10. Формула Бернулли

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Например, если производится серия выстрелов по одной и той же цели, нас, как правило, интересует не результат каждого выстрела, а общее число попаданий.

Рассмотрим следующую схему. Вероятность появления события А в единичном опыте равна р. Испытание повторяется n раз, то есть выполняется серия из n независимых испытаний. Определить вероятность того, что в результате n испытаний событие А наступит m раз. Считаем, что Р(А) = р. Тогда Р()) = 1 - Р(А) = 1- р = q.

Обозначим через В₁ событие, состоящее в том, что в первых m испытаниях произошло событие А, а в последующих n-m испытаниях произошло событие . Поскольку испытания предполагаются независимыми, то по теореме умножения вероятностей независимых событийР(В₁) = р^mq^n-m.

Обозначим через В₂ событие, состоящее в том, что в первым произошло событие , затем вm испытаниях произошло событие А, а в последующих n-m-1 испытаниях произошло событие . Вероятность этого события вычисляется, как и в случае с событиемВ₁. То есть, Р(В₂) = р^mq^n-m.

Рассуждая аналогичным образом, можно построить весь ряд несовместных событий В_i. Число таких событий k будет равно числу сочетаний по m элементов из n - .

Если обозначить через Р_n(m) вероятность m появлений события А в n испытаниях, то будет справедлива следующая формула, называемая формулой Бернулли:

Р_n(m) = Р(В₁) + Р(В₂ ) + … +Р(В_k) = р^mq^n-m.

Задача. В мишень стреляют шесть раз. Вероятность ее как поражения, так и непоражения p = q = 0,5. Определить вероятности поражения мишени 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 раз.

Решение. Применяя формулу Бернулли, получим:

Р₆(0) = Р₆(6) = =;Р₆(1) = Р₆(5) = =;

Р₆(2) = Р₆(4) = =;Р₆(3) = =.

Замечание. Для определения вероятностей по формуле Бернулли в MS Excel используется стандартная функция БИНОМРАСП(Число успехов, число испытаний, Вероятность успеха).

11. Упражнения

21. Определить вероятность 5 выпадений «орла» при 15 бросаниях монеты.

22. Определить вероятность 3 выпадений шести очков при 10 бросаниях игральной кости.