито о х отич ско о по н- ия фи ич ской сист мы. И стный прим р стох стич ско о ттр ктор ттр ктор Лор нц при b = 8=3; = 10; r = 28 [153, 154, 155]. М лы о мущ ния сист м со стох стич ским ттр ктором мо ут при о ить к мо ифик циям т ко о ттр ктор , ното р мя ин мик сист мы у т ост ться х отич ской. Всяко ип р олич ско

пр льно мно ст о я ля тся стох стич ским ттр ктором. В то р мя стох стич ск- и ттр кторы н о я т льно я ляются стр нными (см. [34, 35, 37, 143, 153]).

По ляющ ольшинст о ттр кторо х отич ских ин мич ских сист м прин -л т к к истох стич скому типу (т. . я ляются к и ттр ктор ми) [156, 157]. К -истох стич ски ттр кторы со р т с помимо с ло ых пр льных циклощ и устойчи ы пр льны циклы, п рио которых ост точно лик, о л сть притя ния м л . Сл ы о мущ ния сист м с к истох стич ским ттр ктором -ут к сло ным к ч ст нным п р стройк м к к ин мик сист мы, т к и структур с мо о ттр ктор . По этой причин ля ольшинст сист м их о л сти х отичностис со р т ост точно м лы по о л сти с р улярной (п рио ич ской) ин м- икой. В прило ниях, о н ко, это о стоят льст о н и р т сущ ст нную роль, поскольку устойчи ы пр льны циклы, со р щи ся к истох стич ском ттр ктор н ыя ляются числ нно. Дин мик сист мы с к истох стич ским ттр ктором т к-

ы ля ит х отич ской. Н прим р, н литич ски р ульт ты т ории ифурк ций пок ы ют, что сист м Лор нц с п р м тр ми, скон чно ли кими к н ч ниям b = 8=3; = 10; 2; r = 30; 2, сущ ст уют устойчи ы пр льны циклы [158, 159]. Но ник ки числ нны м то ы о н стоящ о р м ни н ыя или эти циклы.

П р лл льно с и уч ни м осо нност й и типо ттр кторо х отич ски с ойстин мич ских сист м мо но иссл о ть поср ст ом н ли ф о ых тр кторий. В

21

a) T я ля тся тополо ич ски тр н ити ным н ;) циклы ото р ния T я ляются плотными ;

) T им т чу ст ит льную исимость от н ч льных усло ий.

Т ким о р ом, х отич ско ото р ни ол но о л ть тр мя ными с ойст ми: н пр ск у мостью, н р ло имостью и эл м нтом р улярности. О н ко н т к ноыло о н ру но [163], что нном опр л нии х отичности усло и чу ст ит льной

исимости от н ч льных усло ий я ля тся и ыточным. Иными сло ми, сли ото р -ни T : ! н пр ры но и тр н ити но, циклы плотны , то T о л т сущ ст нной исимостью от н ч льных усло ий.

Н мно о по ыло пок но [164], что опр л нии х отичности ни тр н ити ность ни плотность цикло н сл уют и ост шихся ух усло ий. Бол то о, тр н ити - ность и чу ст ит льн я исимость устойчи ы по отнош нию к мык нию, т к при о р нич нии н плотны ин ри нтны по мно ст [165]. Т ким о р ом, по-и имому, ото р ни , нно н комп ктном мно ст , мо т ыть опр л но к к х отич ско , сли оно о л т чу ст ит льной исимостью от н ч льных усло - ий и им т плотны циклы.

С ру ой стороны, о ном рны ин мич ски сист мы проя ляют х отич скую ин м- ику, сли о л ют с ойст ом п р м ши ния. Д им стро о опр л ни . Мно ст он ы тся ï ð ì øè þùèì ìíî ñò îì, сли ля открыто о по мно ст U

тип н ы тся п р м ши ющим. Бол точно, мно ст о н ы тся ï ð ì ø-

С ойст о п р м ши ния н опр л нном притя и ющ м мно ст им т сл -

ст и м тополо ич скую тр н ити ность. В с ою оч р ь, тополо ич ск я тр н ити - ность эк и л нтн тому ф кту, что им тся сю у плотн я тр ктория. Бол то о, им т м сто сл ующ ут р ни [93]: сли f 2 C0(I; I) è I инт р л, то п р м ш- и ющий ттр ктор состоит и н скольких по ынт р ло , которы циклич ски ото р -ются ру ру , и п рио ич ски точки плотны н н м.

