3. Свойства вероятности

   1. Вероятность несовместных событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

Р(А + В) = Р(А) + Р(B). (1)

Доказательство. Пусть число всех исходов равно n. В число исходов, благоприятных событию А + В, входят все исходы, благоприятные событию А и все исходы, благоприятные событию В. Так как события А и В несовместны, то среди перечисленных исходов нет одинаковых. Поэтому m(A+B) = m(A) + m(B). Следовательно,

Р(А + В) = =+= Р(А) + Р(B),

что и требовалось доказать.

Задача. В урне 8 белых, 5 синих в 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что вынут синий шар, а событие В — вынут красный шар. Тогда P(A)=5/15, P(B) =2/15. Событие А + В означает, что вынут шар синего или красного цвета. Так как события А и В несовместны, то вероятность события А + В вычисляется по формуле (1)

Р(А + В) = +=.

2. Вероятность совместных событий

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Если события А и В совместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

Р(А + В) = Р(А) + Р(B) – P(AB). (2)

Доказательство. Пусть число всех исходов равно n. Множество исходов, благоприятных событию А + В, включает в себя множество исходов, благоприятных событию А, множество исходов, благоприятных событию В и множество исходов, благоприятных одновременному выполнению этих событий. По формуле для определения количества элементов объединения двух множеств, имеющих непустое пересечение, получаем: m(A+B) = m(A) + m(B) – m(AB). Следовательно,

Р(А + В) = =+-= Р(А) + Р(B) – P(AB),

что и требовалось доказать.

3. Вероятность противоположных событий

Теорема о вероятности противоположных событий.

Справедлива формула Р() = 1- Р(А).

Доказательство. Так как события А и несовместны, то по формуле (1)

Р(А+)=Р(А)+Р(). (3)

С другой стороны, событие А + является достоверным, а вероятность достоверного события равна 1, т. е. Р(А +) = 1. Следовательно, Р(А)+ Р{) = 1, отсюда Р() == 1- Р(А), что и требовалось доказать.

Задача. Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,0001. Какова вероятность того, что владелец одного билета ничего не выиграет?

Решение. Пусть событие А означает выигрыш. Тогда означает, что билет не выигрывает. По формуле (3)

Р() = 1 - 0,0001 = 0,9999.

Замечание. Формулу (1) можно распространить на любое число событий. Методам математической индукции доказывается, что если события А₁ ,А₂ , ..., А_n попарно несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

Р(А₁ + А₂ + ...+ А_n)= Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n). (4)

4. Упражнение

11. Из цифр 1,2,3,4,5,6,7 выбирают две и составляют двузначное число. Событие А — обе цифры числа четные; событие В — обе цифры нечетные. Что означают события ,, А+В,, АВ? Найдите вероятности всех перечисленных событий.

4. Условные вероятности. Независимые и зависимые события

Определение. Условной вероятностью P(A/В) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошло событие B.

Задача. В урне 5 белых и 5 черных шаров. Определить вероятность того, что после извлеченного первым белого шара будет извлечен черный шар. Если обозначить через А – извлечение белого шара, а через В – извлечение черного шара, то в нашем случае

Р(А)=1/2, а Р(В/А)=5/9.