Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лекцияТЭЦ_2частьИКТ_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

σ− j∞

относительно функции

∫

F ( p)e pt dp

σ+ j∞

						21	/117
Операторный метод анализа переходных процессов. Преобразования Лапласа
В основе операционного метода расчёта переходных процессов лежит преобразование
Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного
t в обрасть комплексного переменного p = σ + jω .
При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются
соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменногона
оператор p, что существенно упрощает расчёт, так как сводит систему дифференциальных
уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения
постоянных интегрирования.						(t )
Рассмотрим кусочно-непрерывную однозначную функцию f						(t )
		f(t)
	0			t
				t		f (t ) dt < ∞ .
Пусть эта функция удовлетворяет условиям:			f (t ) = 0 , если t < 0 и ∫			f (t ) dt < ∞ .
Прямым преобразованием	Лапласа	F ( p)	функции	f (t )	является функция комплексной
∞
переменной вида: F ( p ) = ∫ f	(t )e− pt dt .
0
Интеграл такого типа абсолютно сходится в полуплоскости Re p = σ > σ0
		Im
		0	σ0	Re

f (t ) удовлетворяет условию ограниченного роста, то есть		f (t )	< Meσot				, где M –		множитель, σ0 –

показатель роста – положительные действительные числа;	f (t ) –			оригинал,				F ( p) – изображение
по Лапласу. Функция имеет ограниченный рост, если показатель роста конечен.
				(		) i (		)	i
Для сокращения записи преобразований используем:				f	t		i	p ,	i	– знак
							= F		где =
соответствия между оригиналом f (t ) и его изображением				F ( p) ,			то	есть	парой	функций

действительного переменного t и комплексного переменного p, связанных преобразованием Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа (Формула Римана-Меллина): f (t ) = 1 2πj

∞

представляет собой решение интегрального уравнения F ( p ) = ∫ f (t )e− pt dt

f (t ) . Правая часть в выражении, называется интегралом Бромвича-Вагнера.

За путь интегрирования может быть принята любая бесконечная прямая, параллельная мнимой оси, расположенная на расстоянии σ > σ0 от последней, так чтобы все особые точки

функции F ( p) оставались левее пути интегрирования. Интеграл, понимается в смысле главного значения, то есть как предел интеграла вдоль отрезка (σ − jω, σ + jω) при ω → ∞ .

22 /117

При практическом применении преобразования Лапласа путь интегрирования вдоль прямой, параллельной оси мнимых величин, заменяется замкнутым контуром, что даёт применить теорему о вычетах. Возможность такой замены основывается на лемме Жордана.

Контур интегрирования должен охватывать все полюсы подинтегралыюй функции, то есть точки p1 , p2 ,..., pk плоскости комплексного переменного, в которых подинтегральная функция

	1	σ+ j∞
выражения f (t ) =	1	∫ F ( p) e pt dp обращается			в бесконечность. Вычисление интеграла при
выражения f (t ) =	2πj	∫ F ( p) e pt dp обращается			в бесконечность. Вычисление интеграла при
	2πj	σ− j∞
		σ− j∞
этом сводится к определению				суммы вычетов	(обозначаемых буквами res ) подинтегральной
	1			n
функции в полюсе	1		F ( p )e pt dp = ∑ resk (F ( p) e pt )
функции в полюсе	2πj ∫		F ( p )e pt dp = ∑ resk (F ( p) e pt )
	2πj ∫			k =1

МЕЛЛИН Роберт Хильмар (Robert Hjalmar Mellin)

Георг Фридрих Бернхард Риман (Georg-Friedrich- 1854-1933, финский математик

Bernhard Riemann) 1826-1866 немецкий математик.

МариЭнмо нКами ль(Камилл)	Томас Джон Иансон Бромвич	Ви кторВлади мировичВа гнер
Жорда н(Marie Ennemond	(Thomas John I'Anson	1908-1981, советский математик
Camille Jordan, 1838-1922,	Bromwich) 1875-1929,
французский математик	английский математик

Свойства преобразования Лапласа:

	i	n
1. Линейность. Если	i	∑ k
	i	a f
	f (t ) = F ( p) , то	a f
		k =1

(t ) =ii ∑ ak F ( p ) .

k =1

df (t )

2. Дифференцирование оригинала. Если

f (t )

= F ( p) , то

= pF ( p ) − f (0

−

) .