Р ссмотрим ото р ни инт р л I î ù é ôîðì : Ta : I ! I, I = [ ; ]

a упр ляющий п р м тр. Ото р ни T èíò ð ë [ ; ] î ë ò õ îòè÷ ñêèì ïî íè ì (èëè х отич ской ин микой), сли оно им т солютно н пр ры ную

ин ри нтную м ру , по отнош нию к которой - л р V T t(S) состоит и кон чно о числ томо , S - ë ð îð ë ñêèõ ïî ìíî ñòt èíò ð ë [ ; ] è T t(S)

- ë ð ïî ìíî ñò , èì þùèõ è T tC, C 2 S [51, 52].

Ост но имся н мно о по ро н н этом опр л нии [52]. К к и стно, эн оморфи м

T простр нст M ñ ÿ í û òñÿ точным, ñëè T Mn = S0, S0 - ë ð ïî ì-

n

23

íî ñò M которы им ют м ру 0 èëè 1. Допустим, что при нном опр л нии

íè ïðè a = 4, T : x 7!4x(1 x). òî îòî ð íè èì ò èí ðè íтную м ру, котор я н пр ры н по отнош нию к м р Л , (dx) = dx= qx(1 x) . Î í êî

о щ м случ ин ри нтную м ру я ном и н йти н у тся, и постро ни ля прои ольных ин мич ских сист м я ля тся ост точно сло ной ч й.

 ò îðèè î íîì ðíûõ îòî ð íèé íóþ ðîëü è ð ò ïðîè î í ÿ ðö Sf функции f: Sf = f000=f0 3(f00=f0)2=2. В ч стности, унимо льно ото р ни Ta ñ óñëî è ì Sf < 0 мо т им ть н ол ч м о ин устойчи ый цикл [166]. Бол то о, ото р ни с отриц т льной прои о ной рц им т солютно н пр ры - ную ин ри нтную м ру, сли ор ит о критич ской точки xc ïîï ò í îòò ëê-

и ющ к нторо о мно ст о или ко ор ит этой точки, н чин я с н которой ит р ции, со п т с н устойчи ым циклом кон чно о п рио . Бол точно [167, 168], пусть ото р ни (20) я ля тся унимо льным ото р ни м инт р л I с я, функция f им т отриц т льную прои о ную рц . Пр поло им, что

TalTamxc = Tamxc ;

(21)

Ta0Tamxc Ta0 Tam+1xc : : : Ta0 Tam+l+1xc > 1 ;

Ta0(xc) = 0 è m; l > 0 н которы ц лы числ . То н инт р л I сущ ст у т с- олютно н пр ры н я ин ри нтн я м р . тот р ульт т и ст н к к ò îð ì Î í -

Мисюр ич .

Н о хо имо отм тить, что сли унимо льно ото р ни с х отич ским по н- и м им т отриц т льную прои о ную рц , то оно í ìî ò èì òü устойчи ых цикло .

Î î í ÷èì ìíî ñò î ï ð ì òðè÷ ñêèõ í ÷ íèé a, соот тст ующих х отич скому по нию ото р ния Ta, ÷ ð Ac. Для н которых с м йст ото р ний, опр л - нных н инт р л , м р т ких п р м трич ских н ч ний поло ит льн (см. [51, 52, 169, 170, 171]). В ч стности, ыл получ н м ч т льный р ульт т о том что мно ст о

í ÷ íèé ï ð ì òð a, ля которых к р тично ото р ни Ta : x 7!ax(1 x) им-т поло ит льный пок т ль Ляпуно , о л т поло ит льной м рой Л (см.

[169, 170, 171]). Сл ст и м и это о ут р ния я ля тся н я т ор м ко с- он [172]: Пусть F î íîì ðíî îòî ð íè , ëè êî C3 íîðì ê îòî ð íèþ

x 7!x(1 x) è a0 í ÷ íè ï ð ì òð a ò êî , ÷òî a0F (xc) = 1. Òî ì ð ìíî ñò Ac = fa 2 (0; a0] j Fa : x 7!aF (x) им т солютно н пр ры ную ин ри нтную м ру},

ÿ ëÿ òñÿ поло ит льной.

