Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Blatov_lek

.pdf
Скачиваний:
79
Добавлен:
10.06.2015
Размер:
3.02 Mб
Скачать

 

Пара совпавших прямых:

 

Пара совпавших

 

 

 

 

 

плоскостей:

 

 

 

 

 

 

 

Гиперболический цилиндр:

Пара пересекающихся плоскостей:

Эллиптический цилиндр

 

 

 

 

Определение Эллиптический

цилиндр

– поверхность

определяемая уравнением

 

 

 

 

 

x2

 

y2

1

 

 

a2

b2

 

 

 

 

 

Ось цилиндра служит ось OZ.

Цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси OZ, а направляющей является эллипс.

Гиперболический цилиндр

Определение Гиперболический цилиндр – поверхность определяемая уравнением

x2

 

y2

1

a2

b2

 

 

Ось цилиндра служит ось OZ.

191

Параболический цилиндр

Определение Параболический цилиндр – поверхность определяемая уравнением

y2 2 px

Сечениями цилиндров являются соответственно эллипсы, гиперболы и параболы.

Параболический цилиндр — цилиндрическая поверхность второго порядка, для которой направляющей служит парабола. Его можно получить при перемещении параболы по прямой. Тогда следом от параболы будет параболический цилиндр. Каноническое уравнение: z = ax2,

Конические поверхности

Определение Коническая поверхность- поверхность,

образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса).

Пусть направляющая конуса задана уравнениями:

F (x, y, z) 0Ф(x, y, z) 0

а вершина S конуса имеет координаты x0 , y0 , z0 .

 

Уравнения образующей запишем как уравнения прямой,

проходящей через две точки S

x0 , y0 , z0

и

M x, y, z ,

принадлежащие направляющей:

 

 

 

 

 

 

 

X x0

 

Y y0

 

 

Z z0

 

 

 

 

x x0

y y0

 

z z0

 

 

 

 

 

 

 

 

где X ,Y , Z - текущие координаты точек образующих. Исключая из уравнений x, y, z , получим уравнение

относительно переменных X ,Y , Z т.е. уравнение конической поверхности.

192

Конус

Пример Найти уравнение поверхности, полученной вращением z y вокруг оси Oz .

Решение

 

 

 

 

Поверхность

вращения

имеет

 

 

 

 

 

уравнение

z x2

y2 или

z2 x2 y2 и носит название

прямого

кругового конуса.

 

 

 

 

Определение Конус – поверхность определяемая уравнением

x2 y2 z 2 0 a2 b2 c2

Рассмотрим сечение плоскостями, z c

x2

 

y 2

1

 

 

 

 

b2

В сечении получается a2

 

 

 

 

 

 

z c

 

 

Сечение - эллипс с полуосями a и b Если a b , то конус круглый.

Определение Мнимый конус – поверхность определяемая уравнением

x2 y2 z 2 0 a2 b2 c2

Это единственная точка (0,0,0)

Поверхность конуса состоит из прямых линий (образующих), проходящих через его вершину и точки эллипса с полуосями a и b , плоскость которого перпендикулярна оси Z .

193

Лекция 16 Элементы функционального анализа

Элементы функционального анализа относятся к разделу математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.

Линейные пространства

Теория линейных пространств находит чрезвычайно широкие применения в современной математике. Прежде всего, все линейные пространства разделяются на конечномерные и бесконечномерные.

Конечномерные пространства (одномерные, двумерные, трехмерные и т. д.) изучаются в линейной алгебре, которая является предметом этой книги.

Бесконечномерные пространства рассматриваются в различных разделах функционального анализа; у нас они будут представлены в данной лекции.

Пусть L - некоторое множество объектов произвольной природы.

Определение Линейное пространство - множество L

произвольных элементов, если на нем определены две операции:

1.операция сложения любых двух элементов этого множества

2.операция умножения элементов этого множества на комплексное число, причем эти операции удовлетворяют некоторым аксиомам.

-Каждой паре элементов x, y из этого пространства

поставлен в соответствие элемент z этого пространства, называемый суммой элементов x, y (обозначение) z x y

-Каждому элементу x из L и каждому комплексному числу поставлен в соответствие элемент из L, называемый произведением x .

194

Определение Аксиома утверждение, принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент» для построения доказательств.

