А.Ю.Лоскутов - Проблемы нелинейной динамики. I. Хаос

2.3П р м мость

Дру ой путь к х осу р ли у тся ч р п р м мость. Стро ий по хо к этому я л н- ию м н р ит, поскольку н о мо но точно опр лить, при к ких п р м трич скихн ч ниях ости тся р итый х отич ский р им.

Вп р ы п р хо к х осу ч р п р м мость иссл о н н прим р сист мы Лор нц [69, 70, 71], о н ко н сколько р н о мо ность поя л ния к с т льной ифурк-ции ыл по ро но опис н и стро о о осно н р от х [72, 73]. П р м мость с и т льст у т о ро нии х отич ско о ттр ктор поср ст ом исч но ния полуустойчи о о пр льно о цикл . то происхо ит, ко a = a1 и мультиплик-тор цикл им т йст ит льно со ст нно н ч ни +1. В этот мом нт происхо ит слияни устойчи о о и н устойчи о о цикло полуустойчи ый. В ото р нии Пу нк-р т к я ифурк ция ы ля ит к к слияни устойчи ой и н устойчи ой н по и ных точ к. С п р хо ом ч р критич ско н ч ни a1; a > a1, полуустойчи ый цикл исч -

т. Типично по ни сист мы ли и н ч ний a > a1; a ' a1, у т почти п р- ио ич ским, но пр ры ющимся короткими х отич скими спл ск ми. С у лич ни м п р м тр число х отич ских пульс ций у личи тся и пост п нно н ступ т р - итый х ос.

Ото р ни Пу нк р по тр кториям, прохо ящим окр стности полуустойчи о о

j ij < 1; i 2 #(A(0; 0)); " = c(a a1) + ::: ; c > 0. П р о соотнош ни описы тин мику ото р ния н ц нтр льном мно оо р ии. Р ссмотрим о по ро н . При " < 0 почти с тр ктории притя и ются к инст нной устойчи ой н по и ной точк ото р ния. При " ! 0 к н й при ли тся н устойчи я н по и н я точк . В мом нт " = 0 í ÷ ë êîîð èí ò x = 0 происхо ит слияни устойчи ой и н устойчи ой точ к о ну полуустойчи ую. С пр ыш ни м ифурк ционно о н ч ния, " > 0, эт точк исч т. Допустим, что о ном рно ото р ни им т уч сток, поро ющий сло ную ин мику. То при a a1 (íî ïðè " > 0) и р мм Л м р я т ко о ото р -ния у т пр ст лять со ой линный п рио ич ский уч сток, соот тст ующий прохо у ост точно м лой окр стности U н ч л коор ин т и х отич ский спл ск, который рш тся при но ом поп нии U. И т к л . По ни , о ник ющсист м х при о р тной к с т льной ифурк ции, н ы тся п р м мостью 1- î

ðî .

П р м мость мо т о ник ть и ру их случ ях [63, 71, 74]. В ч стности, сли ото р ни Пу нк р н ц нтр льном мно оо р ии ( полярных коор ин т х) им т

è rn+1 = (1+")rn +brn3 ; n+1 = n + c, то сист м проя ля т п р м мость 2- î ðî . Осно но отличи от п р м мости 1- о ро состоит том, что р ульт т слияния

устойчи ой и н устойчи ой н по и ных точ к они н исч ют, происхо ит п р ч н устойчи ости от н устойчи ой точки к устойчи ой. П р м мость 3- î ðî î í-

èê ò, ñëè îòî ð íè Ïó íê ð ïèø òñÿ ê ê xn+1 = (1 + ")xn bx3n. В этом случ и о р ющ я точк по хо ит по спир ли к инст нной устойчи ой н по -

11

и ной точк , п р м мость поя ля тся сл ст и пот ри устойчи ости: л стниц Л м р я пр ст ля т со ой м л нно р скручи ющуюся спир ль.