24

Отм тим щ о ин лу окий р ульт т [173], к с ющийся о ном рно о ото р ния (20), поро мо о к р тичной функци й f(x; a) = ax(1 x), a 2 (0; 4] A. Äîë îð ìÿ ñóù ñò î ë èïîò , ÷òî í ÷ íèÿ ï ð ì òð a, соот тст ующи устойчи ому п рио ич скому по нию т ко о ото р ния, сю у плотны о л сти A. ×èñë ííû èññë î íèÿ ïîê ëè, ÷òî ñ ó ëè÷ íè ì a оля т х о н ч ний, которы от ч ют х отич ской ин мик , у личи тся. В р от [173] ыло ок но, что сли к -р тичных ото р ния я ляются тополо ич ски сопря нными, то они я ляются и к исимм трично сопря нными. То и о щ й т ории о ном рных ото р ний (см. [169]) мо но с л ть ключ ни , что мно ст о п р м трич ских н ч ний, ля которых ото р ни им т о ну и ту н п рио ич скую ни ин -посл о т льность, им т только о ин эл м нт. то о н ч т, ч стности, что мно ст о н ч ний п р м-тр , ля которо о соот тст ующ ото р ни о л т устойчи ым циклом, я ля тся открытым и плотным.

О ним и прост йших кл ссо ото р ний с сильными ст тистич скими с ойст ми я ляются р стя и ющи ото р ния.

Пусть f н котор я функция н R1, о л ющ я сл ующими с ойст ми: (a) f 2 C1+ ëÿ > 0; ( ) f0(x) 0 > 1; ( ) f(x + 1) = f(x) + r ля н которо о ц ло о r; ( ) f(0) = 0. Òî îòî ð íè T : x 7!f(x) я ля тся точным эн оморфи мом, им т ин ри нтную м ру , эк и л нтную м р Л , и энтропия h(T ) = R ln f0(x)d (x).

ти с ойст р стя и ющих ото р ний ыли опис ны р от х [174, 175, 176]. По ол о щи р ульт ты о с ойст х ин ри нтных м р н с им ющих ото р -ний (но н о я т льно о ном рных) ыли получ ны р от [177], которы , с ою оч р ь, ыли о о щ ны н широкий кл сс кусочно-монотонных р стя и ющих пр о р -о ний, ключ ющих ост точно популярный прим р x 7! x (mod 1) с ирр цион льным> 1 [178].

4З ключит льны м ч ния

В нном о ор н ост точно стро ом уро н опис ны осно ны поло ния со р м - нной т ории х отич ских ин мич ских сист м. Н о хо имо отм тить, что иссл о н- и х отич ских кол ний н стоящ р мя сильно р т илось. Поя ились но ы н пр л ния, с я нны с т ори й ин ри нтной м ры [25, 27, 111, 120, 143, 145, 169],

и уч ни м омоклинич ских структур [36, 37, 94, 95, 96, 98, 99, 106], с ойст ом ип р оличности [25, 26, 31, 94, 95, 111, 144], т ори й пок т л й Ляпуно [43, 110, 111, 113, 125, 136, 137] и ру ими х р кт ристик ми (см., н прим р, [24, 25, 27, 31, 36, 51, 93, 103, 105, 109, 118, 127, 162, 169, 179, 180] и при нную т м лит р туру). Поэтому колич ст о р отэтой о л сти пр ктич ски н о ъятно. Т к, и лио р фия по ин мич ским сист м м [181] ключ т ол 4400 пу лик ций, по х отич ским кол ниям [182] около 7000 (!). Кром то о, нушит льны списки лит р туры по пр ктич ски с м со р м - нным н пр л ниям н лин йной ин мики и прило ниям со р ны моно р фиях [25, 27, 31, 36, 42, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 64, 84, 111, 112].