Аксиомы линейного пространства

1.

x y y x для

любых

x, y L ,

-

свойство

 

коммутативности сложения

 

 

 

 

 

2.

x y z x y z для

 

любых

x, y, z L ,

 

свойство ассоциативности

 

 

 

 

 

3.

существует "нулевой" элемент

0 L ,

такой, что

 

x 0 x, x L ,

 

 

 

 

 

 

4.

x x 0,

x L для

каждого

существует

 

"противоположный" ему элемент

 

 

 

5.

для

любого

 

элемента

 

существует

единица

 

1 x x

x L ,

 

 

 

 

 

 

 

6.

x x

 

x L,

 

, C

 

 

 

ассоциативность умножения на число

 

 

7.

x y x y

x, y L

C -

 

первая

 

дистибутивность

 

 

 

 

 

 

 

8.

x x x

x L

, C

-

вторая

дистрибутивность Перечисленные аксиомы являются естественным

обобщением хорошо известных свойств сложения и умножения чисел, сложения векторов и их умножения на число и т.д.

Замечание Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384322 до н. э.) и перешѐл в математику от философов Древней Греции

Следствия аксиом

Из того что существует "нулевой" элемент 0 L , такой, что x 0 x, x L , вытекает , что он единственный

Доказательство

От противного

Пусть существуют два нулевых элемента 0 L , 0 L

195

Имеем

x 0 x,

x L

, отсюда 0 0

x 0 x,

x L

Следствия аксиом

Из того что существует "противоположный " элемент, такой,

что x x 0,

x L , вытекает, что он единственный

 

 

Доказательство

От противного

 

 

Пусть существуют два противоположных элемента x L ,

x L

 

 

x x 0,

x L

Имеем x x 0,

x L ,

Прибавим к обеим частям первого из этих равенств по вектору x L

Получим x x x 0 x

Но x x 0 отсюда 0 x 0 x т.е. x x .

Замечание Из аксиомы о существовании нулевого элемента следует, что линейное пространство – непустое множество.

Пример Линейное пространство векторов на плоскости (или в трехмерном пространстве) с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Нулевым элементом является нулевой вектор.

Пример Линейное пространство функций, непрерывных на данном отрезке a, b с обычными операциями сложения

функций и умножения функции на действительное число. Нулевой элемент - функция f (x) 0 .

Пример

Линейное

пространство

всех

комплекснозначных

функций

u x iv x ,

где

функции

непрерывны на a, b с обычными операциями сложения

функций и умножения функции на комплексное число. Нулевой элемент - функция f (x) 0 i0

Пример Множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством.

196

В силу предложения столбцы-решения системы можно складывать и умножать на число. При этом будут получаться снова решения этой системы. Значит, на множестве решений определены операции сложения и умножения на число. Легко проверить, что эти операции удовлетворяют требованиям из определения линейного пространства.

Определение Пусть теперь

x1 , x2

xn

- некоторые

элементы линейного пространства

L,

а

c1 , c2 cn -

произвольные комплексные (или действительные) числа.

Элемент

пространства

L,

равный

c1 x1 c2 x2

cn xn ,

называется линейной комбинацией элементов x1 , x2

xn .

 

Определение Система (набор) элементов

x1 , x2

xn

пространства L называется линейно независимой, если

линейная

комбинация c1 x1 c2 x2

 

cn xn

равна

нулевому

элементу пространства только в случае c1 c2

 

cn

0 .

 

Иными словами, система

называется

линейно

независимой,

если из

равенства

c1 x1 c2 x2

 

cn xn 0

 

следует,

что

c1 c2

cn 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

Система

элементов

пространства L

называется линейно зависимой, если равенство

 

 

 

 

c1 x1 c2 x2

 

cn xn 0

 

 

 

 

выполнено при некотором наборе констант, хотя бы одна из которых отлична от нуля.

Пример

В пространстве

непрерывных

функций

(действительных;

на любом промежутке) система

функций

1, x, 2x 3

 

 

 

линейно

 

зависима,

поскольку

3 1 2 x 1 2x 3 0 ,

а

система

функций

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

1, x, x2 ,

 

при

любом

n N

линейно независима, т.к.

c c x

c

 

xn

линейная

комбинация

представляет собой

1 2

 

n 1

 

 

 

 

 

 

многочлен, а из алгебры известно, что многочлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты нулевые.

