2. Операции над событиями

В теории вероятностей изучаются методы вычисления вероятностей случайных событий. Часто бывает так, что вероятность некоторого события С можно найти, зная вероятности других событий, связанных с событием С. Для этого прежде всего используются правила сложения и умножения вероятностей, которые мы рассмотрим ниже.

История о находчивом майоре.

В городе Дрюкове объявлен розыск четверых особо опасных преступников, ограбивших Дрюковоуниверсал - Банк. Чтобы предотвратить утечку информации при передаче в Центр сообщений о ходе розыска, майор Зимин придумал такой способ. Он зашифровал первыми буквами алфавита следующие события:

событие Р — обнаружен преступник Рыков;

событие У — обнаружен преступник Угрюмов;

событие Ф — обнаружен преступник Фомкин;

событие Т — обнаружен преступник Трошкин.

С помощью этих обозначений майор Зимин мог передать любую информацию. Например, соо6щение Р + У означало бы, что обнаружен по крайней мере один из двоих преступников, Рыков или Угрюмов; сообщение УФ — обнаружены Угрюмов и Фомкин: сообщение — Трошкин не обнаружен.

Вскоре в Центр пришли следующие сообщения: 1) У+Ф; 2) УТ; 3) . Там их без труда расшифровали. Согласно первой шифровке, обнаружен кто-то из двоих — Угрюмов или Фомкин, причем не исключено, что и оба. Второе сообщение означало, что обнаружены Угрюмов и Трошкин. Из третьего сообщения следовало, что Фомкин и Рыков не обнаружены.

Таким образом, на первом этапе розыска обнаружили двоих преступников. Дальнейшие шифровки были такими: 4) УТ(Ф + Р); 5) УТФ; 6) УТФР.

Первая из них означала, что обнаружены Угрюмов, Трошкин и, по крайней мере, один из двух других преступников. Вторая шифровка: обнаружены все, кроме Рыкова. Третья: обнаружены все четверо.

1. Упражнения

6. Расшифруйте донесения группы захвата: 1) Т+У; 2) Т; 3) У+Ф; 4) У; 5)Р+Ф; 6) У (Ф + Т).

7. Зашифруйте следующие донесения: 1) взят только один из четырех; 2) взят по крайней мере один; 3) взяли не менее двух; 4) взяли только двоих; 5) взяли только троих; 6) взяли всех четверых.

Вы уже поняли, конечно, что майор Зимин изучал теорию вероятностей. Для шифровки донесений он использовал следующие понятия этой теории.

Сумма событий.

Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере одно из двух событий А или В, то говорят, что произошло событие А + В. Так вводится понятие суммы событий. Например, событие Т +Р + Ф означает, что взят по меньшей мере один из трех (Трошкин, Рыков, Фомкин).

Произведение событий.

Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие произведения событий. Например, событие РТФ состоит в том, что взяты трое — Рыков, Трошкин и Фомкин.

Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие . Так вводится понятие противоположного события. Например, событиеозначает, что не взяты оба преступника, Трошкин и Фомкин, а событие ТФ, противоположное событию ТФ, состоит в том, что не произошло, по крайней мере, одно из событий — Т или Ф.

2. Упражнения

8. Из колоды карт вынимается одна. Событие А вынута карта красной масти; событие В — вынут туз. Что означают события: ,, А + В, АВ?

9. Игральная кость бросается один раз. Событие А — выпало четное число очков; событие В — выпало число очков, кратное трем. Что означает событие А +? Запишите событие, состоящее в выпадении шести очков.

10. В сессию студент должен был сдать два экзамена и один зачет. Событие А состоит в том, что студент сдал экзамен по английскому языку; событие В — он сдал экзамен по философии; событие С — получил зачет по физкультуре.

Запишите события:

1. студент не получил зачета;

2. сдал два экзамена;

3. сдал, по крайней мере, одна экзамен;

4. получил зачет, но не сдал ни одного экзамена;

5. сдал только один из экзаменов и не получил зачета;

6. не сдал ничего;

7. сдал все