25

П р хо к х отич ским кол ниям ин мич ских сист м х осущ ст ля тся ч р посл о т льность к ч ст нных п р стро к их по нии. Осно ны типы т ких п р стро к при пл ном и м н нии п р м тро сист мы и м то ы их опис ния при помощи р норм руппо о о н ли сост ля т с мостоят льный р л н лин йной ин м- ики т орию ифурк ций. Большой инт р с с точки р ния о никно ния х отич ских кол ний пр ст ляют п р стройки сист м ц лом, их по мно ст и ттр к- торо . Н и ол ч сто стр ч ющи ся прило ниях типы т ких ифурк ций опис ныŸ2. И лит р туры по т ории ифурк ций сл у т о р тить ним ни н ост точно полны о оры [37, 47], моно р фии [36, 38, 39, 40, 183] и р оты, ключ ющи историюопрос [184, 185].

Âн стоящ р мя сущ ст у т н сколько по хо о к и уч нию с ойст х отич скихин мич ских сист м. Ря т ких по хо о н Ÿ3, н стро ом уро н пр ст -л ны осно ны конц пции эр о ич ской т ории и т ории о ном рных ото р ний, относящи ся к х отич ской ин мик . В к ч ст льн йш о о н комл ния мо но р ком н о ть р оты [13, 21, 23, 25, 27, 51, 111, 118, 125, 126, 144, 162].

Âключ ни н о хо имо отм тить, что л ной ц лью нно о о ор я ля тся опис ни р личных по хо о , исполь у мых н стоящ р мя при н ли н лин йныхин мич ских сист м. Ест ст нно, что ря м то о и про л м ост лось пр л ми н ш о р ссмотр ния. О н ко по ляющ ольшинст о отр но р от х, уч ных посо иях и моно р фиях, при нных списк лит р туры.

Список лит р туры

[1] A.Poincare. Calcul des Probabilities. Paris, Gauthier-Villars, 1912.

[2] L.Boltzman. Uber die mechanischen Analogien des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Journ. f. Mathem., 1887, bd.100, s.201-212.

[3] L.Boltzmann. Vorlesungen uber Gastheorie. Leipzig, 1896. [4] Л.Больцм н. Ст тьи и р чи. М., Н ук , 1970.

[5] P.Ehrenfest, T.Ehrenfest. Enzyklopaedie d. Math. Wiss., Bd.IV, Tl.32. Leipzig, 1911. [6] П. р нф ст. С орник ст т й. М., Н ук , 1972.

[7] М.К ц. В роятность и см ны опросы фи ик . М., Мир, 1965.

[8] The Bolzmann Equation: Theory and Application. Ed. E.G.D.Cohen and W.Thirring. Springer, Berlin, 1973.

[9] E.Fermi, J.Pasta and S.Ulam. Studies of Nonlinear Problems. Los Alamos Scientific Report, LA-1940, 1955.

[10] J.Ford. Equipartion of energy for nonlinear systems. J. Math. Phys., 1961, v.2, No3, p.387-393.

[11] E.A.Jackson. Nonlinear coupled oscillators. Perturbation theory: ergodic problem. J. Math. Phys., 1963, v.4, No4, p.551-558

[12] À.Ïó íê ð . È ð ííû òðó û. Òîì 1. Ì., Í óê , 1973.

26

[13]G.D.Birkhoff. Dynamical Systems. American Mathematical Society, N.Y., 1927.

[14]Н.С.Крыло . Р оты по о осно нию ст тистич ской фи ики. Ì.-Ë., È - î ÀÍ ÑÑÑÐ, 1950.

[15]Ì.Áîðí. Âî ìî íî ëè ïð ñê íè êë ññè÷ ñêîé ì õ íèê ? Óñï õè ôè . í óê, 1959, ò.69,ûï.2, ñ.173-187.

[16]J.Ford. Foreword to Symbolic dynamics and hyperbolic dynamic systems by V.M.Alekseev and M.V.Yakobson. Phys. Rep., 1981, v.75, No5, p.288-289.

[17]А.Н.Колмо оро . Но ый м трич ский ин ри нт тр н ити ных ин мич ских сист м итоморфи мо простр нст Л . ДАН СССР, 1958, т.119, No5, ñ.861-864.

[18]А.Н.Колмо оро . О энтропии н иницу р м ни к к м трич ском ин ри нт томорфи - мо . ДАН СССР, 1959, т.124, No4, ñ.754-755.

[19].Г.Син й. О понятии энтропии ин мич ской сист мы. ДАН СССР, 1959, т.124, No4, ñ.768-771.