∞

i F ( p)

(

) i

(

)

∫

(

)

3. Интегрирование оригинала. Если f

= F

то

dt =

4. Сжатие. Если f (t ) =i

F ( p) , то

f (at )

5. Запаздывание. Если

f (t )

( p) , то

f (t ± t

)

± pt0

= F

= F ( p)e

(

) i

(

)

( )

) i

(

6. Смещение. Если f t

то F

= F

p ± λ = f

( p)

(τ)

(t − τ) d τ .

7. Свёртка. Если f (t ) = F ( p) , то F ( p) F

∫

23 /117

Предельные соотношения:

lim pF ( p) = lim f (t ) ,
p→∞	t→0
lim pF ( p) = lim f (t ).
p→0	t →∞

Оригиналы, изображения единичной функции Хевисайда, δ-функции Дирака и

экспоненциального импульса

Функция Хевисайда:

1(t)

1(t−t0)

∞

− pt

F ( p ) = ∫1(t )e

dt = -

, то есть

1(t ) =i

− pt0

Согласно свойству запаздывания 1(t - t

) =

t < 0

t < t0

δ-функция Дирака d(t ) =

¥,

t = 0 ,

d(t - t0 ) =

¥,

t = t0 .

t > 0

t > t0

δ(t)

δ(t−t0)

Связь с функцией Хевисайда: d(t ) = lim

1(t ) -1(t - t)

d1(t )

τ→0

∞

δ-функция Дирака –

единичная импульсная функция: ∫ d(t ) dt = 1.

∞

−∞

∞

Фильтрующие свойства δ-функции: ∫ d

(t ) f (t ) dt = f (0) , ∫ d(t - t0 ) f (t ) dt = f (t0 ) .

−∞

∞

Изображение δ-функции: F ( p ) = ∫ d(t )e− pt dt = e0 = 1, то есть d(t ) =i 1.

0
Согласно свойству запаздывания d(t - t		i	− pt0	.
Согласно свойству запаздывания d(t - t	0	) = e		.
	0	i

Экспоненциальный импульс

0,			t < 0,
f (t ) =	−αt	,	t ³ 0,
e

∞

F ( p ) = ∫ e

f(t) 1

−αt		− pt		1		−αt	i		1
	e		dt =		, то есть e		=i			.
	e		dt =	p + a	, то есть e		=i	p + a		.
							αt	i	1
Доказать самостоятельно! e								=i
Доказать самостоятельно! e								=i	p - a

24 /117

Теорема разложения

Представим

изображение

F ( p)

виде

дробно-рациональной

функции:

( p)

a pn + + a

F ( p ) = F

( p )

= b pm + + b .

Разложим

F ( p)

на

простые

дроби:

F ( p ) = ∑

где

pk –

простые корни

k =1 p - pk

характеристического уравнения:

( p) = b pm +…+ b = 0 ,

A –

коэффициенты разложения.

Домножим и лекую и правую часть на p - pk

( p)

lim ∑( p - pk )

= lim ∑ Ak ,

( p)

p→ pk k =1

Используем правило Лопиталя

( p - p ) F ( p)

m (( p - p ) F ( p))¢

( p - p )¢ F ( p ) + ( p - p )(F ( p))¢

lim ∑

= lim ∑

p→ pk k =1

(F2 ( p))¢

p→ pk k =1

(F2 ( p))¢

p→ pk k =1

(F2 ( p ))¢

F1 ( p) + ( p - pk )(F1 ( p ))¢

= lim ∑

= lim ∑ Ak

(F2

( p))¢

p→ pk k =1

→ pk k =1

dF2 ( p)

отсюда определяем:

F1 ( pk

)

= Ak ,

где (F2 ( pk ))¢

(F2 ( pk ))¢

p= pk

F ( p ) =

( p)

F1 ( pk )

Подставим значения Ak

в F ( p) , получим:

∑

(F2 ( pk ))¢

( p)

k =1

p - pk

С учётом свойства линейности и

, получим выражение для оригинала:

p - pk

f (t )

F1 ( pk )

= ∑

e pk t

– формула определения оригинала по его изображению.

(F2 ( pk ))¢

k =1

Если корни pk

и pk +1 –

комплексно-сопряжённые, то оригинал определяется по формуле:

F1 ( pk )

F1 ( pk +1 )

F1 ( pk )

f (t ) =

e pk t +

e pk+1t = 2 Re

e pk t .

(F2 ( pk ))

(F2 ( pk +1 ))

(F2 ( pk ))

Пример: задано изображение в виде: F ( p ) =

p + 2

( p)

p ( p2 + 5 p + 4)

( p)

Определим корни уравнения F2 ( p) = 0 :

p1 = 0 ,

p2 = -1 , p3

= -4 .