П р м мость т к по тся опис нию р мк х р норм ли ционно о по хо . В отличи от сц н рия у о ния п рио , этот по хо опуск т точно р ш ни функцион льно о РГ ур н ния [75, 76]. О о щим функцию, описы ющую ин мику ото р -

по ни , что и исхо н я функция f(x). Сл о т льно, мо но пис ть соотнош ни уни рс льности ч р оп р тор у о ния, прим ня мый к н по и ной точк g(x) ê ê T g(x) = f(f( 1x)); T g(x) = g(x). Гр ничны усло ия этом случ опр ляются сл ующим о р ом: g(0) = 0; g0(0) = 1. Ïð ñò èì îòî ð íè x0 = f(x) í ÿ - íîì è , F (x0) = F(x) a, ò. . x0(x) = F 1(F (x) a) = f(x), a ï ð ì òð. Òî x00(x) = x0( x). Поэтому F ( x00) = F (x0( x)) = F ( x) a. Ò êèì î ð îì, 1=2F (x00) = 1=2F (x) a. Äëÿ òî î, ÷òî û F соот тст о ло ур н нию у о ния, н о хо имо ыполн ни р нст 1=2F (x) = F ( x). Îíî òîì òè÷ ñêè ó÷ò òñÿ,ñëè û ð òü F (x) = jxj (z 1); = 21=(z 1). Ñë î ò ëüíî, g(x) = F 1(F (x) a) = (jxj (z 1) a) 1=(z 1). Ïðè a = b(z 1) функция g(x) у т у о л т орять ннымр ничным усло иям. Т ким о р ом, ля п р м мости ото р ни н по и ной точки с я но с тр нсляци й F (x0) = F (x) a. РГ ур н ни ля м ло о о мущ ния н по и ной точки т к опуск т точно р ш ни [77].

Большо н ч ни иссл о ни р норм ли ционных ур н ний п р м мости прио р ло посл то о, к к ыло пок но, что с их помощью мо но уни рс льным о р ом о ъяснить происхо ни фликк р-шум н лин йных сист м х [63, 78, 79].

2.4 Ð ðóø íè òîð

Бифурк ции ум рно о тор , ро и ш ося р ульт т п р хо п ры компл ксно сопря нных со ст нных н ч ний цикл ч р иничную окру ность, т к мо ут при сти к поя л нию х ос ин мич ских сист м х. При этом плоскость п р м троин мич ской сист мы р и тся н р он нсны я ыки, от ч ющи н личию у к- торно о поля пр льных цикло , р споло нных н тор . Тор я ля тся о ъ ин ни м н устойчи ых мно оо р ий с ло ых цикло с устойчи ыми цикл ми. Пр ч м т кой сист м прои ой т п р хо к х отич ским кол ниям, тор ол н пот рятьл кость: сущ ст уют т ки н ч ния п р м тро , при которых н устойчи о мно о- о р и с ло о о цикл н чин т " офриро ться", ли о у с ло о о цикл о ник т н ру я омоклинич ск я кри я, ли о устойчи ый и н устойчи ый циклы н тор сли ются и исч ют н н л ком тор . тот р ульт т и ст н к к т ор м о ð -ðóø íèè тор . При ыполн нии н которых ополнит льных усло ий р руш ни тор при о ит к ро нию х ос [37, 48, 59, 60, 63, 71, 80, 81].

Н руш ни л кости тор у о но р ссмотр ть н прим р ото р ния кольц с я, которо при опр л нных н ч ниях п р м тро им т л кую ин ри нтную

12

кри ую. При этом конкр тный и ото р ния н и р т роли [37, 48]. П р стройки ф о ых портр то т ком кольц им ют м сто и о щ й ситу ции [82, 83, 84], поэтомуост точно р ссмотр ть мо льно ото р ни . Пусть a;b : xn+1 = e a(xn+b sin n); n+1 = ( n + a + xn + b sin n); mod 2 ; a > 0; b > 0: òî îòî ð íè ÿ ëÿ òñÿ èôô оморфи-мом и п р о ит кольцо 0 2 , jxj x0; x0 > be a=(1 e a) ñ ÿ. Åñëè a 1,

то и ото р ния кольц получим ото р ни окру ности, 'a;b : n+1 = n + a + b sin k; mod 2 , которо ост точно инт нси но и уч лось (см., н прим р, [85, 86, 87, 88] и цитиро нную т м лит р туру). В ч стности, о простр нст о п р м тро со р итифурк ционную кри ую, при п р с ч нии которой ин мик опр ля тся личиной b. Åñëè b < 1, то при ирр цион льном числ р щ ния с тр ктории ото р ния окру ности к ип рио ич ски . При р цион льном н ч нии числ р щ ния ото р -нии окру ности им тся р но число устойчи ых и н устойчи ых п рио ич ских точ к о ин ко о о п рио . Ко b > 1, î íèê ò õ îòè÷ ñêî ìíî ñò î [86, 87, 88].

