Уравнение прямой в пространстве.

Прямую (l), вложенную в д.с.к. пространства (рис. 17), как и в плоскости вполне определяют лежащая на ней точка М₀ (х₀,у₀,z₀) и ее направляющий вектор . Из равенства

и здесь определяющего условие принадлежности к этой прямой её «текущей точки» М (х,у,z) получим векторное уравнение прямой

и далее

Параметрические уравнения прямой –

;

Канонические уравнения прямой

уравнение прямой, проходящей через две точки М₀ (х₀,у₀,z₀) и М₁ (х₁,у₁,z₁) –

Однако можно подойти к определению прямой в пространстве совсем по другому и задать её как пересечение любых двух пересекающихся по ней плоскостей, то есть системой

- общие уравнения прямой.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки М_* (х_*,у_*,z_*) до прямой (l), направляющим вектором и проходящей через точку М₀ (х₀,у₀,z₀) то есть прямой, заданной одним из своих уравнений (1), (2) или (3), может быть найдено как высота построенного на векторах ипараллелограмма с площадью, равной |х| (рис. 19). Значит имеет место формула

Пример: Написать уравнение прямой, проходящей через точки А (1,1,5) и В (3,2,7) и найти расстояние от точки С (1,0,15) до этой прямой.

Решение: Используя уравнение прямой проходящей через две точки, получаем

или

Последнее - уже каноническое уравнение прямой. Теперь по последней формуле находим:

Замечания о взаимном расположении.

Так как ориентацию прямых и плоскостей в пространстве вполне определяют соответствующие направляющие или нормальные векторы, то их взаимное расположение (параллельность, перпендикулярность и пр.) характеризуется с помощью этих векторов. В частности, для нахождения угла φ между плоскостями с известными нормальными векторами иможно использовать формулу

;

а для нахождения угла α между плоскостью с нормальным вектором и прямой с направляющим вектором«сгодится» формула

.

Пример: Будут ли плоскости 2х+3у-z+2=0 и 3х-у+9z-5=0

параллельны или перпендикулярны?

Решение: ине коллинеарные, а плоскости не параллельны

и плоскости перпендикулярны.

Кривые второго порядка.

Назовем кривой второго порядка множество точек «координированной» плоскости, координаты х и у которых удовлетворяют так называемому общему уравнению кривых второго порядка

Ах² + Вху + Су² + Dх + Еу + F = 0

Известно, что сменой системы координат - ее параллельным переносом (*) или (и) поворотом (**) когда координаты любой точки М ( (х', у') – «новые», а (х, у) – «старые») связываются формулами

; (*)

или

. (**)

это общее уравнение может быть преобразовано к одному из следующих так называемых «канонических» («образцовых») видов:

; (1) ; (2)

; (3) ; (4)

; (5) ; (6)

; (7) . (8)

Из них, очевидно, (7) определяет пару параллельных прямых; (6) - пару пересекающих прямых; (5) - точку (0,0) и (4) и (8) - «ничего» не определяют. Наконец, будем называть:эллипсом кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (1); гиперболой - кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (2) и параболой - кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (3). (За некоторую похожесть уравнений (8) и (4) на уравнения (7) и (1) их называют соответственно уравнениями пары мнимых параллельных прямых и уравнением мнимого эллипса). Итак, повторим ещё раз что

В первом случае а и в, (а>в) называют, соответственно, большой и малой полуосями, а число - фокусным расстоянием.

Во втором случае а и в называют соответственно действительной и мнимой полуосями, а фокусным расстоянием обзывают величину .

Точки F₁ (-с, 0) и F₂ (с, 0) в том и другом случае называют фокусами, величину - эксцентриситетом, а прямыеи- директрисами соответствующих эллипсов или гиперболы.

Важнейшими характеристиками гиперболы и только гиперболы являются так называемые асимптоты. Это прямые к которым сколь угодно близко приближаются точки гиперболы при неограниченном удалении их от начала координат.

Для параболы величины р именуется фокальным (не путать с фекальным) параметром, точка - фокусом, а прямая (d): 2 · х + р = 0 - директрисой параболы. При этом считается, что эксцентриситет всех парабол равен 1. Легко заметить, что величина р выражает расстояние от фокуса F до директрисы (d). Отметим, что точка О (0,0) принадлежит канонической параболе и называется ее вершиной.

Каждая из этих трех кривых обладает так называемым общими свойством:

Отношениерасстояний любой точки кривой дофокусак расстоянию до ближайшей к этому фокусудиректрисы, есть величина постоянная и равная ε.

Обозначив через r₁ и r₂ расстояния от произвольной точки эллипса или гиперболы до фокусов F₁ и F₂ сформулируем их так называемые характеристические свойства

r₁ + r₂ = 2 · а - для эллипса

r₁ - r₂ = 2 · а - для гиперболы.

Приведение к каноническому виду иллюстрируют следующие

Примеры: 1. х² + 4у² + 4х – 24у = 0

Выделяя полный квадрат «при х и у» получаем

(х+2)² + 4 · (у-3)² = 40.

Поделив на 40, одновременно - полагая, х+2 = х'; у-3 = у', то есть перенося центр системы координат в точку О (-2,3), получаем

каноническое уравнение эллипса. Здесь

Аналогично для уравнения 2. 3х² – у² + 12х – 2у = 0 получаем

3 · (х-2)² – (у+1)² = 12 – 1; х – 2 = х'; у + 1 = у'; О'(2, - 1),

- каноническое уравнение гиперболы.