Определим

производную

(F2 ( p))¢ = 3 p2 +10 p + 4 ,

где

(F2 ( p1 ))¢ = 4 ,

(F2 ( p2 ))¢ = -3 ,

(F2 ( p3 ))¢ = 12 . Оригинал определяем по теореме разложения:

f (t )

F1 ( p1 )

e p1t +

F1 ( p2 )

e p2t +

F1 ( p3 )

e p3t =

e−t -

e−4t

(F2 ( p1 ))¢

(F2 ( p2 ))¢

(F2 ( p3 ))¢

2 3

25 /117

Расчёт переходных процессов операторным методом

Операторные схемы замещения элементов электрических схем

Элемент схемы

Операторное сопротивление Z ( p)

Операторная проводимость Y ( p)

R= G

Операторные схемы замещения по заданной схеме

Исходная схема

Операторные схемы замещения

i(t)

I(p)

I(p) R

U(p)

u(t)

U(p)

I ( p ) =

U ( p)

u (t ) = Ri (t )

U ( p) = RI ( p )

U(p)

i(t) L

I(p) L

Li(0+)

I(p)

u(t)

U(p)

i(0+)

di (t )

u (t ) = L

U ( p) = pLI ( p) − Li (0+ )

I ( p) =

U ( p)

i (0+ )

i(t)

I(p)

u(0+)

U(p)

u(t)

U(p)

I(p)

Cu(0+)

u (t ) = u (0+ ) +

i (t0 ) dt0

(0+ )

∫0

U ( p) = I ( p)

I ( p) = pCU ( p) − Cu (0

)

i(t)

e(t)

I(p) E(p)

u(t)

U(p)

–

u (t ) = e (t )

U ( p) = E ( p)

i(t)

j(t)

I(p) J(p)

–

u(t)

U(p)

i (t ) = j (t )

I ( p) = J ( p )

Пример. Составить операторную схему замещения цепи после коммутации

e(t)

В случае нулевых начальных условий: Ri (t ) + L

(

t )

t i (t0 ) dt0 = e (t ) .

∫

26 /117

Применим преобразование Лапласа, получим: RI ( p) + LpI ( p) +

I ( p) = E ( p ) .

E ( p)

Закон Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях:

I ( p) =

R + pL +

Z ( p )

где Z ( p) – операторное сопротивление.

Y ( p) =

– операторная проводимость.

Z ( p )

R + pL +

I и II законы Кирхгофа в операторной форме соответственно:

n	n
∑ Zk ( p ) Ik ( p) = ∑ Ek ( p ) .
k =1	k =1

∑ Ik ( p ) = 0 ,

k =1

В случае ненулевых начальных условиях, то есть i (0) ¹ 0 , uC (0) ¹ 0 :

Ri (t ) + L

di (t )

i (t0 ) dt0 = e (t ) , Ri (t ) + L

di (t )

i (t0 ) dt0 + uC (0) = e (t ) .

C −∞∫

∫0

uC (0)

Применяя преобразование Лапласа, получим: RI ( p) + LpI ( p ) - LiL (0) +

I ( p ) +

= E ( p) .

uC (0)

E ( p) + LiL (0) -

Eэк ( p)

Изображение для тока: I ( p) =

R + pL +

Z ( p)

Соответствующая операторная схема замещения цепи после коммутации:

R I(p)

		pL
E(p)	uC(0)	LiL(0)


	p
	p

1 pС

Операторные передаточные функции

Операторная передаточная функция (ОПФ) определяется как отношение изображения выходной реакции цепи к изображению входного воздействия.

	I1(p)		I2(p)
U1(p)		Четырёх-		U2(p)
		полюсник
		полюсник

KU ( p) =

( p)

, KI ( p) =

( p )

, KZ ( p) =

( p)

, KY ( p) =

( p )

( p)

( p )

( p)

27 /117

Представим ОПФ в виде:

K ( p) =

pn + a

n−1

pn−1 +…+ a p + a

W ( p )

, либо K ( p) = H

( p - p01 )( p - p02 )…( p - p0n )

pm−1 +…+ b p + b

V ( p )

( p - p )( p - p

)…( p - p

)

b pm + b

m−1

где p

, p

, …,

–

нули, p , p , …, p

– полюса ОПФ;

H =

Свойства ОПФ

1.ОПФ является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами

2.Полюсы ОПФ располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной p.