Дин мик ото р ния кольц о мно ом н ло ичн ин мик ото р ния окру ности. При b + e a < 1 это ото р ни им т ин ри нтную мкнутую кри ую, котор я ключ т н по и ны точки, о н и которых устойчи , ру я с ло я, прич м н устойчи ы с п р трисы мык ются н устойчи ую точку (и о р уя т м с мым мкнутую кри ую). В простр нст п р м тро (a; b) ò ê ÿ ñèòó öèÿ ñî-

от тст у т опр л нной о л сти, о р нич нной ифурк ционными кри ыми. При п р с ч - нии этих кри ых по ни ото р ния кольц и м ня тся сл ующим о р ом [80]:

) о ник т скон чно мно ст о тр кторий со сч тным числом н устойчи ых с -ло ых цикло , при этом и о р ющ я точк ост тся м лой окр стности н п- о и ной точки; ) происхо ит ифурк ции у о ния п рио ; ) с ло и у л сл- и ются, поя ля тся с ло-у л, прич м ин ри нтную кри ую этот мом нт о р -у т о н устойчи я с п р трис ; сли эт кри я л к я, то посл исч но ния с ло-у л ро тся л к я мкнут я кри я, к которой притя и ются с точкикольц ; ) сли случ ) мом нт слияния с л и у л с п р трис н л к я, тоо ник т ин ри нтно мно ст о тип по ко ы См йл , т. . х отич ск я ин мик . Посл ни случ я ( и ) р ли уются исимости от н ч ния п р м тр b.

Колич ст нны коном рности п р хо от р им ухч стотных кол ний к х осу уст н ли ются при помощи р нормруппо о о по хо [89, 90]. Пусть f(r; ) : S1 ! S1 л ко имно о но н чно ото р ни окру ности, им ющ точку п р и p. Для п р хо от к ип рио ичности к х осу н о хо имо и м нять

13

с со ст нным ктором ( ; 1)T . Êðîì òî î, T n ýòî ì òðèö

i i- число Фи он ччи ( 0 = 0, 1 = 1). Ò êèì î ð îì, n 1 n = ( )n. Ñë î ò ëüíî, ìî íî ïèñ òü

R о о н ч т о орот оль окру ности с числом . В силу это о получим j(R ) n( )j = ( )n. Д л , исполь уя р курр нтно соотнош ни ля чис л Фи он ччи, н - й м, что личин (R ) n поро тся посл о т льностью компо иций (R ) n+1 =

(R ) n Æ (R ) n 1 .

Для поиск фиксиро нной точки р норм ли ционно о оп р тор н о хо имо р с-

ìíî èò ë ì . Ëèí ðè öèÿ ê î î îï ð òîð Ti ñîîò òñò óþù é í ïî è íîé òî÷ê g им т н устойчи о со ст нно н ч ни , которо от ч т ск йлин о ому по нию с т ким с ойст ом, что f( ) + "n им т число р щ ния n 1= n. При этом м сшт ны постоянны р ны Æ = 2; 83362:::, = 1; 28857::: .

2.5Гомоклинич ски структуры

Помимо п р числ нных пут й р ития х ос , ин мич ских сист м х о мо н п р хо к х отич скому по нию ч р омоклинич ски ифурк ции. Пусть Ta : M ! M н которо пр о р о ни мно ст M ñ ÿ. Òî÷ê p 2 M í û òñÿ èï ð îëè÷ ñê-

ой н по и ной точкой ото р ния Ta, ñëè Tap = p è DTajp н им т со ст нно он ч ния р но о иниц . При этом устойчи о и н устойчи о мно оо р ия точки

p опр ляются соот тст нно сл ующим о р ом: W s(p) = fx 2 Mj Tatx ! p; t !

