2 Регулярные грамматики и языки

2.1 Регулярные выражения

Регулярный язык Lв некотором алфавитепредставляет собой регулярное множество строк.

Определение Регулярное множество есть, либо {}, либо {а} для некоторогоа, либо множество, которое можно получить из указанных множеств путем применения конечного числа операций сцепления, объединения и итерации.

В основе метода определения регулярности заданного языка лежит лемма о разрастании языка.

2.2 Лемма о разрастании языка

В достаточно длинной строке регулярного языка всегда можно найти непустую подстроку, повторение которой произвольное количество раз порождает новые строки того же самого языка.

Пример ЯзыкL₁= {a^mbⁿ |m,n0} – регулярный, т.к., например, в строкеaabbbповторение любой подстроки, образованной только из нулей или единиц, порождает строки (aaaabbb,aaabbb,aabbbb,aabbbbbbи т.д.) языкаL₁.

Язык L₂= {aⁿbⁿ |n1} – не регулярный, т.к. Действительно, любая итерация подстроки, состоящей только из нулей или единиц, нарушает баланс нулей и единиц. Подобные действия со смешанными подстроками, содержащими нули и единицы, приводят к нарушению порядка следования нулей и единиц. Таким образом, для языкаL₂ не строк, удовлетворяющих условиям леммы.

Удобным средством формального определения регулярных языков являются регулярные выражения.

Определение Регулярные выражения над алфавитомопределяются следующим образом:

1) - регулярное выражение (обозначает пустоте регулярное множество);

2) - регулярное выражение (обозначает регулярное множество {}, состоящее из пустой строки);

3) а- регулярное выражение (обозначает множество {а});

4) если pиq– регулярные выражения, обозначающие множестваPиQ, то посредством операций над выражениями определяются выражения следующих трех типов:

а) p|qилиp+q– регулярное выражение (обозначает объединениеPQ), где символ | или + называют операциейили(альтернативы);

б) pqилиpq – регулярное выражение (обозначает множествоPQ= {xy|xP,yQ}), где символ «точка» (возможно умалчиваемый) называют операциейсцепления(конкатенации);

в) p^*- регулярное выражение (обозначает множествоP^*), где символ «*» называют операцией итерации.

Соотношение между регулярными языками и регулярными выражениями устанавливает теорема Клини.

Теорема Клини. Каждому регулярному языку из^*соответствует регулярное выражение над множеством.

Пример Примеры регулярных выражений и их значений представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Примеры регулярных выражений

Регулярное выражение	Значение регулярного выражения
01	единственная строка 01
0|1	две строки: 0 и 1
1*	строки, образованные из единиц, включая пустую строку
(0|1)*	строки, образованные из символов 0 и 1, включая пустую строку
0|1*	строки, состоящие из нуля и любой строки единиц, включая пустую
0|1*	строки, состоящие из нуля и любой строки единиц, включая пустую
(0|1)*011	строки, образованные из символов 0 и 1, включая пустую, обязательно оканчивающиеся строкой 011

В практических приложениях вводятся дополнительные соглашения относительно записи регулярных выражений, например, запись вида р⁺используется для обозначения выражениярр^*.