2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

При описании некоторых явлений среднее арифметическое дает о них примерное представление, вполне удовлетворительное для практических целей. Таково, например, среднее число правонарушений в день, рассмотренное в примере 1. Однако весьма часто встречаются такие ситуации, для описания которых недостаточно знать только среднее арифметическое.

Поучительная история. Двух студентов юридического факультета послали на практику, одного в город Дрюково, другого — в город Стуково. Практиканты узнали, что в это время года среднесуточная температура в этех городах равна нулю. Тот из них, что поехал в Стуково, будучи человеком осторожным, взял с собой: только теплые веши. Другой, более легкомысленный, оделся по-летнему. Оказалось, что в течение всей практики в обоих городах температура была стабильной: в Дрюкове — +2 днем и -2 ночью, в Стукове — +15 днем и -15 ночью. В результате, несмотря на то, что среднесуточная температура действительно была нулевой, оба студента заболели, так как один постоянно перегревался, а другой — постоянно мерз.

Из этой истории видно, что, помимо средней величины, нужно знать еще и то, как заданные числа рассеяны около их среднего значения. Для этой цели вводятся дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией величин x₁, x₂, ... , x_n называется число

(4)

Пример 3. На обследование каждого из десяти автомобилей было затрачено следующее время (в мин):

Таблица 3

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	25	30	22	22	54	36	41	45	25	40

Здесь символом x_i обозначено время, затраченное на обследование автомобиля с номером i. Найдем дисперсию величин x_i.

Решение. Составим таблицу из трех столбцов:

Таблица 4.

xi	xi-	(xi-)2
25	-9	81
30	-4	16
22	-12	144
22	-12	144
54	20	400
36	2	4
41	7	49
45	11	121
25	-9	81
40	6	36
340	0	1076

В последней строке первого столбца записано общее время обследования всех автомобилей, т.е. сумма всех чисел x_i — 340. Поделив ее на 10, найдем среднее арифметическое чисел x₁, x₂, ... , x₁₀ : = 34 (мин).

Во втором столбце записаны разности x₁ - , x₂ - , ... , x₁₀ -, представляющие собой отклонения величин x₁, x₂, ... , x₁₀ от их среднего. Сумма отклонений всегда равна нулю, что показано в последней строке второго столбца. Это важнейшее свойство средней величины.

В третьем столбце табл. 4 записаны квадраты отклонений: (x₁ -)² ,( x₂ - )², ... ,( x₁₀ -)².

Сумма квадратов, как видно из последней строки, равна 1076. По формуле (4) находим дисперсию D:

(мин²).

Если известны частоты то для вычисления дисперсии вместо формулы (4) можно использовать формулу

, (5)

где, как и выше, суть различные среди заданных чиселx₁, x₂, ... , x_n .

Средним квадратическим отклонением величин x₁, x₂, ... , x_n от их среднего значения называется величина

S=. (6)

В примере 3 среднее квадратическое отклонение равно

S= = 10,3 7310,4 (мин).

Из формулы (4) видно, что дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов разностей x₁ - , x₂ - , ... , x_n -. Поэтому величину S можно рассматривать как среднее отклонение величин x₁, x₂, ... , x_n от их среднего значения .

Из определения дисперсии и среднего квадратического отклонения следует, что последнее не превышает наибольшей из величин |x_i -| (абсолютная величина отклонения). Так, в рассмотренном примере 10,4 < 20, т.е. S существенно меньше максимального отклонения.

Теперь допустим, что нужно обследовать все автомобили города Дрюкова. Но число автомобилей так велико, что описать все значения величины Х (X — время обследования) практически невозможно. Однако мы можем, не проводя самого обследования, предсказать его результаты приближенно, с помощью примера 3. Предварительно, используя табл. 3, составим другую таблицу, в которой укажем время обследования х_i и соответствующую частоту p_i:

Таблица 5

i	22	25	30	36	40	41	45	54
	0,2	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1

Обычно, прогноз содержит следующую информацию о величине X:

• диапазон значений величины X,

• среднее значение ,

• среднее квадратическое отклонение S,

• интервал наиболее вероятных значений величины X,

• долю значении величины X, попадающих в заданный промежуток.

По данным примера 3:

время обследования автомобиля изменяется в пределах от 22 до 54 мин,

среднее время обследования одного автомобиля — = 34 мин,

среднее отклонение величины Х от ее среднего значения составляет S = 10,4 мин.

Интервалом: наиболее вероятных значений величины X обычно называют интервал, серединой которого является точка — среднее арифметическое, и в который попадает более половины значений величины X. Рассмотрим, например, интервал (-S; +S). Имеем: -S=23,6 и +S=44,4. Из табл. 5 видно, что в интервале 23,6—44,4 содержится 5 значений величины X: 25, 30, 36, 40, 41. Их частоты соответственно равны 0,2;0,1; 0,1; 0,1; 0,1. Суммарная частота будет 0,6. Это число составляет 60% от единицы, т.е. от суммы всех частот. Следовательно, в интервал 23,6-44,4 попадает 60% (т.е. большая часть) значений величины X. Таким образом, этот интервал является интервалом наиболее вероятных значений величины X. Доля значений величины X. попавших в какой-либо другой интервал, оценивается так же. Обычно оценивают долю больших и малых значений. В нашем примере доля автомобилей, на обслуживание которых затрачивается меньше 23,6 мин, составляет 20% от общего количества автомобилей (в табл. 5 имеется одно такое значение — 22, и его частота равна 0,2). Доля автомобилей, на обслуживание которых затрачивается больше 44,4 мим, составляет также 20% от общего количества автомобилей.

При обработке статистического материала используется специальная терминология. Совокупность всех рассматриваемых объектов называют генеральной совокупностью, я часть объектов, каким-либо способом выбранных для обследования, называют выборкой. В нашем примере с автомобилями генеральную совокупность образуют все автомобили города Дрюкова, а выборку — те 10 автомобилей, которые рассматривалась в примере 3.

Очень важно сделать выборку правильно. От этого зависит, насколько точными и: достоверными будут полученные выводы, результаты прогноза. В математической статистике изучаются способы отбора, позволяющие сделать выборку так, чтобы полученная с ее помощью информация давала достаточно полное и адекватное представление об интересующем нас признаке изучаемой генеральной совокупности. Тогда найденные с помощью выборки: среднее арифметическое и D дисперсия будут близка к гипотетическим величинам — среднему арифметическому и дисперсии, которые могли бы быть получены при обработке всей генеральной совокупности.