Тема 2. Пересечение поверхностей.

По теме 4 следует решить две задачи на построение линий пересечения поверхностей.

К моменту выполнения задания должны быть проработаны все темы рабочей программы. Одна из задач темы 2 решается способом вспомогательных секущих плоскостей уровня, другая задача - способом сфер.

Форма и размеры геометрических тел для первой задачи выбираются по рис. 7 или 8 и табл. 6, а для второй задачи - по рис. 9 или 10 и табл. 7 в соответствии с номером варианта. Обе задачи решаются на одном листе форма А3. Размеры тел на чертежах не приводятся.

Построение линии пересечения заданных тел следует начинать с построения опорных точек искомой кривой. Такими точками являются:

1) точки, проекции которых лежат на проекциях контурных образующих (очерках) заданных тел;

2) «крайние» точки - правые и левые, наивысшие и наинизшие, ближайшие и наиболее удаленные.

Все построенные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, должны иметь на чертеже соответствующие обозначения.

Все линии построения опорных и промежуточных точек на чертеже необходимо сохранять и выполнять сплошными тонкими линиями.

Таблица 6.

Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
фигура	1
d, мм	60	70	80	60	70	80	60	70	80	60	70	80
А, мм	15	15	15	20	20	20	25	25	25	30	30	30

Продолжение таблицы 6

Номер варианта	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
фигура	2
d, мм	40	50	60	50	60	40	50	60	50	60	40	50	60
А, мм	30	30	30	35	35	40	40	40	45	45	50	50	50

Продолжение таблицы 6

Номер варианта	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37
фигура	3
d, мм	40	50	60	40	50	60	40	50	60	40	50	60
А, мм	10	10	10	15	15	15	20	20	20	25	25	25

Продолжение таблицы 6

Номер варианта	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
фигура	4
d, мм	60	70	80	70	80	60	70	80	70	80	60	70	80
А, мм	30	30	30	35	35	40	40	40	45	45	50	50	50

Продолжение таблицы 6

Номер варианта	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62
фигура	5
d, мм	60	70	80	60	70	80	60	70	80	60	70	80
А, мм	20	20	20	30	30	30	35	35	35	40	40	40

Продолжение таблицы 6

Номер варианта	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75
фигура	6
d, мм	40	50	60	50	60	40	50	60	50	60	40	50	60
А, мм	10	10	10	15	15	20	20	20	25	25	30	30	30

Продолжение таблицы 6

Номер варианта	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87
фигура	7
d, мм	70	80	90	70	80	90	70	80	90	70	80	90
А, мм	30	30	30	35	35	35	40	40	40	50	50	50

Продолжение таблицы 6

Номер варианта	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
фигура	8
d, мм	50	60	70	60	70	50	60	70	60	70	50	60	70
А, мм	10	10	10	15	15	20	20	20	25	25	30	30	30

Таблица 7.

Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
фигура	1
d, мм	70	75	80	70	75	80	70	75	80	70	75	80
А, мм	95	95	95	100	100	100	100	105	105	105	110	110

Продолжение таблицы 7

Номер варианта	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
фигура	2
d, мм	70	80	90	70	90	70	80	90	80	90	70	80	90
А, мм	55	55	55	65	58	60	60	60	65	65	70	70	70

Продолжение таблицы 7

Номер варианта	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37
фигура	3
d, мм	20	30	40	20	30	40	20	30	40	20	30	40
А, мм	30	30	30	35	35	35	40	40	40	50	50	50

Продолжение таблицы 7

Номер варианта	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
фигура	4
d, мм	85	90	95	100	105	85	90	95	100	105	85	90	105
αº	30	30	30	30	30	45	45	45	45	45	50	50	50

Продолжение таблицы 7

Номер варианта	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62
фигура	5
d, мм	30	40	50	60	30	40	50	60	30	40	50	60
αº	35	35	35	35	45	45	45	45	55	55	55	55

Продолжение таблицы 7

Номер варианта	63	64	65	66	67	68	69		70	71	72		73		74		75
фигура	6
d, мм	65	65	65	65	65	70	70	70		70		70		75		75	75
d1, мм	90	95	100	105	110	90	95	100		105		110		90		100	110

Продолжение таблицы 7

Номер варианта	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85		86		87
фигура	7
d, мм	80	80	80	80	90	90	90	90	100		100		100		100
d1, мм	55	60	65	70	55	60	65	70	55		60		65		70

Продолжение таблицы 7

Номер варианта	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
фигура	8
d, мм	80	85	90	95	100	80	85	90	95	100	80	90	100
d1, мм	75	75	75	75	75	85	85	85	85	85	95	95	94

Рис. 9

Рис. 10

Рассмотрим примеры решения задач, предложенных по теме 2.

Пример 1.

Построить линию пересечения поверхностей двух геометрических тел - конуса и сферы - способом вспомогательных секущих плоскостей уровня (см. рис. 11).

Рис. 11

При решении задач данным способом необходимо удачно выбрать секущие плоскости. Вспомогательные секущие плоскости следует выбирать с таким расчетом, чтобы они рассекали заданные тела по наиболее простым линиям с точки зрения графических построений (прямым или окружностям). В данной задаче использованы горизонтальные плоскости.