[20]S.Smale. Diffeomorphisms with many periodic points. In: Differential and Combinatorial Topology, ed. S.S.Cairns. Princeton University Press, 1965, p.63-80.

[21]С.См йл. Дифф р нциру мы ин мич ски сист мы. Усп хи м т м. н ук, 1970, т.25, ып.1, ñ.113-185.

[22]Д.В.Аносо . Гру ость о ич ских потоко н комп ктных рим но ых мно оо р иях

отриц т льной кри и ны. ДАН СССР, 1962, т.145, No4, с.707-709; р о ич ски с ойсто ич ских потоко н мкнутых мно оо р иях отриц т льной кри и ны. ДАН СССР, 1963, т.151, No6, с.1250-1252.

[23]Д.В.Аносо . Г о ич ски потоки н мкнутых рим но ых мно оо р иях отриц т льной кри и ны. М., Н ук , 1967.

[24]Р.Боуэн. М то ы сим олич ской ин мики. М., Мир, 1979.

[25]A.Katok, B.Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.

[26]З.Нит цки. В ни ифф р нци льную ин мику. М., Мир, 1975.

[27]A.Lasota, M.C.Mackey. Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics. Springer, Berlin, 1994.

[28].Г.Син й. К о осно нию эр о ич ской ипот ы ля о ной ин мич ской сист мы ст тистич ской м х ники. Докл. АН СССР, 1963, т.153, No6, ñ.1261-1264.

[29].Г.Син й. О о ной фи ич ской сист м , им ющ й поло ит льную энтропию. В стник Моск. óí-ò , ñ ð. M ò ì. M õ., 1963, ò.5, ñ.6-12.

[30]L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatters. Commun. Math. Phys., 1981, v.78, No4, p.479-497.

[31]Дин мич ски сист мы. Том 2. С рия: Со р м нны про л мы м т м тики. Фун м нт льны н пр л ния. ВИНИТИ, 1985.

[32]L.A.Bunimovich. Conditions of stochasticity for two-dimensional billiards. Chaos, 1991, v.1, No2, p.187-193.

[33]A.Tabachnikov. Billiards. France Mathematical Soc. Press, 1995.

[34]J.Milnor. On the concept of attractor. Commun. Math. Physics, 1985, v.99, No2, p.177-196.

[35]В.С.Афр ймо ич. О ттр ктор х. В кн. Н лин йны олны. Дин мик и э олюция. Р . А.В.Г поно -Ãð õî , Ì.È.Ð èíî è÷. Ì., Í óê , 1989, ñ.16-29.

27

[36]J.Guckenheimer, P.Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer, Berlin, 1990 (Third printing).

[37]В.И.Арноль , В.С.Афр ймо ич, .С.Ильяш нко, Л.П. ильнико . Т ория ифурк ций. В кн.

Со р м нны про л мы м т м тики. Фун м нт льны н пр л ния. Том 5. М., ВИНИТИ, 1986, с.5-218.

[38]Н.Н.Б утин, Е.А.Л онто ич. М то ы и при мы к ч ст нно о иссл о ния ин мич ских сист м н плоскости. М., Н ук , 1990.

[39]Ä .Ì ðñ í, Ì.Ì к-Кр к н. Бифурк ция ро ния цикл и прило ния. М., Мир, 1980.

[40]Б.Хэсс р , Н.К рино , И.Вэн. Т ория и прило ния ифурк ции ро ния цикл . М., Мир, 1985.

[41]В.И.Арноль . Дополнит льны л ы т ории о ыкно нных ифф р нци льных ур н ний. М., Н ук , 1978.

[42]А. .Лоскуто , А.С.Мих йло . В ни син р тику. М., Н ук , 1990.

[43]J.P.La Salle, S.Lefschetz. Stability by Lypunov's Direct Method. Academic Press, New York, 1961.

[44]Л.Г.Х ин, . . ноль. Устойчи ость критич ских поло ний р но сия. И - о АН СССР,

Пущино, 1985.

[45].Д ури. Инноры и устойчи ость ин мич ских сист м. М., Н ук , 1979.

[46]Н.Н.Б утин. По ни ин мич ских сист м ли и р ниц о л сти устойчи ости. М., Н ук , 1984.

[47]А.А.Ан роно , Е.А.Л онто ич, И.И.Гор он, А.Г.М й р. Т ория ифурк ций ин мич ских сист м н плоскости. М., Н ук , 1967.