+1g è W u(p) = fx 2 Mj Tatx ! p; t ! 1g. Ïð ïîëî èì, ÷òî p èï ð îëè÷ ñê ÿ í ïî è í ÿ òî÷ê îòî ð íèÿ Ta. Òî÷ê q í û òñÿ омоклинич ской ê òî÷ê p,

Î íîì ðíî ото р ни им т омоклинич ски точки, сли оно о л т п рио -

ич ской ор итой, п рио которой отлич н от 2i; i = 0; 1; 2; : : : [91, 92, 93]. В с ою оч р -ь, н личи омоклинич ских точ к р нтиру т поло ит льность энтропии [93], т. . сущ ст о ни х отичности. Бол то о, н но ыли получ ны ост точно о щи

14

ут р ния, к с ющи ся сло но о по ния ото р ний [94, 95, 96]. Осно ной их смысл кр тко с о ится к сл ующ му. О ноп р м трич ско с м йст оифф оморфи мо по рхности, им ющ омоклинич скую структуру, н мно стн ч ний п р м тр поло ит льной м ры поро т стр нны ттр кторы. Пусть Ta о ноп р м трич ско с м йст о ифф оморфи мо кл сс C1, нных н по рхности. Пр поло им, что T0 им т омоклинич ско к с ни н которой п рио ич ской точк p0. То при ост точно о щих пр поло ниях сущ ст у т ïîëî èò ëüí ÿ ë -

î ì ð ìíî ñò Ac ï ð ì òðè÷ ñêèõ í ÷ íèé, ëè êèõ ê a = 0, ò êèõ, ÷òî ëÿ a 2 Ac ифф оморфи м Ta ïðîÿ ëÿ ò õ îòè÷ ñêî по ни , о усло л нно н личи м стр нно о ттр ктор . Сл ст и и это о но о ут р ния спр ли о ля о ном-рных к ск о ост точно о щ о и [96]: Пусть Ta ë êî îòî ð íè èíò ð ë I или ото р ни окру ности S1 è òî÷ê p0 ип р олич ск я п рио ич ск я точкля T0. Допустим, что отриц т льн я ор ит точки p0 п р с к т н устойчи о мно ст о н ыро нной критич ской точки ото р ния T0. То , сли т к я омоклинич ск я структур им т м сто случ о щ о поло ния, то ì ð ìíî ñò ï ð ì òðè÷ ñêèõ í ÷ íèé a, ëè êèõ ê a = 0, ля которых Ta ïðîÿ ëÿ ò õ îòè÷ ñêî ïî íè ,

ïîëî èò ëüí .

Дру ой ный р ульт т ыл получ н Ньюх у ом [97, 98], который пок л, что с м йст о ум рных ифф оморфи мо , им ющ омоклинич ско к с ни устойчи ых и н устойчи ых с п р трис, о л т чр ыч йно сло ным по ни м. Т к я ин м- ик йст ит льно ыл о н ру н н прим р ур н ния Дюффин [36, 99, 100] поср ст ом о о щ нной т ории М льнико [101]. Бол то о, формиро ни омоклинич ских тр кторий с сопро о тся лу окими п р стройк ми ин мики, которы ключ ют поя л ни по ко См йл [21], к ск о у о ния п рио [102], с ло-у ло ых цикло [103], н о р нич нно о колич ст сосущ ст ующих п рио ич ских ттр кторо [97, 104].

О о щ ни этих р ульт то н с м йст о ифф оморфи мо прои ольной р м-рности ыло опис но р от х [103, 105, 106, 107]. Осно но ут р ни , получ нноэтом н пр л нии, с о ится к сл ующ му. Пусть Ta с м йст о ифф оморфи-мо мно оо р ия M, dimM 2, им ющ омоклинич ско к с ни при a = a~. Òî

ñóù ñò ó ò ìíî ñò î Ac R ò êî , ÷òî Ta î ë ò стр нным ттр ктором ля к -î î a 2 Ac è Ac T[~a "; a~ + "] èì ò поло ит льную ì ðó Ë ëÿ ñ õ " > 0.

Åñëè ð ññì òðè òü ì ñòî îòî ð íèé потоки, то мо но получить но ы инт р с- ны ут р ния, к с ющи ся р ития х отич ской ин мики. О ин и п р ых р -ульт то этом н пр л нии ыл получ н Л.П. ильнико ым [108]. Пусть поток T tпростр нст R3 им т р но сную точку н ч л коор ин т с йст ит льным поло ит льным со ст нным н ч ни м 1 и п ру компл ксно сопря нных со ст - нных н ч ний с отриц т льными йст ит льными ч стями. То , исполь уя т ор му о устойчи ом мно оо р ии [36], мо но сти коор ин ты т к, что ось zу т со р ть лок льно н устойчи о мно оо р и , плоскость (x; y) у т со р -ть лок льно устойчи о мно оо р и . Допустим, что тр ктория я ля тся омок-

