лекцияТЭЦ_2частьИКТ_1

Ri

(t ) + u

(t ) = E , поскольку u

(t ) = L

diL (t )

, то Ri

(t ) + L

diL (t )

= E – НДУ, его решение ищем

L

L

L

dt

L

dt

R

E

К.З.

Индуктивность заменяем перемычкой. На основании закона Ома: i

(t ) = lim i

(t ) = E

– конечное

Lпр

t →∞ L

R

R + Lp = 0 , откуда p = −

R

= −

1

[c−1], где τL

=

L

[c] – постоянная RL-цепи.

τL

L

R

13

/117

Поскольку корень

характеристического

уравнения

вещественный,

то i

− R t

–

(t ) = Ae pt = Ae L

Lсв

свободная составляющая переходного тока.

VI этап.

Общий

вид

переходного

тока

в

индуктивности

определяется

в

виде:

(t ) = i

(t ) + i

R

+ E .

i

(t ) = Ae− L t

L

Lсв

Lпр

R

VII этап.

Определим const A , используя начальное условие i (0) = 0 . i

R

0 + E , откуда A = − E .

(0) = 0 = Ae− L

L

L

R

R

VIII этап.

Подставим const в общий вид переходного тока, тогда

iL (t ) = −

E

− R t

+

E

=

E

− R t

окончательное решение

e

L

1− e

L –

R

R

R

Осуществим проверку полученного решения задачи.

iL (0) =

E

− R 0

= 0 – удовлетворяет начальному условию;

R

1− e L

iL (∞) =

E

− R ∞

=

E

1− e L

– удовлетворяет конечному условию;

R

R

Можно определить переходные напряжения на индуктивности и резисторе:

uL (t ) = L

di

t

− R t

− R t

L (

) = Ee L , uR (t ) = RiL (t )

= E 1− e L .

dt

Построим графики этих напряжений:

u(t)

E

B

E

C

e

τ

τ

τL

3τL

5τL

t

L

L

Переходной процесс завершается за время 3τL …5τL !!!

K

R

L

E

По II закону Кирхгофа Ri

(t ) + u

(t ) = 0 , отсюда Ri

(t ) + L ×

diL (t )

= 0 – ОДУ.

L

L

L

dt

Решение ОДУ определяется видом характеристического уравнения:

R + pL = 0 , p = -

R

= -

1

.

L

tL

i (t ) = Ae pt , где A определяется из начального условия i

(0) =

E

.

L

L

R

(t ) =

E

−

t

(t ) = L

di

−

t

−

t

Окончательное решение i

e τL , u

L

L

= -Ee τL , u

R

(t ) = Ri

(t ) = Ee τL .

L

R

dt

L

0

5τL

t

По II закону Кирхгофа Ri

(t ) + u (t ) = E , отсюда RC

duC (t )

+ u

(t ) = E – НДУ.

C

C

C

dt

Общий вид решения: uC (t ) = uCсв (t ) + uС

(t ) .

пр

Определим свободную составляющую:

RC

duCсв (t )

+ uCсв (t ) = 0 –

ОДУ, характеристическое уравнение RCp +1 = 0 ,

dt

uСсв (t ) = Ae pt , p = −

1

= −

1

.

RC

τC

Принуждённая составляющая при t → ∞ : uCпр

(t ) = lim uC (t ) = E – конечное условие.

t →∞

(t ) = Ae−

t

(0) = 0 .

+ E , где A = −E из начального условия u

Общий вид реакции: u

C

τC

C

t

t

Окончательное решение uC (t ) = E − Ee−

, uR (t ) = E − uC (t ) = Ee−

.

τC

τC

0

3τL

5τL

t

По II закону Кирхгофа R i

(t ) + u

(t ) = 0 , отсюда RC

duC (t )

+ u

(t ) = 0 – ОДУ.

C

C

C

dt

Характеристическое уравнение: RCp +1 = 0 , откуда p = −

1

= −

1

.

RC

τC

u

С

(t ) = Ae pt , где A = E определяется из начального условия u

(0) = E .

C

t

t

Окончательное решение uC (t ) = Ee−

, uR (t ) = −uC (t ) = −Ee−

.

τC

τC

u(t)

E

0

t

t =

1

ln

p2

, t

2

= 2t .

1

p1

− p2

p1

1

Если R = R

= 2

L

, то имеет место критический процесс.

кр

C

Свободная составляющая определяется u

Cсв

(t )

= ( A + A t ) e pt .

1 2

Общий вид реакции: u (t ) =

( A + A t ) e pt

+ E , где p = p = p

= −

R

.

2

C

1

2

1

2L

Для определения A1 и A2 составим еще одно уравнение:

duC (t )

= A e pt + p ( A + A t )e pt , поскольку i

(t )

= i (t ) = C

duC

, то

dt

2

1

2

L

C

dt

iL (t ) = C ( A2e pt

+ p ( A1 + A2t )e pt ) , так как iL (0) = 0 , uC (0) = 0 получаем систему:

A1 + E = 0,

откуда A1 = −E , A2 = pE .

A2 + pA1 =

0,

i

(t ) =

E

te pt –

переходной ток в индуктивности. Доказать самостоятельно!

L

L

uL

(t ) = L

diL (t )

= L

E

(e pt + tpe pt ) = E (1+ pt )e pt – переходное напряжение на индуктивности.

dt

L

u

(t ) = i

(t ) R =

ER

te pt – переходное напряжение на резисторе.

R

R

L

R

1

R 2

2

2

p1, 2 = −

± j

−

= −σ ± j ω0

− σ

= −σ ± jωсв

,

LC

2L

2L

R

1

R

2

1

2

2

где σ =

, ωсв

=

−

= ω0

− σ

,

ω0 =

.

LC

2L

2L

LC

Решение определяем в виде: u

C

(t ) = Ae−σt sin (ω t + ψ) + E , здесь

св

ωсв

– угловая частота свободных (собственных) колебаний;

σ –

показатель затухания контура;

1

–

постоянная времени колебательного контура.

σ

Составим второе уравнение для определения неизвестных коэффициентов:

iL (t ) = iC (t ) = C

duC (t )

= CAe−σt

(ωсв cos (ωсвt + ψ) − σ sin (ωсвt + ψ)) .

dt

Из нулевых начальных условий получим систему уравнений:

0 = Asin ψ + E,

ωсв

A = −

E

0 = CA(ω cos ψ − σ sin ψ )

, ψ = arctg σ

,

.

sin ψ

св

Поскольку ωсв cos ψ − σ sin ψ = 0 , то ωсв

1− sin2 ψ

= σ sin ψ , ωсв2

(1− sin2 ψ) = σ2 sin2 ψ .

После преобразований получим уравнение: ωсв2 = (σ2 + ωсв2 ) sin

2 ψ , откуда sin ψ =

ωсв

.

σ2 + ωсв2

ωсв

ωсв

ωсв

Последнее выражение приведем к виду:

=

=

, следовательно

ω0

σ2 + ω2

σ2 + ω2 − σ2

св

0