[48]В.С.Афр ймо ич. Внутр нни ифурк ции и кри исы ттр кторо . В кн. Н лин йны олны. Структуры и ифурк ции. Р . А.В.Г поно -Ãð õî , Ì.È.Ð èíî è÷. Ì., Í óê , 1987, ñ.189213.

[49]M.J.Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. J. Stat. Phys., 1978, v.19, p.25-52.

[50]M.J.Feigenbaum. Universal metric properties of nonlinear transformations. J. Stat. Phys., 1979, v.21, p.669-706.

[51].Ã.Ñèí é. Ñî ð ì ííû ïðî ë ìû ýð î è÷ ñêîé ò îðèè. Ì., Í óê , 1995.

[52]Е.Б.Вул, .Г.Син й, К.М.Х нин. Уни рс льность Ф й н ум и т рмо ин мич ский форм - ли м. Усп хи м т м. н ук, 1984, т.39, ып.3 (237), ñ.3-37.

[53]P.Collet, J.-P.Eckmann. Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems. Birkhauser, Boston, 1980.

[54]O.E.Lanford III. A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures. Bull. Amer. Math. Soc., 1982, v.6, p.427-434.

[55].È.Í éì ðê, Ï.Ñ.Ë í . Ñòîõ ñòè÷ ñêè è õ îòè÷ ñêè êîë íèÿ. Ì., Í óê , 1987.

[56]Ô.Ìóí. Õ îòè÷ ñêè êîë íèÿ. Ì., Ìèð, 1990.

[57]M.S. El Naschie. Stress, Stability and Chaos in Structural Engineering: An Energy Approach.

McGraw-Hill, London, 1990.

[58]E.A.Jackson. Perspectives of Nonlinear Dynamics. Vol.I, II. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989, 1990.

28

[59]Chaos II, ed. Hao Bai-Lin. Worls Sci., 1990.

[60]P.Manneville. Dissipative Structures and Weak Turbulence. Academic Press, London, 1990.

[62]M.J.Feigenbaum. The onset spectrum of turbulence. Phys. Lett. A, v.74, p.375-378.

[63]Г. уст р. Д т рминиро нный х ос. В ни . М., Мир, 1988.

[64]А.Лихт н р , М.Ли рм н. Р улярн я и стох стич ск я ин мик . М., Мир, 1984.

[65]М.Ф й н ум. Уни рс льность по нии н лин йных сист м. Усп хи фи . н ук, 1983, т.141,ып.2, ñ.343-374.

[66]J.Crutchfield, M.Nauenberg, J.Rudnick. Scaling for external noise at the onset of chaos. Phys. Rev. Lett., 1981, v.46, No14, p.933-935.

[67]M.J.Feigenbaum, B.Hasslacher. Irrational decimations and path integrals for external noise. Phys. Rev. Lett., 1982, v.49, No9, p.605-609.

[68]J.-P.Eckmann. Roads to turbulence in dissipative dynamical systems. Rev. Mod. Phys., 1981, v.53, No4, Part 1, p.643-654.

[69]Y.Pomeau, P.Manneville. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. Commun. Math. Phys., 1980, v.74, No7, p.189-197.

[70]P.Manneville, Y.Pomeau. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems. Physica D, 1980, v.1, No2, p.219-226.

[71]Ï.Á ð , È.Ïîìî, Ê.Âè ëü. Ïîðÿ îê õ îñ . Ì., Ìèð, 1991.

[72]В.С.Афр ймо ич, Л.П. ильнико . О н которых ло льных ифурк циях, с я нных с исч -но ни м н по и ной точки тип с ло-у л. Докл. АН СССР, 1974, т.219, No3, с.1281-1285.

[73]В.И.Лукьяно , Л.П. ильнико . О н которых ифурк циях ин мич ских сист м с омоклин- ич скими структур ми. Докл. АН СССР, 1978, т.243, No1, ñ.26-29.

[74]A.Yu.Loskutov, A.S.Mikhailov. Complex Patterns. Springer, Berlin, 1991.

[75]B.Hu. Functional renormalization-group equations approach to the transition to chaos. In: Chaos and Statistical Methods, ed. Y.Kuramoto. Springer, Berlin, 1984, p.72-82.