3.Степень полинома числителя ОПФ не превышает степень полинома знаменателя.

Пример

u1(t)

(t)

U2(p)

( p)

U1 ( p)

U1(p)

pС

KU ( p) =

( p)

pC U1

1+ pRC

Самостоятельно определить! KI ( p ),

KZ ( p),

KY ( p )

Для определения KI ( p) и KY ( p ) необходимо замкнуть накоротко выходные зажимы.

Лекция 3

Временной метод анализа переходных процессов. Переходная и импульсная характеристика электрической цепи

Переходной характеристикой h (t ) называется реакция линейной электрической цепи на

входное воздействие в виде функции Хевисайда.

1(t)

ЛЭЦ

h(t)

U1(p)

ЛЭЦ

U2(p)

( p)

KU ( p) =

, откуда U

2 ( p) = KU

( p)U1 ( p) = KU ( p)

, откуда

( p)

i KU ( p )

(t ) =

– переходная характеристика по напряжению.

( p)

KZ ( p)

KY ( p)

i KI

(t ) =

Импульсной характеристикой

g (t )

называется реакция линейной электрической цепи на

входное воздействие в виде δ -функции Дирака.

δ(t)

ЛЭЦ

g(t)

U1(p)

ЛЭЦ

U2(p)

( p)

KU ( p) =

, откуда U

2 ( p) = KU ( p)U1 ( p) = KU ( p )×1 , откуда

( p)

28 /117

g		i		( p) – импульсная характеристика по напряжению.
	u	(t ) = K	U
		i

gi (t ) =ii KI ( p) , gz (t ) =ii KZ ( p ) , gy (t ) =ii KY ( p)

d1(t )

dh (t )

d1(t )

dh (t )

Поскольку δ (t ) =

, то g (t ) =

(h (t )1(t )) =

h (t ) +1(t )

= δ (t ) h (t ) +

Учитывая фильтрующее свойство δ -функции δ (t ) h (t ) = δ (t ) h (0) , получим:

g (t ) = δ (t ) h (0) +

dh (t )

– связь между импульсной и переходной характеристикой.

Пример

h(t)

1(t)

U1(p)

U2(p)

pС

KU ( p )

Поскольку K

( p) =

, то h

(t ) =

p(1+ pRC)

+ pRC

Определим оригинал по теореме разложения:

F ( p ) =

( p)

– изображение.

( p )

p(1+ pRC)

Корни полинома знаменателя:

p = 0 , p = −

Определим производную: (F2 ( p))′ = 2 pRC +1 , причём (F2 ( p1 ))′ = 1, (F2 ( p2 ))′ = −1 .

Переходная характеристика по напряжению: h (t ) =

−

e0t +

= 1− e τC , где τ = RC .

(−1)

(t ) = h (0)δ (t ) +

dhu (t )

e−

Импульсная характеристика по напряжению:

τC

Интеграл Дюамеля

Жан Мари Констан Дюамель

Другое имя:

Жан Мари Констант Дюгамель

(Jean Marie Constant Duhamel), 1797-1872,

французский математик.

Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимировать приложенное воздействие f1 (t ) с помощью единичных функций, сдвинутых относительно друг друга на время Δτ .

29 /117

	f1(t)	fk
		fk
	f2
	f1
f1(0)
0	Δτ 2Δτ	kΔτ	t

Реакция цепи на каждое ступенчатое воздействие определится как

f2 (0) = f1 (0) h (t ) ,

f2 (Δτ) = f1h (t − Δτ),

f2 (kΔτ) = fk h (t − kΔτ).

Результирующая реакция согласно принципу наложения: f2 (t ) = f2 (0) + ∑ f2 (kΔτ) , то есть

k =1

f2 (t ) = f1 (0) h (t ) + ∑ fk h (t − kΔτ) ,

k =1

где n –

число аппроксимирующих участков, на которые разбит интервал 0…t . Домножив и

разделив на Δτ перейдём пределу, где Δτ → 0 :

(t )

= f1

(0) h (t ) + lim

h (t − kΔτ) Δτ .

∑

Δτ→0

k =1

Δτ

В этом случае kΔτ → τ , а lim

= f

′ ( τ) , сумма заменяется интегралом и в итоге получаем

Δτ→0

Δτ

f2 (t ) = f1 (0) h (t ) + ∫ f1′(τ) h (t − τ) d τ –

I форма интеграла Дюамеля.