Построение линии пересечения следует начинать с нахождения опорных точек. Точка А (А₁, А₂) является наивысшей точкой линии пересечения, точка В(В₁,В₂) – наинизшей точкой линии пересечения. Обе эти точки могут быть найдены с помощью фронтальной плоскости Ω (Ω₁) в пересечении фронтальных очерков обеих поверхностей.

Точки С (С₁, С₂) и С¹(С₁¹, С₂¹) определяются с помощью горизонтальной плоскости Σ (Σ₂) и являются точками границы видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций. Плоскость Σ (Σ₂) рассекает обе поверхности по окружностям: поверхность конуса по окружности диаметра 1-1¹ (1₁ - 1₁¹, 1₂ – 1₂¹), а поверхность сферы по окружности диаметра 4 – 4¹ (4₁ – 4₁¹, 4₂ – 4₂¹). В пересечении этих окружностей и получается точки С (С₁, С₂) и С¹ (С₁¹, С₂¹). Сначала находятся их горизонтальные проекции С₁ и С₁¹, а затем по линиям связи и фронтальные С₂ и С₂¹.

Промежуточные точки D (D₁,D₂), D¹ (D₁¹,D₂¹), и Е (Е₁,Е₂). Е¹ (Е₁¹,Е₂¹) находятся с помощью горизонтальных плоскостей Θ (Θ₂) и Ψ (Ψ₂), которые также рассекают обе поверхности по окружностям. При пересечении соответствующих окружностей получаем точки D (D₁,D₂), D¹ (D₁¹,D₂¹), Е (Е₁,Е₂), Е¹ (Е₁¹,Е₂¹).

Полученные точки A, B, C, D, E принадлежат линии пересечения. Они последовательно соединяются между собой на горизонтальной и фронтальной проекциях тел с учетом видимости.

Пример 2.

Построить линию пересечения поверхностей двух геометрических тел - усеченного конуса и цилиндра - способом концентрических сфер (см. рис. 12).

Этот способ может быть использован лишь при наличии следующих трех условий:

1. пересекающиеся поверхности - поверхности вращения;

2. их оси пересекаются;

3. поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.

Рассматриваемая задача удовлетворяет всем вышеизложенным условиям.

При решении этой задачи первоначально строится фронтальная проекция линии пересечения, а затем горизонтальная, так как общая плоскость симметрии обеих поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций.

Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с нахождения опорных точек.

Точка А (А₁, А₂) является высшей точкой линии пересечения, точка В (В₁,В₂) - наинизшей точкой линии пересечения. Эти точки могут быть найдены с помощью фронтальной плоскости Ω (Ω₁), которая и является общей плоскостью симметрии. Первоначально определяются фронтальные проекции этих точек А₂ и В₂ в пересечении фронтальных очерков обеих поверхностей, а затем по линиям связи и их горизонтальные проекции А₁ и В₁. Промежуточные точки, принадлежащие линии пересечения, находятся с помощью вспомогательных секущих сфер. Центр этих сфер располагается в точке О (О₁, О₂).

Проводится сфера (см. рис. 12) минимального радиуса О-1, его фронтальная проекция О₂-1₂, так чтобы она касалась одной из поверхностей - поверхности конуса (в данном случае) и пересекала бы другую поверхность - поверхность цилиндра.

Эта сфера, будучи соосной с поверхностями конуса и цилиндра, пересекает их по окружностям: конус рассекается по окружности диаметра 1-1¹ (1₁-1₁¹, 1₂-1₂¹), а цилиндр - по окружности диаметра 6-6¹ (6₁-6₁¹, 6₂-6₂¹). В пересечении этих окружностей получаются точки С(С₁ , С₂), С¹(С₁¹, С₂¹) принадлежащие линии пересечения. Сначала находятся их фронтальные проекции С₂¹ и С₂, а затем с помощью линии связи и горизонтальной плоскости Ψ (Ψ₂), заключающей в себе окружность диаметром 1-1¹ (1₁-1₁¹, 1₂-1₂¹), находятся горизонтальные проекции С₁ и С₁¹ точек С, С¹. Аналогично находятся точки D (D₁,D₂) и D¹ (D₁¹,D₂¹) с использованием следующей сферы.

Эта сфера рассекает конус по окружности диаметра 2-2¹ (2₁-2₁¹, 2₂-2₂¹), а цилиндр - по окружности диаметра 5-5¹ (5₁-5₁¹, 5₂-5₂¹). В пересечение этих окружностей и получаются точки D и D¹. Промежуточные точки Е и Е¹ находятся подобным же образом с помощью третьей сферы.

Точки М и М¹ являются также опорными, так как принадлежат горизонтальному очерку цилиндра. Порядок их нахождения ясен из рис. 12.

Найденные точки последовательно соединяются между собой плавной линией на фронтальной и горизонтальной проекциях тел с учетом их видимости.

Рис. 12

Приложение

Таблица 8.