197

Сколько элементов может содержать линейно независимая система в том или ином линейном пространстве?

Очевидно, что в пространстве векторов на плоскости можно указать систему из двух линейно независимых векторов (это могут быть любые 2 неколлинеарных вектора), но уже любые 3 вектора - линейно зависимы. Естественно назвать такое пространство двухмерным.

В то же время в пространстве непрерывных функций, как мы видим, можно указать любое наперед заданное число линейно независимых функций. Такое пространство естественно назвать

бесконечномерным.

 

 

 

Определение

Линейное

пространство

имеет

размерность n (или, n-мерно), если в нем найдется n линейно

независимых элементов, но любые (n+1) элемент линейно

зависимы.

Определение Линейное пространство называется

бесконечномерным, если в нем можно указать любое наперед

заданное число линейно независимых элементов.

Пусть теперь L - n-мерное линейное пространство. По определению, в нем существует набор линейно независимых

элементов u1 , u2 , , un .

Если f - произвольный элемент из L, то f , u1 , u2 , , un система линейно зависима, т.к. содержит (n+1) элемент. Значит,

найдется набор констант c1 , c2

cn , хотя бы одна из которых

отлична от нуля, такой, что c0 f c1u1

cnun 0

Очевидно с0 0 ,

(в противном случае система оказалась

бы линейно зависимой).

 

 

 

 

Тогда f

c1

u

 

c2

u

 

cn

 

u

 

 

 

1

2

 

c0

n

 

c0

 

c0

 

 

т.е. элемент f оказался представленным в виде линейной комбинации элементов линейно независимой системы.

Убедимся, что такое представление единственно.

198

В самом деле, пусть элемент f можно представить двумя способами в виде линейной комбинации элементов системы:

f 1u1

nun

 

 

f 1u1

nun

 

 

Тогда

 

 

 

 

0 f f 1u1

nun 1u1

nun

1 1 u1

n n un

 

В правой части мы получим линейную комбинацию элементов линейно независимой системы.

Из равенства этой линейной комбинации нулю следует равенство нулю всех коэффициентов.

Таким образом, 1 1

n n , т.е. два представления

элемента f оказались совпадающими.

Мы пришли к следующему выводу: любой элемент n- мерного линейного пространства можно представить (причем единственным способом) в виде линейной комбинации произвольных n элементов, образующих линейно независимую систему.

Этот факт весьма важен: в самом деле, n элементов линейно независимой системы в n-мерном пространстве оказываются теми "кирпичиками", из которых можно сложить абсолютно любой элемент пространства.

В силу важности этого факта введем специальное понятие - базис линейного пространства.

Определение Система элементов линейного пространства называется базисом этого пространства, если любой элемент этого пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации элементов данной системы.

Как мы убедились, в n-мерном пространстве любая линейно независимая система из n элементов образует базис.

Естественно поставить вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечномерных пространств, и что вообще представляет собой базис бесконечномерного пространства?

Само по себе сформулированное выше определение базиса никак не привязано к размерности пространства, поэтому

199

формально такое определение годится и для бесконечномерного пространства.

Определение В n-мерном линейном пространстве L любая совокупность (система) n линейно независимых векторов называется базисом

ei n e1, e2 ,..., en , ei

- базисные векторы.

1

 

 

x 1e1 2e2 ... nen 0

0 x 0

Определение Если

e1...en

- базис в L , то для любого

x L существуют числа x1, x2 ,..., xn :

x x1e1 x2e2 ... xnen x1, x2 ,..., xn .

Это разложение вектора по базису.

Теорема В данном базисе координаты вектора определены однозначно.

Доказательство(от противного):

Пусть в базисе e1 два набора чисел для вектора x

x x1e1

... xnen x1, x2 ,..., xn

 

 

 

 

x1 , x2 ,..., xn

 

 

... xn en

x x1 e1

 

 

x1 e1

... xn xn en

x x 0 x1

Так как e линейно

независимы, то все

x x 0

i

 

 

 

i i

xi xi

Пример Базисы в линейном пространстве:

L R4 ; a 1, 2 , 3 , 4

a 1e1 2e2 3e3 4e4

200

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]