Азы дифференциального исчисления функции нескольких переменных. Основные определения

Назовём функцией двух переменных, напримерилиправило по которому каждому упорядоченному набору значений этих переменных ставится в соответствие единственное и четко определённое значение третьейпеременной (например z).

Записывают это соответственно как или.

Здесь как и ранее f символ правила- функции. Например - или.

Область D на плоскости О_ху будем считать областью определения функции двух переменных х и у, если для координат (х,у) всех точек этой области выражение f (х,у) имеет смысл (определено).

Так, для функции

, , то есть круг радиуса 2.

Для функции , то есть первая и третья «четверти» координатной плоскости

Графиком функции двух переменных называется множество точек вида, где.

Как правило, это - поверхность, лежащая «над» областью D.

Пример. Графиком функции ,, является полусфера (рис. 11). Каноническое уравнение «полной» сферы.

Своеобразно характеризует поведение функции двух переменных (и ее график), так называемые линии уровня линии определяемые уравнением.

В каждой точке такой линии уровня значение функции постоянно и равно h. Таким образом, область D как бы «разрисована» линиями уровня. При этом «центры» «концентрических» семейств таких замкнутых линий уровня являются» точками максимумов («горками») или точками минимумов («ямками»), а точки «Самопересечения» таких линий являются, как правило седловыми точками (точками « перевалов через хребет).

Примеры:

1. ; Линии уровня - семейство окружностей с радиусами. Точка О (0,0) - точка уровня 0 - является точкой минимума функции.

2. ; Линии уровня - семейство гипербол - (рис. 13). Линия уровня 0 - пара пересекающихся прямых х – у =0, х + у = 0; О (0,0) – седловая точка.

На следующем ниже рисунке изображены график некоторой функции и ее область определения, «разрисованная» линиями уровня.

Производные функции многих переменных.

Зафиксировав одну из переменных (х, у), например у, и «придав» приращение ∆х первой - х -, вычислим величину

обозвав ее «частным приращением по х,». Тогда

Частной производной от функции пох будем называть предел отношения частного приращения к приращениюаргументах при стремлении к нулю.

Обозначают такие частные производные одним из символов

или .

Итак, по определению

Аналогично определяется частное приращение по у данной функции и её частная производнаяпо у.

Из определения частных производных следует, что их «нахождение» сводится к «обычному» дифференцированию данной функции, как функции одной «выделенной» переменной при условии, что все остальные переменные «временно» считаются константами, «со всеми вытекающими из этого последствиями».

Примеры:

1. ;

2. .

Попутно упомянем здесь о таком важном понятии, как градиент.

Градиентом функции двух переменных (или скалярного поля) называют лежащей на плоскости О_ху вектор

Началом этого вектора, естественно, считается точка в которой вычисляются соответствующие частные производные, например:

К важнейшим относится следующие свойство градиента:

Градисит перпендикулярен соответствующей линии уровня и указывает направление («путь»), в котором функция возрастает «наискорейшим» образом. Модуль градиента при этом равен скорости возрастания функции в направлении градиента или, что тоже самое, крутизну графика функции в этом направлении.

Пример: для функции найти линию уровня, проходящую через точку М₀ (1,3) и крутизну графика функции в этой точке.

Решение:

- линия уровня - окружность радиуса ;

;

- крутизна графика функции - поверхности так называемого параболоида в точке М₀.