Blatov_lek
.pdf4x z 1 0 |
3x y z 4 0 |
|||
б) |
2 y 3 |
0 |
и |
. |
x |
y 2z 8 |
0 |
Ответы к задачам для самостоятельного изучения
1. |
а) |
x 2 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
z 3 |
, |
б) |
x 2 |
|
|
y |
|
z 3 |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
||||||||||||||
в) |
x 2 |
|
y |
|
|
z 3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
x 2t 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
y 7t 1; |
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||
|
x 8y 5z 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 2 y 3z 5 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
x 2 |
|
|
y 3 |
|
z 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
z |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
cos |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.x 4 y 3 z ; 4 3 5
8.x 2 y 3 z 4 ; 2 0 4
|
x 2 0 |
, |
|
x 2 |
|
y 5 |
|
z 3 |
|
||||||
9. |
а) |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y 5 0 |
|
|
|
4 |
|
6 |
|
9 |
|
|
||||
в) |
x 2 |
|
y 5 |
|
|
z 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
11 |
17 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. а) да, |
б) да. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121
Лекция 10 Взаимное положение прямой и плоскости
Углом между прямой и плоскостью
Пусть плоскость (Р) задана уравнением
Ax By Cz D 0
а прямая L - своими каноническими уравнениями
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
|
m |
n |
p |
|||
|
|
Требуется найти угол между прямой и плоскостью.
Определение Углом между прямой и плоскостью
назовем угол между прямой и ее проекцией на плоскость
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
угол |
|
между |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой и |
плоскостью не |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
превышает |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
n - |
нормальный |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор плоскости, а S - |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направляющий |
|
вектор |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т.к. cos |
|
|
|
|
sin , то |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin |
|
n |
S |
|
|
|
|
Am Bn Cp |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
S |
|
A2 B2 C2 m2 n2 p2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поставим задачу определить координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Поскольку точка пересечения одновременно принадлежит и |
||||||||||
прямой и плоскости, то ее координаты x, y, z |
удовлетворяют |
|||||||||
x x |
|
y y |
0 |
|
z z |
0 |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
системе уравнений |
m |
|
n |
|
|
p . |
|
|||
|
|
|
Cz D 0 |
|
|
|
||||
Ax By |
|
|
|
Запишем параметрические уравнения прямой
x x0 mt, |
y y0 nt, |
z z0 pt. |
Координаты точки пересечения x, y, z , найденные из уравнений прямой, должны удовлетворять уравнению
плоскости, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A x0 mt B y0 nt C z0 pt D 0. |
||||||||||||
Отсюда |
находим значение параметра t для точки |
|||||||||||
пересечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
Ax0 By0 Cy0 Cz0 |
|
||||||||
|
|
Am Bn Cp |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
и затем с помощью параметрических уравнений прямой |
||||||||||||
вычисляем координаты точки пересечения x, y, z . Возможны |
||||||||||||
случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
Am Bn Cp n S 0 , то прямая и плоскость |
|||||||||||
имеют точку пересечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если |
Am Bn Cp n S 0 и |
Ax0 By0 Cz0 D 0 , то прямая параллельна плоскости, но не принадлежит плоскости.
Если Am Bn Cp n S 0 и
Ax0 By0 Cz0 D 0 , то прямая параллельна плоскости и
точка x0 , y0 , z0 прямой удовлетворяет уравнению плоскости, т.е. прямая принадлежит плоскости.
Условие параллельности прямой и плоскости
векторы a l, m, n и |
N A, B,C должны быть |
перпендикулярны
Al Bm Cn 0
-условие параллельности прямой и плоскости.
123
Пример Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
3x 2 y 5z 6 0x 4 y 3z 4 0
и параллельно прямой |
x 1 |
|
y 5 |
|
z 1 |
. |
|
|
|
||||
3 |
2 |
|
3 |
Решение
Составим уравнение пучка плоскостей
3x 2y 5z 6 x 4y 3z 4 0
или
3 x 2 4 y 5 3 z 6 4 0
используем условие параллельности прямой и плоскости
Al Bm Cn 0
имеем
3 3 2 2 4 3 5 3 0
1,имеем
4x 6y 8z 10 0 .
