|
Пара совпавших прямых: |
|
Пара совпавших |
|
|
|
|
|
плоскостей: |
|
|
|
|
|
|
|
Гиперболический цилиндр:
Пара пересекающихся плоскостей:
Эллиптический цилиндр |
|
|
|
|
Определение Эллиптический |
цилиндр |
– поверхность |
определяемая уравнением |
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
1 |
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
Ось цилиндра служит ось OZ.
Цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси OZ, а направляющей является эллипс.
Гиперболический цилиндр
Определение Гиперболический цилиндр – поверхность определяемая уравнением
Ось цилиндра служит ось OZ.
Параболический цилиндр
Определение Параболический цилиндр – поверхность определяемая уравнением
y2 2 px
Сечениями цилиндров являются соответственно эллипсы, гиперболы и параболы.
Параболический цилиндр — цилиндрическая поверхность второго порядка, для которой направляющей служит парабола. Его можно получить при перемещении параболы по прямой. Тогда следом от параболы будет параболический цилиндр. Каноническое уравнение: z = ax2,
Конические поверхности
Определение Коническая поверхность- поверхность,
образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса).
Пусть направляющая конуса задана уравнениями:
F (x, y, z) 0Ф(x, y, z) 0
а вершина S конуса имеет координаты x0 , y0 , z0 . |
|
Уравнения образующей запишем как уравнения прямой, |
проходящей через две точки S |
x0 , y0 , z0 |
и |
M x, y, z , |
принадлежащие направляющей: |
|
|
|
|
|
|
|
X x0 |
|
Y y0 |
|
|
Z z0 |
|
|
|
|
x x0 |
y y0 |
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где X ,Y , Z - текущие координаты точек образующих. Исключая из уравнений x, y, z , получим уравнение
относительно переменных X ,Y , Z т.е. уравнение конической поверхности.
Конус
Пример Найти уравнение поверхности, полученной вращением z y вокруг оси Oz .
Решение |
|
|
|
|
Поверхность |
вращения |
имеет |
|
|
|
|
|
уравнение |
z x2 |
y2 или |
z2 x2 y2 и носит название |
прямого |
кругового конуса. |
|
|
|
|
Определение Конус – поверхность определяемая уравнением
x2 y2 z 2 0 a2 b2 c2
Рассмотрим сечение плоскостями, z c
x2 |
|
y 2 |
1 |
|
|
|
|
b2 |
В сечении получается a2 |
|
|
|
|
|
|
z c |
|
|
Сечение - эллипс с полуосями a и b Если a b , то конус круглый.
Определение Мнимый конус – поверхность определяемая уравнением
x2 y2 z 2 0 a2 b2 c2
Это единственная точка (0,0,0)
Поверхность конуса состоит из прямых линий (образующих), проходящих через его вершину и точки эллипса с полуосями a и b , плоскость которого перпендикулярна оси Z .
Лекция 16 Элементы функционального анализа
Элементы функционального анализа относятся к разделу математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.
Линейные пространства
Теория линейных пространств находит чрезвычайно широкие применения в современной математике. Прежде всего, все линейные пространства разделяются на конечномерные и бесконечномерные.
Конечномерные пространства (одномерные, двумерные, трехмерные и т. д.) изучаются в линейной алгебре, которая является предметом этой книги.
Бесконечномерные пространства рассматриваются в различных разделах функционального анализа; у нас они будут представлены в данной лекции.
Пусть L - некоторое множество объектов произвольной природы.
Определение Линейное пространство - множество L
произвольных элементов, если на нем определены две операции:
1.операция сложения любых двух элементов этого множества
2.операция умножения элементов этого множества на комплексное число, причем эти операции удовлетворяют некоторым аксиомам.
-Каждой паре элементов x, y из этого пространства
поставлен в соответствие элемент z этого пространства, называемый суммой элементов x, y (обозначение) z x y
-Каждому элементу x из L и каждому комплексному числу поставлен в соответствие элемент из L, называемый произведением x .
194
Определение Аксиома — утверждение, принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент» для построения доказательств.