[76]B.Hu, J.Rudnick. Exact solutions to the Feigenbaum renormalization-group equation for intermittency. Phys. Rev. Lett., 1982, v.48, No24, p.1645-1648.

[77]B.Hu. Introduction to real-space renormalization-group methods in critical and chaotic phenomena. Phys. Rep., 1982, v.91, No5, p.233-295.

[78]P.Manneville. Intermittency, self-similarity and 1=f -spectrum in dissipative dynamical systems. J. de Phys., 1980, v.41, No11, p.1235-1243.

[79]I.Procaccia, H.G.Schuster. Functional renormalization group theory of universal 1=f -noise in dynamical systems. Phys. Rev. A, 1983, v.28, No2, p.1210-1212.

[80]В.С.Афр ймо ич, Л.П. ильнико . Ин ри нтны ум рны торы, их р руш ни и стох стич- ность. В кн.: М то ы к ч ст нной т ории ифф р нци льных ур н ний. Горький, 1983, с.3- 26.

[81]K.Kaneko. Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipative Systems. World Sci., Singapore, 1986.

29

[82]D.G.Aronson, M.A.Chory, G.R.Hall, R.P.McGehee. A discrete dynamical systems with subtly wild behavior. In: New Approach to Nonlinear Problems in Dynamics. Philadelphia, SIAM, 1980, p.339360.

[83]J.Carry, J.A.Yorke. A transition from Hopf bifurcation to chaos: computer experiments with maps on

. In: Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1978, v.470, p.48-66.

[84]В.С.Анищ нко. Сло ны кол ния простых сист м х. М., Н ук , 1990.

[85]J.Belair, L.Glass. Universality and self-similarity in the bifurcations of circle maps. Physica D, 1985, v.16, p.143-154.

[86]S.Newhouse, J.Palis, F.Takens. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms. Publ. Math. IHES, 1983, No57, p.5-72.

[87]K.Kaneko. Supercritical behavior of disordered orbits of a circle map. Progr. Theor. Phys., 1984, v.73, No6, p.1089-1103.

[88]P.L.Boyland. Bifurcations of circle maps: Arnol'd tongues, bistability and rotation intervals. Commun. Math. Phys., 1986, v.106, p.353-381.

[89]M.J.Feigenbaum, L.P.Kadanoff, S.J.Shenker. Quasiperiodicity in dissipative systems: a renormalization group analysis. Physica D, 1982, v.5, p.370-386.

[90]S.J.Shenker. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: empirical results. Physica D, 1982, v.5, p.405-411.

[91]А.Н. рко ский. О про л м и оморфи м ин мич ских сист м. В кн.: Тру ы V М ун р. конф. по н лин йным кол ниям. Ки , Н ук. умк , 1970, т.2, ñ.541-545.

[92]L.Block. Homoclinic points of mappings of the interval. Proc. Amer. Math. Soc., 1978, v.72, p.576580.

[93]А.Н. рко ский, .Л.М йстр нко, Е. .Ром н нко. Р ностны ур н ния и их прило ния. Ки , Н уко умк , 1986.

[94]J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and creation of homoclinic orbits. Ann. of Math., 1987, v.125, p.337374.

[95]J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and Sensitive-Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations.

Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1993.

[96]L.Mora, M.Viana. Abundance of strange attractors. Acta Math., v.171, p.1-71.

[97]S.E.Newhouse. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms. Publ. Math. IHES, 1979, v.50, p.101-151.

[98]S.E.Newhouse. Lectures on dynamical systems. In: Progress in Mathematics, No8. Birkhauser, Boston, 1978, p.1-114.

[99]S.Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Springer, Berlin, 1990.

[100]P.J.Holmes, F.C.Moon. Strange attractors and chaos in nonlinear mechanics. Trans. ASME, Ser. E, 1983, v.50, No4, p.1021-1032.

[101]В.К.М льнико . Устойчи ость ц нтр при п рио ич ских по р м ни о мущ ниях. Тр. Моск. м т м. о - , 1963, ò.12, ñ.3-52.

[102]J.A.Yorke, K.A.Alligood. Cascades of period doubling bifurcations: a prerequisite for horseshoes. Bull. AMS, 1983, v.9, p.319-322.

30