«Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел»

Классическим примером, которым можно проиллюстрировать признак Вейерштрасса, яаляется последовательность

.

Выстраивая члены этой последовательности в “ряд” замечаем (и это можно строго доказать), что ее члены монотонно возрастают и ограничены “сверху” числом 3. Следовательно, она имеет предел. Этот называется Эйлеровым числом и обозначается буквой. Заметим попутно, что логарифм любового числапо основаниюназывается натуральным логарифмом и обозначается. Итак, по определению

=

Последнее выражение часто называют вторым замечательным пределом. Введя новую переменную , второй замечательный предел можно переписать так:

Эту запись читается так: “предел функции у = (1+х) в точке х₀ = 0 равен ”. Заметим, что фукция здесь не определена в точке х₀ = 0. “Обозвав” “дельта окрестностью точки х₀” интервал (х₀ – δ, х₀ + δ) и обозначив этй окрестность символом δ_окр (х₀) определим lim f (х) в очке х₀ так

Число А называется пределом функции f (х) в точке х₀ (при х→х₀), если по любому ε> 0 найдется такая δ_окр (х₀) будет выполнять неравенство

|f(x) - А|<ε

Этот факт записывается так:

Если под окрестностностью понимать интервал (к,), то приведенное определение “годится” и для случая, что “разрешает” запись

.

Примеры: 1. ; 2., 3..

Последний пример, приведенный здесь без доказательства, называется первым замечательным пределом. Заметим (второй и третий примеры), что переменные истремятся к 0, то есть

и .

Назовем такие переменные, имеющие пределом ноль, бесконечно малыми (б.м.) переменными величинами. Их обычно обозначают греческими буквами - α, β, γ,... Из определения предела переменной (последовательности, функции) следует так называемый

Характеристический признак существования предела.

Для того чтобы число А являлось пределом переменной у, необходимо и достаточно чтобы переменная была представима в виде

у = А +

где - бесконечно малая переменная величина.

Свойства бесконечно малых.

1. Конечная сумма бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малых на величину ограниченную есть бесконечно малая.

С их помощью можно доказать

Свойства переменных, имеющих предел

1. lim ( х + у) = lim х + lim у,

2. lim ( х · у) = lim х · lim у,

3. .

Если переменная в процессе изменения делается и остается больше любого задуманного положительного числа М, то она называется бесконечно большой переменной, что записывается так:

lim у = ∞

Соответственно уточняются понятия

Очевидно, что величины обратные бесконечно малым положительным переменными будут бесконечно большими переменными и наоборот.

Свойства бесконечно больших.

1. Сумма бесконечно больших переменных величин есть бесконечно большая переменная величина.

2. Произведение бесконечно больших п.в. на величину ограниченную есть бесконечно большая переменная величина.

Однако, если х и у бесконечно большие п.в., а α и β бесконечно малые п.в., то ничего заранее нельзя сказать про значения:

; ;;

; ;.

Эти “не найденные” значения обозначают “неопределенностями” м обозначают соответственноКроме них есть еще одна “замечательная” неопределенность, обозначаемая символом. Это “ещё” на найденный, где.

К ней относился бы и второй замечательный предел: до его вычисления. Проиллюстрируем правила раскрытия неопределенностей несколькими примерами:

1.

2.

,

3.

.

Заметим, что мы во всех примерах использовали “арифметические” свойства пределов лишь после уничтожения всех неопределенностей.

Введем ещё несколько практически важных понятий. Прежде всего опишем