Вторая форма интеграла Дюамеля получается с помощью теоремы свёртки

Если

f (t ) = F ( p) , то

(t − τ) f

(τ) d τ = F

f (τ) f

(t − τ) d τ .

( p ) F ( p) =

∫

i 1

i ∫

f2 (t ) = f1 (0) h (t ) + ∫ f1′(t − τ) h (τ) d τ

–

II форма интеграла Дюамеля.

Интегрируя по частям, для произвольных переходных характеристик h (t ) получим:

f2 (t ) = f1 (t ) h (0) + ∫ f1

(τ) h′ (t − τ) d τ

–

III форма интеграла Дюамеля.

f2 (t ) = f1 (t ) h (0) + ∫ f1

(t − τ) h′ (τ) d τ

–

IV форма интеграла Дюамеля.

Практический выбор формы интеграла Дюамеля определяется из соображений простоты вычисления подынтегральных выражений.

Рассмотрим применение интеграла Дюамеля для расчёта переходных процессов при произвольных воздействиях.

f2 (t ) = ∫

u2 (t ) = L

30 /117

f1(t)

F1 f1(0) f11(t)

0	t1	t2	t
		F2

Выделяем следующие интервалы

1. t < 0 , f2 (t ) = 0 .

																							t
2. 0 ≤ t ≤ t1 , f2 (t ) = f1 (0) h (t ) + ∫ f11 '(τ) h (t − τ) d τ .
																							0
		1			2			2	(	)		1 (			)		(		)				t1	11 (			)		(				)					1		(			1 )				t		22		(	)		(					)
		1	< t < t		2			2	(	)		1 (			)		(		)		+		∫	11 (			)		(		− τ		)					1		(			1 )		+		∫		22		(	)		(		− τ			)			τ .
3. t			< t < t				f	t			= f			0		h		t			+			f		' τ		h		t	− τ			d τ + F h							t − t				+			f			' τ		h		t	− τ				d		τ .
		t2 < t < ∞ ,																					0																								t1
4.		t2 < t < ∞ ,
	2	(	)	1 (			)		(	)		t1	11		(		)			(					)				1		(			1 )			t2		22		(		)		(					)				2		(					2 )			t		33	(	)		(		)
	2	(	)	1 (			)		(	)	+	∫	11		(	τ	)			(			− τ		)				1		(			1 )		+	∫		22		(		)		(		− τ			)				2		(		− t			2 )		+	∫		33	(	)		(	t − τ	)	d τ
f	t			= f		0		h	t		+		f	'		τ		h				t	− τ			d τ + F h						t − t				+		f			' τ			h		t	− τ				d τ − F h						t	− t					+		f		'τ		h		t − τ		d τ
												0																									t1																											t2
															Интегрирующие и дифференцирующие цепи
																																			ЛЭЦ							f2(t)
																												f1(t)							ЛЭЦ							f2(t)

f2 (t ) = df1 (t ) – дифференцирующая цепь; dt

f1 (t ) dt – интегрирующая цепь;

Дифференцирующие цепи

i(t) R
u1(t)	L	u2(t)

di (t ) – выходное напряжение dt

Запишем уравнение Кирхгофа в операторной форме:

U1 ( p) = I ( p ) R + I ( p) pL = UR ( p ) + UL ( p) , потребуем

чтобы UR ( p ) UL ( p) , то есть R pL , тогда U1 ( p ) ≈ I ( p) R , откуда I ( p) ≈ U1 ( p) .

U2 ( p) = I ( p) pL = U1 ( p) pL = τL pU1 ( p ) . R

На основании теоремы о дифференцировании оригинала получаем: u2 (t ) = τL du1 (t ) . dt

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.201971 Кб5Лекция 9. ПетрI и просвещенный абсолютизм.doc
#
14.11.201886 Кб9Лекция 9.doc
#
21.11.2018724 Кб6Лекция на 11.doc
#
01.07.2025763 Кб3Лекция по правоведению.doc
#
26.09.20191 Мб10Лекция_практика_Visual Foxpro.doc
#
10.06.20152 Мб13лекцияТЭЦ_2частьИКТ_1.pdf
#
10.06.20151 Мб18лекцияТЭЦ_2частьИКТ_2.pdf
#
01.05.2025503 Кб3Лерочка-милая девочка.docx
#
28.08.2019176 Кб13Лиманский.docx
#
10.06.2015562 Кб16Линейные массивы.pdf
#
17.04.2019105 Кб10лк_17_18_19.doc