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
Векторы a l, m, n и N A, B,C должны быть параллельны
Al mB Cn
-условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Пример Написать каноническое уравнение прямой, |
||||
проходящей |
через точку |
K 3; 7;7 |
перпендикулярно |
|
плоскости, |
содержащей |
точки |
L 6;2; 2 , M 1; 5;5 , |
|
N 2;3;1 . |
|
|
|
|
Решение
За вектор нормали плоскости, проходящей через точки L, M , N, можно взять вектор, коллинеарный вектору
LM LN :
124
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
LM 7i 7j 3k, |
|
LM 8i j 3k, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18i 45j 63k 9 2i 5j 7k |
|||||||||||
|
|
LM LN |
7 |
7 |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 2i 5j 7k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Вектор нормали |
к |
|
|
плоскости |
является направляющим |
|||||||||||||||||||||||||||||
вектором |
|
|
|
прямой |
|
S , |
проходящей |
через |
току |
K |
|||||||||||||||||||||||||
перпендикулярно плоскости |
L M N |
: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S : |
x 3 |
|
y 7 |
|
z 7 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
каноническое |
|
уравнение |
|
прямой. |
|||||||||||||||||
Ответ |
|
x 3 |
|
y 7 |
|
z 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Пример Написать общее уравнение плоскости, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
проходящей |
через |
|
|
|
точку |
L 3; 2;9 |
и |
прямую |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 5 |
|
y 6 |
|
|
z 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 5;6; 9 |
|
||||||||||||||
|
По условию прямая проходит через |
точку |
в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
направлении вектора |
|
|
s 4i 4 j k . Чтобы |
найти вектор |
|||||||||||||||||||||||||||||||
нормали |
|
|
|
|
|
плоскости, |
необходимо |
|
найти |
вектор |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
LM 8i 8j 18k , а затем векторное произведение |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
80i 64j 64k 16 5i 4j 4k |
||||||||||||||||||||||||
|
|
s LM |
4 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Следовательно, |
n 5i 4 j 4k |
- |
|
вектор |
нормали |
|||||||||||||||||||||||||||||
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 x 3 4 y 2 4 z 9 0, |
5x 4y 4z 0 |
- |
общее уравнение плоскости.
Ответ 5x 4y 4z 13 0 .
125
Пример Найти расстояние между прямыми:
|
x 5 |
|
y 5 |
|
z 8 |
, |
x 4 |
|
y 6 |
|
z 7 |
|
||
|
|
|
5 |
|
|
5 |
||||||||
7 |
|
2 |
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние |
p между |
прямыми |
равно |
длине вектора, |
соединяющего две точки, принадлежащие разным прямым, который имеет среди всех возможных векторов наименьшую длину.
Если найти плоскость P ,проходящую через одну прямую параллельно второй, то очевидно, что расстояние p между
прямыми будет равно расстоянию между этой плоскостью и произвольной точкой второй прямой. Найдем эту плоскость.
С этой целью ищем вектор нормали плоскости P :
|
i |
j |
k |
|
|
7 |
2 |
5 |
5i 5j 5k, n i j k. |
|
6 |
1 |
5 |
|
x 5 y 5 z 8 0, P : x y z 8 0 |
||||
|
|
|
|
-общее уравнение плоскости. |
Находим нормальное уравнение плоскости P : |
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, p |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Пример Найти расстояние от точки |
M 7; 1;8 |
до |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
прямой |
|
x 5 |
|
y 4 |
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найдем |
|
|
плоскость |
P , |
проходящую |
через |
точку |
M |
перпендикулярно заданной прямой L .
2 x 7 3 y 1 z 8 0, P : 2x 3y z 19 0
Найдем точку пересечения N прямой L и плоскости P . Для этого следует решить систему линейных уравнений:
126
x 5 2t |
|
|
|
y 4 3 |
|
|
|
z 1 t |
|
|
0 |
2x 3y z 19 |
|
x 2t 5 |
|
y 3t 4 |
z 1 t |
|
|
2 2t 5 3 3t 4 1 t 19 0 |
t |
20 |
|
|
5 |
|
32 |
|
27 |
|
|
, N |
|
, |
|
, |
|
. |
||
|
|
|
|
||||||
|
7 |
|
|
7 |
|
7 |
|
7 |
|
Расстояние p от точки M до прямой L равно MN , т.к.
|
44 |
|
39 |
|
29 |
|
|
|
4298 |
||
|
|
i |
j |
k, то p |
|
|
|||||
MN |
MN |
||||||||||
7 |
7 |
7 |
7 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: p
4298
7
Контрольные вопросы по теме «Прямая и плоскость»
1.Как вычислить угол между прямой и плоскостью?