15

линич ской (к точк 0) тип с ло-фокус, т. . при 2 W u(0) îí èì ò ûõî ÿùóþ è 0 н устойчи ую с п р трису, котор я при t ! 1 по спир ли стр мится к 0 плоскости (x; y). То спр ли сл ующий точный р ульт т [36, 108]: Если jRe 2;3j < 1,

то сущ ст у т о мущ ни поток Tt т ко , что о мущ нный поток T1t у т им тьомоклинич скую ор иту 1 ли и , ото р ни , поро мо потоком T1t, ó ò

èì òü ñ÷ òíî ìíî ñò î ïî êî . О о щ ни это о р ульт т при ло к сущ ст - нному у лу л нию поним ния ифурк ций ин мич ских сист м х, им ющих омоклинич ски структуры, и пут й р ития них х отич ско о по ния (см., н прим р, [36, 37, 95, 99, 109] и при нную т м лит р туру).

Т ким о р ом, им ются ост точно мощны н литич ски м то ы иссл о н- ия р ития х отич ско о по ния ин мич ских сист м. О н ко кром сц н ри ро ния х ос т х или иных сист м х н м ло ным я ля тся опрос о с ойст х х отич ских ин мич ских сист м и спосо х их и уч ния.

3Н которы с ойст х отич ских ин мич ских сист м

С ойст х отич ских сист м ются т кими ин ри нт ми к к х р кт ристич ски пок т ли Ляпуно , р м рность стр нно о ттр ктор , энтропия ин мич ской сист мы (см., н прим р, [25, 27, 31, 51, 55, 60, 63, 64, 110, 111, 112, 113, 114, 115] и при о имы т м ссылки) и ря ом ру их. Кром то о, ными х р кт ристик ми ин мич ских сист м я ляются эр о ичность и п р м ши ни [25, 31, 42, 51, 74, 116, 117], K- с ойст о [31, 51, 114, 116, 118], рнулли ость [31, 114, 116, 118, 119, 120], ыполн ни ц нтр льной пр льной т ор мы т ории роятност й [117, 120, 121], экспон нци льно у ы ни корр ляций [74, 117, 120, 122]. Уст но л ни посл них с ойст ин мич ской сист м поло ны осно у со р м нно о пр ст л ния о т рминиро нном х ос . Опис ни х отич ских ин мич ских сист м о мо но т к ч р иссл о ни х р к- т ристик их х отич ских ттр кторо или пут м р ссмотр ния по ния типичных ф о ых тр кторий.

3.1Пок т ли Ляпуно и энтропия ин мич ских сист м

Пусть x(t) типичн я ф о я тр ктория сист мы (1) и x1(t) ëè ê ÿ ê í é òð ê-

êîí ÷íûé ðÿ í ÷ íèé f ig, i = 1; 2; :::; n, которы н ы ются х р кт ристич скими пок т лями Ляпуно (см., н прим р, [42, 55, 64, 74, 111, 112, 113] и нны т м ссылки).

16

Х р кт ристич ски пок т ли Ляпуно слу т м рой х отичности ин мич ских сист м. В ч стности, сли им ются поло ит льны пок т ли, то по ни сист мыу т х отич ским.

Стро о о осно ни т ория х р кт ристич ских пок т л й Ляпуно получил посл ок т льст и стной мультиплик ти ной эр о ич ской т ор мы [123, 124, 125], котор я уст н ли т сущ ст о ни т к н ы мых пр ильных по Ляпуно у тр кторий ф о ом простр нст . Р ссмотрим и м римый мультиплик ти ный коцикл

íîðì ëüíî î èñ fei(x)g èì ò ì ñòî ð íñò î P +(x; ei(x)) = limm!1 ln j det (m; x)j,

i

òî òî÷ê x 2 M í û òñÿ пр ильной п р . Соот тст ующий х р кт ристич ский пок т ль получ тся м ной рхн о пр л при n ! +1 н рхний пр л при n ! 1. Òî÷ê x н ы тся пр ильной н , сли он я ля тся пр ильнойп р ля пок т ля . Д усторонни тр ктории ин мич ских сист м (1) (т. .

