Blatov_lek

имеет, она противоречива или несовместна.

Если А 0 , и все определители равны нулю, а хотя бы

один из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то система имеет бесконечное множество решений или неопределена.

Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии.

2x 3y 5

Пример Решить систему уравнений

4x 6 y 7

Ответ: решений нет

3x 4 y 5

Пример Решить систему уравнений

6x 8y 10

Ответ: бесчисленное множество решений, y 3x 5 .

4

Пример Решить систему уравнений

61

Ответ: x 1, y 2, z 3.

Матричный метод

Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и

следовательно, система совместна и определена. Решение системы можно получить так:

A 1 AX A 1L

Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы

A 1A X A 1L, , E X A 1L, X A 1L

Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.

62

Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:

Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы

63

1 2 3 2

2 1 2 3 3

Проверка: Система решена верно.

1 2 2 3 3

Метод Гаусса

Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.

Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида. Метод Гаусса является более универсальным. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.

Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно - предпоследнее.

Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования:

-перестановка местами двух уравнений;

-умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

64

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.

Пример Решить систему методом Гаусса.

x1 x2 x3 22x1 x2 x3 3x1 x2 2x3 3

Решение

Определитель системы не равен нулю. Поэтому система совместна и определена (решение единственно). Выполним преобразования.

Первое уравнение оставим без изменения. Для того, чтобы избавиться от первого неизвестного во втором и третьем уравнениях, к ним прибавим первое, умноженное на -2 в первом случае и на -1 - во втором

x1 x2 x3 2x2 x3 12x2 3x3 5

Теперь избавимся от второго неизвестного в третьем уравнении. Для этого второе уравнение умножим на -2 и прибавим к третьему.

Получим эквивалентную заданной систему треугольного вида:

x1 x2 x3 2x2 x3 1x3 3

65

Решаем систему снизу вверх. Из третьего уравнения имеем x3 3 и, подставляя его во второе уравнение, находим x2 2 . Поставив найденные неизвестные в первое уравнение,

получим x1 1.

1 2 3 2

2 2 3 3

Проверка: Получили три тождества.

1 2 2 3 3

x1 2x2 4x3 12x 3x 2x 5

Пример Решить систему 1 2 3

3x1 7x2 22x3 4

Решение

для исключения первого неизвестного во второй и третьей строках (уравнениях) умножим первую строку расширенной матрицы на -2 и -3 и сложим полученные результаты со второй и третьей строками соответственно.

Следовательно, мы пришли к эквивалентной системе

Ее третье уравнение получено в результате сложения двух последних уравнений (строк).

66

Найдя r A 2 r A 3, мы приходим к выводу, что

система несовместна. Об этом же говорит и противоречие в третьем уравнении системы.

Умножим первую строку расширенной матрицы на 2 и -3, сложим полученные результаты со второй и третьей строками

Следовательно, мы пришли к эквивалентной системе,

x1 x2 2x3 x4 10x1 0x2 0x3 0x4 00x1 0x2 0x3 0x4 0

которая может быть представлена в виде

x1 x2 2x3 x4 1

поскольку два последних уравнения - истинные равенства.

67

Поскольку r A r A 1 постольку система совместна,

x3 1, x4 3 .

Однородные системы линейных уравнений

Системой однородных линейных уравнений называется система вида

a11x1 a12 x2 a13x3 0a21x1 a22 x2 a23x3 0

a31x1 a32 x2 a33x3 0

Ясно, что в этой случае 1 2 3 0 , т.к. все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю.

система имеет единственное нулевое решение x y z 0.

Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.

Пусть дана система двух однородных уравнений

a1 x b1 y c1 z 0a2 x b2 y c2 z 0

Введем обозначения

68

где t - произвольное число.

Каждое решение получается при определенном t .

Если все определители равны 0, то система сводится к одному уравнению и имеет бесконечно много решений (двум неизвестным придать произвольное значение, а третье можно найти из уравнения.

31 x 2 y 5z 0

Пример Решить систему

x 2 y 3z 0

Ответ: x 2t, y 7t, z 4t .

Общее решение однородной линейной системы

Рассмотрим однородную линейную систему

Отметим, что такая система всегда совместна, поскольку

являются линейными комбинациями, то есть следствиями предыдущих.

Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений:

69

Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо:

придавать любые произвольные значения.

Таким образом, система при r n является неопределенной.  Определение Неизвестные x1, x2 , xr коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы,

 Определение Решения системы называются линейно независимыми, если линейная комбинация

a1 X1 a2 X 21 ak X k дает нулевой столбец только при

Покажем, что число линейно независимых решений системы равно n – r. Действительно, рассмотрим столбцы вида

70