2.Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Как выяснить, что прямая и плоскость имеют точку пересечения, прямая принадлежит плоскости, прямая параллельна плоскости и не принадлежит ей?
Задачи для самостоятельного |
изучения |
1. Доказать, что прямая |
x 3t 2, y 4t 1, z 4t 5 |
параллельна плоскости 4x 3y 6z 5 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 3y 2z 5 0 |
|
||
2. |
Доказать, что прямая |
|
лежит в |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y z 1 0 |
|
||
3. |
плоскости 4x 3y 7z 7 0 . |
|
|||||||||||||||
4. |
Найти |
точку |
|
пересечения прямой и |
плоскости: |
||||||||||||
|
а) |
x 1 |
|
y 1 |
|
z |
, |
2x 3y z 1 0 ; |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||
5. |
б) |
x 3 |
|
|
y 2 |
|
z 1 |
, x 2 y z 15 0 ; |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||
6. |
в) |
x 2 |
|
|
y 1 |
|
|
z 3 |
, x 2 y 2z 6 0 . |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
127
7.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 2;1) перпендикулярно к прямой
x 2 y z 3 0
8. .
x y z 2 0
9.При каких значениях A и D прямая
10.x 4t 2, y 4t 1, z t 3 лежит в плоскости
11.Ax 2y 4z D 0 ?
12.Найти проекцию точки M (3; 1;3) на прямую
13.x 3t, y 5t 7, z 2t 2 .
14.Найти проекцию точки M (5;2; 1) на плоскость
15.2x y 3z 23 0 .
16.Найти точку Q, симметричную точке P(1;3; 4)
17.относительно плоскости 3x y 2z 0 .
18.Найти уравнение плоскости, которая проходит через
19. |
точку M (3;1; 2) и через прямую |
x 4 |
|
y 3 |
|
z |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
1 |
|
|||||||
20. |
Проверить, что прямые |
x 3 |
|
y 1 |
|
z 2 |
|
и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
21. |
|
x 8 |
|
|
y 1 |
|
|
|
z 6 |
|
|
пересекаются, и написать |
||||||||||||||||||||
3 |
1 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22. |
уравнение плоскости, проходящей через них. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
23. |
Найти |
расстояние |
|
между |
|
|
двумя |
прямыми: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
y 1 |
|
z |
и |
x 7 |
|
|
y 1 |
|
z 3 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответы к задачам для самостоятельного решения |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. |
а) 2; 3;6 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
(3; - 2; 4); |
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
прямая |
параллельна |
|
|
|
|
5. |
(1; 4; - 7); |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6. |
(- 5; 1; 0 ); |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
плоскости, |
в) |
прямая |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7. |
x 9y 22z 59 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
лежит в плоскости; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
x 2y 3z 0 ; |
|
|
|
|
8. |
8x 22y z 48 0 |
|||||||||||||||||||||||||
3. |
A 3, D 23 ; |
|
|
|
|
9. |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128
Лекция 11 Кривые второго порядка
В этом параграфе будем рассматривать алгебраические линии второго порядка. Самое общее уравнение алгебраической линии второго порядка имеет вид
a11x2 2a12xy a22 y2 2a1x 2a2 y a0 0
Мы подробно рассмотрим кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса».
Аполлоний Пергский( 262г. до н. э.) -великий геометр античности, живший в III веке до н. э. Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Он ввѐл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.
Определение Геометрическое место точек, отношение расстояний которых от фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и равно числу e (эксцентриситету), является кривой второго порядка.
Если e < 1 то это эллипс, если e = 1 то это парабола, если e > 1
то это гипербола.
Окружность
Определение Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности.
Пусть центр окружности находится в точке C a, b .
Так как окружность есть множество |
|
точек |
M x, y , находящихся на |
расстоянии R (радиус окружности) от центра C a, b , то CM R , т.е
129
x a 2 y b 2 R2
уравнение окружности с центром в точке C a,b и
радиусом R .
Если центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение примет вид:
x2 y2 R2
Пример Найти координаты центра и радиус окружности x2 y2 6x 10y 15 0 .
Решение В данном уравнении выделим полные квадраты, прибавляя и вычитая соответствующие числа.
Получаем
x2 6x 9 y2 10 y 25 9 25 15 0,
x 3 2 y 5 2 49
Отсюда, находим a 3,b 5, R 7 .
Эллипс
Определение Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).
130