Аксиомы линейного пространства
1. |
x y y x для |
любых |
x, y L , |
- |
свойство |
|
коммутативности сложения |
|
|
|
|
|
2. |
x y z x y z для |
|
любых |
x, y, z L , |
|
свойство ассоциативности |
|
|
|
|
|
3. |
существует "нулевой" элемент |
0 L , |
такой, что |
|
x 0 x, x L , |
|
|
|
|
|
|
4. |
x x 0, |
x L для |
каждого |
существует |
|
"противоположный" ему элемент |
|
|
|
5. |
для |
любого |
|
элемента |
|
существует |
единица |
|
1 x x |
x L , |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
x x |
|
x L, |
|
, C |
|
|
|
ассоциативность умножения на число |
|
|
7. |
x y x y |
x, y L |
C - |
|
первая |
|
дистибутивность |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
x x x |
x L |
, C |
- |
вторая |
дистрибутивность Перечисленные аксиомы являются естественным
обобщением хорошо известных свойств сложения и умножения чисел, сложения векторов и их умножения на число и т.д.
Замечание Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и перешѐл в математику от философов Древней Греции
Следствия аксиом
Из того что существует "нулевой" элемент 0 L , такой, что x 0 x, x L , вытекает , что он единственный
Доказательство
От противного
Пусть существуют два нулевых элемента 0 L , 0 L
Имеем |
x 0 x, |
x L |
, отсюда 0 0 |
x 0 x, |
x L |
Следствия аксиом
Из того что существует "противоположный " элемент, такой,
что x x 0, |
x L , вытекает, что он единственный |
|
|
Доказательство |
От противного |
|
|
Пусть существуют два противоположных элемента x L , |
x L |
|
|
x x 0, |
x L |
Имеем x x 0, |
x L , |
Прибавим к обеим частям первого из этих равенств по вектору x L
Получим x x x 0 x
Но x x 0 отсюда 0 x 0 x т.е. x x .
Замечание Из аксиомы о существовании нулевого элемента следует, что линейное пространство – непустое множество.
Пример Линейное пространство векторов на плоскости (или в трехмерном пространстве) с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Нулевым элементом является нулевой вектор.
Пример Линейное пространство функций, непрерывных на данном отрезке a, b с обычными операциями сложения
функций и умножения функции на действительное число. Нулевой элемент - функция f (x) 0 .
Пример |
Линейное |
пространство |
всех |
комплекснозначных |
функций |
u x iv x , |
где |
функции |
непрерывны на a, b с обычными операциями сложения
функций и умножения функции на комплексное число. Нулевой элемент - функция f (x) 0 i0
Пример Множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством.
В силу предложения столбцы-решения системы можно складывать и умножать на число. При этом будут получаться снова решения этой системы. Значит, на множестве решений определены операции сложения и умножения на число. Легко проверить, что эти операции удовлетворяют требованиям из определения линейного пространства.
Определение Пусть теперь |
x1 , x2 |
xn |
- некоторые |
элементы линейного пространства |
L, |
а |
c1 , c2 cn - |
произвольные комплексные (или действительные) числа.
Элемент |
пространства |
L, |
равный |
c1 x1 c2 x2 |
cn xn , |
называется линейной комбинацией элементов x1 , x2 |
xn . |
|
Определение Система (набор) элементов |
x1 , x2 |
xn |
пространства L называется линейно независимой, если |
линейная |
комбинация c1 x1 c2 x2 |
|
cn xn |
равна |
нулевому |
элементу пространства только в случае c1 c2 |
|
cn |
0 . |
|
Иными словами, система |
называется |
линейно |
независимой, |
если из |
равенства |
c1 x1 c2 x2 |
|
cn xn 0 |
|
следует, |
что |
c1 c2 |
cn 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
Система |
элементов |
пространства L |
называется линейно зависимой, если равенство |
|
|
|
|
c1 x1 c2 x2 |
|
cn xn 0 |
|
|
|
|
выполнено при некотором наборе констант, хотя бы одна из которых отлична от нуля.
Пример |
В пространстве |
непрерывных |
функций |
(действительных; |
на любом промежутке) система |
функций |
1, x, 2x 3 |
|
|
|
линейно |
|
зависима, |
поскольку |
3 1 2 x 1 2x 3 0 , |
а |
система |
функций |
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x, x2 , |
|
при |
любом |
n N |
линейно независима, т.к. |
c c x |
c |
|
xn |
линейная |
комбинация |
представляет собой |
1 2 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
многочлен, а из алгебры известно, что многочлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты нулевые.