тр ктории, сущ ст ующи ля t > 0 è t < 0) при о ят к понятию (при н которыхополнит льных усло иях [126]) пр ильных точ к по Ляпуно у с со л со ннымин ч ниями пок т л й + è . Ä ë , ìî íî ïîê òü, ÷òî ñëè x ïð èëüí ÿ ïî

Ляпуно у точк , то Tkx у т пр ильной по Ляпуно у тр ктори й. Пусть X0 Mмно ст о пр ильных по Ляпуно у тр кторий. Мультиплик ти н я эр о ич ск я

ò îð ì óò ð ò, ÷òî X0 èì ò полную ì ðó. Ò êèì î ð îì, îê û òñÿ ñóù ñò î í-

Дру ими ными х р кт ристик ми слу ит энтропия [111, 114, 115, 116], котор я опр ля т о р тную личину ср н о р м ни пр ск у мости по ния х отич ской сист мы и х р кт ри у т сло ность [42, 64, 122, 127], и р м рность ин ри нтно о мно ст ин мич ской сист мы [63, 111, 115, 128]. Кр тко ост но имся н н которых поло ниях т ории.

Ôîðì ëüíî энтропия h èí ìè÷ ñêîé ñèñò ìû (M; S; ; T ) о ится к к рхняяр нь по с м кон чным и м римым р и ниям : h(T ) = supfh(T; )g. Т ким о р ом, энтропия пр ст ля т со ой н и ольшую о мо ную скорость со ния информ ции пр о р о ни м T с помощью кон чных р и ний простр нст состояний ин м- ич ской сист мы. Поскольку энтропия колич ст нн я х р кт ристик , с помощью которой мо но ( ополнит льно к прочим ным ин ри нт м) опис ть от льны стороны х отичности, он ок ы тся т сно с я нной с ру ими х р кт ристик ми

17

по ния ин мич ских сист м. В ч стности, энтропия ыр тся ч р пок т ли Ляпуно сл ующим о р ом [125]:

h(T) = Z X i(x)d :

M i 0

то соотнош ни мо т ыть ря случ упрощ но. Им нно, сли T ифф р - нциру мо ото р ни кон чном рно о мно оо р ия и эр о ич ск я роятно-

т. . сли м р м р Син я-Рюэля-Боуэн [111]. В личин энтропии h н исит от спосо р и ния ф о о о простр нст . Кром то о, сли ин мич ски сист мы им ют р ны энтропии, то их ст тистич ски коны и ния о ин ко ы [118, 129].

Р м рностны х р кт ристики ин ри нтных мно ст ин мич ских сист м мо уто иться по р ному (см., н прим р, [63, 112, 130, 131, 132, 133] и при нны т м ссылки). О н ко осно ны м т м тич ски р ульт ты получ ны только ля н которых и них [128, 134, 135, 136, 137]. Пусть M комп ктно простр нст о и A M. Допустим, что N(") миним льíî число ш ро р иус ", н о хо имых ля покрытия

ìíî ñò A. Òî ïð ëû lim"!0 ln N(")= ln(1=") C(A) è lim"!0 ln N(")= ln(1=")

C(A) í û òñÿ ðõí é (ñîîò òñò ííî íè í é) мкостью ìíî ñò A. Åñëè èõí ÷ íèÿ ñî ï þò, C(A) = C(A) C(A), то личин C(A) í û òñÿ мкостью [128] èëè фр кт льной р м рностью [115, 138, 139] ìíî ñò A.

Х р кт ристич ски пок т ли Ляпуно , энтропия и р м рность ют о мо ность поср ст ом и уч ния н лю мых (т. . си н л или опр л нной р ли ции, по которым су ят о х р кт р проц сс иссл у мой фи ич ской сист м ) опр лить колич ст о н исимых п р м нных, о но н чно описы ющих состояни сист мы и т м с мым уст но ить кон чном рность р ссм три мо о я л ния. Большинст о р -ульт то этом н пр л нии осно ны н т ории Т к нс [140, 141] (см. т к [115] и при нны т м ссылки) и исполь уют тот ф кт, что с ойст ттр ктор мо но опр -лить и р м нной посл о т льности о ной сост ляющ й. Им нно, сли сост итькторную функцию y^ = fxi(t); xi(t + ); : : : ; xi(t + 2n )g, xi(t) ïðîè îëüí ÿ ñîñò ëÿþù ÿ ï ð ì ííîé x, òî ì òðè÷ ñêè ñ îéñò èñõî íî î n-м рно о и постро - нно о (2n + 1)-м рно о простр нст у ут о ин ко ы.