Сколько элементов может содержать линейно независимая система в том или ином линейном пространстве?
Очевидно, что в пространстве векторов на плоскости можно указать систему из двух линейно независимых векторов (это могут быть любые 2 неколлинеарных вектора), но уже любые 3 вектора - линейно зависимы. Естественно назвать такое пространство двухмерным.
В то же время в пространстве непрерывных функций, как мы видим, можно указать любое наперед заданное число линейно независимых функций. Такое пространство естественно назвать
бесконечномерным. |
|
|
|
Определение |
Линейное |
пространство |
имеет |
размерность n (или, n-мерно), если в нем найдется n линейно
независимых элементов, но любые (n+1) элемент линейно
зависимы.
Определение Линейное пространство называется
бесконечномерным, если в нем можно указать любое наперед
заданное число линейно независимых элементов.
Пусть теперь L - n-мерное линейное пространство. По определению, в нем существует набор линейно независимых
элементов u1 , u2 , , un .
Если f - произвольный элемент из L, то f , u1 , u2 , , un система линейно зависима, т.к. содержит (n+1) элемент. Значит,
найдется набор констант c1 , c2 |
cn , хотя бы одна из которых |
отлична от нуля, такой, что c0 f c1u1 |
cnun 0 |
Очевидно с0 0 , |
(в противном случае система оказалась |
бы линейно зависимой). |
|
|
|
|
Тогда f |
c1 |
u |
|
c2 |
u |
|
cn |
|
u |
|
|
|
1 |
2 |
|
c0 |
n |
|
c0 |
|
c0 |
|
|
т.е. элемент f оказался представленным в виде линейной комбинации элементов линейно независимой системы.
Убедимся, что такое представление единственно.
В самом деле, пусть элемент f можно представить двумя способами в виде линейной комбинации элементов системы:
f 1u1 |
nun |
|
|
f 1u1 |
nun |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
0 f f 1u1 |
nun 1u1 |
nun |
1 1 u1 |
n n un |
|
В правой части мы получим линейную комбинацию элементов линейно независимой системы.
Из равенства этой линейной комбинации нулю следует равенство нулю всех коэффициентов.
Таким образом, 1 1 |
n n , т.е. два представления |
элемента f оказались совпадающими.
Мы пришли к следующему выводу: любой элемент n- мерного линейного пространства можно представить (причем единственным способом) в виде линейной комбинации произвольных n элементов, образующих линейно независимую систему.
Этот факт весьма важен: в самом деле, n элементов линейно независимой системы в n-мерном пространстве оказываются теми "кирпичиками", из которых можно сложить абсолютно любой элемент пространства.
В силу важности этого факта введем специальное понятие - базис линейного пространства.
Определение Система элементов линейного пространства называется базисом этого пространства, если любой элемент этого пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации элементов данной системы.
Как мы убедились, в n-мерном пространстве любая линейно независимая система из n элементов образует базис.
Естественно поставить вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечномерных пространств, и что вообще представляет собой базис бесконечномерного пространства?
Само по себе сформулированное выше определение базиса никак не привязано к размерности пространства, поэтому
формально такое определение годится и для бесконечномерного пространства.
Определение В n-мерном линейном пространстве L любая совокупность (система) n линейно независимых векторов называется базисом
ei n e1, e2 ,..., en , ei |
- базисные векторы. |
1 |
|
|
x 1e1 2e2 ... nen 0 |
0 x 0 |
Определение Если |
e1...en |
- базис в L , то для любого |
x L существуют числа x1, x2 ,..., xn :
x x1e1 x2e2 ... xnen x1, x2 ,..., xn .
Это разложение вектора по базису.
Теорема В данном базисе координаты вектора определены однозначно.
Доказательство(от противного):
Пусть в базисе e1 два набора чисел для вектора x
x x1e1 |
... xnen x1, x2 ,..., xn |
|
|
|
|
x1 , x2 ,..., xn |
|
|
... xn en |
x x1 e1 |
|
|
x1 e1 |
... xn xn en |
x x 0 x1 |
Так как e линейно |
независимы, то все |
x x 0 |
i |
|
|
|
i i |
xi xi
Пример Базисы в линейном пространстве:
L R4 ; a 1, 2 , 3 , 4
a 1e1 2e2 3e3 4e4