Опир ясь н т орию Т к нс , принцип мо но отличить èí ìè÷ ñêèé ïðîö ññ

îò чисто случ йно о, т. . н т рминиро нно о. Н лю м я y^ = fyig1i=0 í û òñÿт рминиро нно поро нной, сли ыполн ны сл ующи усло ия [115, 140, 141]:

ñóù ñò ó ò êîí ÷íîì ðí ÿ èí ìè÷ ñê ÿ ñèñò ì fT g, òî÷ê x0 и липшиц-н пр ры н я функция т ки , что ыполня тся (T i(x0)) = yi ëÿ ñ õ i = 0; 1; 2; : : :, ïðè÷ ì

посл о т льност й y^ = fy0; y1; y2; : : :g, P jyij=2i < 1. Òî ïðè ñîîò òñò óþù ì -

i=0

нии нормы простр нст о B у т полным нормиро нным лин йным простр нст ом.

Ç èì B èí ìè÷ ñêóþ ñèñò ìó ïîñð ñò îì îïð ë íèÿ îòî ð íèÿ ñ è

18

y^ 7!T y^, T y^ = (y1; y2; y3; : : :). Т ким о р ом, получим уни рс льную ин м- ич скую сист му, поро ющую лю ую о р нич нную н лю мую. Р ссмотрим пр -

ëüíî ìíî ñò î A(^y) и пр льную мкость (т. . р м рность) C(A) н лю мой.ти ин ри нты л ко сти, сли р ссмотр ть прои ольную н лю мую y^ к к н ч льно состояни уни рс льной ин мич ской сист мы простр нст B. Òî

A(^y) = clos fT ky^g1k=0 , fT ky^g1k=0 полутр ктория, м я ото р ни м T . Åñëè C(A) < 1, òî ííîé í ëþ ìîé ñîîò òñò ó ò êîí ÷íîì ðí ÿ èí ìè÷ ñê ÿ

сист м . При ыполн нии ополнит льно о усло ия о о р нич нности м ксим льно о ляпуно ско о пок т ля н лю м я у т т рминиро нно поро нной. Сл о т льно, опр л нн я о р отк н лю мо о си н л мо т ть от т н принципи льныйопрос о кон чном рности иссл у мо о проц сс . Н которы л оритмы о р отки н -лю мых при ны р от х [42, 63, 84, 112, 115, 130, 131, 132].

3.2Х р кт ристики х отичности

Опиш м т п рь и р рхию ных с ойст ин мич ских сист м, которы мо но р с- см три ть к к посл о т льно усили ющи ру ру с ойст х отичности [142].

1) Сущ ст о ни ин ри нтной м ры [25, 27, 51, 120, 143]. Мно ст о с нной н н м м рой мо т ыть р ссмотр но к к простр нст о эл м нт рных со ытий. В этом случ к я функция, т м или иным о р ом опр л нн я н этом мно ст , я ля тся случ йной п р м нной, посл о т льность ит р ций, получ мых ч р н которо пр о р о ни fT g, мо но пр ст ить к к посл о т льность случ йныхличин. Поэтому сущ ст о ни ин ри нтной м ры ля конкр тно о с м йст ин м- ич ских сист м им т сл ст и м о х отич ско по ни .

2) Ï ð ì øè íè [25, 51, 63, 64, 74, 116, 117, 122]. Если токорр ляционн я функ-

р спр л ни , то сист м им т м сто п р м шиR ни . Сущ ст о ни п р м ши н- ия л ч т н о р тимость и н пр ск у мость ин мики.

3) K-с ойст о [27, 51, 114, 126, 144]. Если ин мич ск я сист м я ля тся K-сист мой, то он о л т п р м ши ни м с х ст п н й и им т поло ит льную энтропию. K- с ойст о о н ч т, что т рминиро нную ин мич скую сист му мо но ко иро ть

р улярный ст цион рный проц сс т ории роятност й.

4)Б рнулли ость [27, 116, 120, 144]. Ïî íè èí ìè÷ ñêîé ñèñò ìû ò ì ñëó÷ -

йн , ч м он ли к посл о т льности н исимых случ йных личин. Если ко - иро к ин мич ской сист мы р улярный ст цион рный проц сс пр ст ля т со ой т кую посл о т льность, то ин мич ск я сист м н ы тся рнулли ской.

5) Выполн ни усло ий ц нтр льной пр льной т ор мы [24, 120, 145]. Äëÿ ëþ îé

функции f, описы ющ й тот или иной ин мич ский проц сс, н й тся т к я ис- п рсия = (f), что

19